新版高三数学 第66练 抛物线练习

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2、 1 第66练 抛物线 训练目标 熟练掌握抛物线的定义及几何性质，能利用定义、几何性质解决有关问题． 训练题型 (1)求抛物线方程；(2)利用定义、几何性质求最值、参数范围、弦长等． 解题策略 (1)利用定义进行转化；(2)掌握关于弦长、焦半径的重要结论；(3)恰当运用函数与方程思想、数形结合思想. 一、选择题 1．(20xx·宁夏银川九中月考)已知抛物线的方程为标

3、准方程，焦点在x轴上，其上点P(－3，m)到焦点的距离为5，则抛物线方程为(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x 2．(20xx·九江第一次统考)已知抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，过抛物线上一点M(p，p)和抛物线的焦点F作直线l交抛物线于另一点N，则|NF|∶|FM|等于(　　) A．1∶ B．1∶ C．1∶2 D．1∶3 3．已知抛物线C：y2＝4x，顶点为O，动直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C交于A，B两点，则·的值为(　　) A．5 B．－5 C．4 D．－4 4．(20xx·长春一模)过抛物线y2＝2px(p

4、>0)的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于(　　) A. B. C. D. 5．(20xx·武昌调研)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　) A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 6．已知点A(2,1)，抛物线y2＝4x的焦点是F，若抛物线上存在一点P，使得|PA|＋|PF|最小，则P点的坐标为(　　) A．(2,1) B．(1,1) C. D. 7．抛物线x2＝ay(a>0)的

5、准线l与y轴交于点P，若l绕点P以每秒弧度的角速度按逆时针方向旋转t秒钟后，恰与抛物线第一次相切，则t等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为(　　) A. B. C．1 D．2 二、填空题 9．(20xx·福州质检)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作倾斜角为30°的直线l与抛物线交于P，Q两点，分别过P，Q两点作PP1，QQ1垂直于抛线物的准线于P1，Q1，若|PQ|＝2，则四边形PP1Q1Q的面积是________． 10．已知过拋物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线

6、于A，B两点，O是坐标原点，|AF|＝2，则|BF|＝______，△OAB的面积是________． 11．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米． 12．过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝8，|AF|<|BF|，则|BF|＝________.  答案精析 1．B　[依题意，设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则－(－3)＝5， ∴p＝4，∴抛物线方程为y2＝－8x.] 2．C　[由题意知直线l的方程为y＝2， 联立方程 得N(，－p)． 所以|NF|＝＋＝p，|

7、MF|＝p＋＝p， 所以|NF|∶|FM|＝1∶2，故选C.] 3．A　[设A，B，由已知得直线l过定点E(－1,0)，因为E，A，B三点共线，所以y2＝y1，即(y1－y2)＝y1－y2，因为y1≠y2，所以y1y2＝4， 所以·＝＋y1y2＝5.] 4．A　[设抛物线的准线为l：x＝－，设|FB|＝m，|FA|＝n， 过A，B两点向准线l作垂线AC，BD， 由抛物线定义知：|AC|＝|FA|＝n，|BD|＝|FB|＝m， 过B作BE⊥AC，E为垂足， |AE|＝|CE|－|AC|＝|BD|－|AC|＝m－n， |AB|＝|FA|＋|FB|＝n＋m. 在Rt△ABE中，∠

8、BAE＝60°， cos 60°＝＝＝，即m＝3n. 故＝＝＝.] 5．C　[抛物线C的方程为x2＝8y，∴焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y＝－2.由抛物线的定义知|MF|＝y0＋2.以F为圆心，|FM|为半径的圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝(y0＋2)2.由于以F为圆心，|FM|为半径的圆与准线相交，又圆心F到准线的距离为4，故42.] 6．D　[由抛物线定义知，|PF|等于P到准线x＝－1的距离，当PA与准线垂直时|PA|＋|PF|最小，∴P点的纵坐标为1，代入方程得x＝.] 7．C　[由x2＝ay可得＝，故P(0，－)．设l：y＝kx－，将其与

9、x2＝ay联立，消去y可得－kx＋＝0，即4x2－4akx＋a2＝0，由题设知Δ＝16k2a2－16a2＝0，解得k＝±1，当k＝－1时，与逆时针旋转不合，故k＝1，则直线的倾斜角α＝，又点的角速度为每秒弧度，故第一次与抛物线相切时，所用时间t＝＝3，故选C.] 8．D　[由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l于点A1，过点B作BB1⊥l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l于点M1， 则|MM1|＝.因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离

10、d≥2，故选D.] 9．1 解析　由题意得四边形PP1Q1Q为直角梯形，|PP1|＋|QQ1|＝|PQ|＝2， |P1Q1|＝|PQ|sin 30°＝1， ∴S＝·|P1Q1|＝1. 10．2　2 解析　设A(x0，y0)， 由抛物线定义知x0＋1＝2， ∴x0＝1，则直线AB⊥x轴， ∴|BF|＝|AF|＝2，|AB|＝4. 故△OAB的面积S＝|AB||OF|＝×4×1＝2. 11．2 解析　如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)． 由题意将点A(2，－2)代入x2＝－2py， 得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝， 故水面宽为2米． 12．4＋2 解析　由y2＝4x，得焦点F(1,0)． 又|AB|＝8，故AB的斜率存在(否则|AB|＝4)．设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝k(x－1)代入y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，故x1＋x2＝2＋， 由|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8，得x1＋x2＝2＋＝6，即k2＝1，则x2－6x＋1＝0，又|AF|<|BF|，所以x1＝3－2，x2＝3＋2，故|BF|＝x2＋1＝3＋2＋1＝4＋2.