新编高三数学 第69练 计数原理、排列、组合练习

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1、 第69练 计数原理、排列、组合 训练目标 (1)熟练掌握两个计数原理并能灵活应用； (2)会应用排列、组合的计算公式解决与排列组合有关的实际问题． 训练题型 (1)两个计数原理的应用；(2)排列问题；(3)组合问题；(4)排列与组合的综合问题． 解题策略 (1)理解两个计数原理的区别与联系，掌握分类与分步的原则，正确把握分类标准；(2)将常见的排列组合问题分成不同类型，并掌握各种类型的解法，弄清问题实质，做到融会贯通. 一、选择题 1．设集合A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}，如果方程x2－mx－n＝0 (m，n∈A)至少有一个根x0∈A，就称方程为合格

2、方程，则合格方程的个数为(　　) A．13 B．15 C．17 D．19 2．(20xx·汉口一模)某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停放方法有(　　) A．16种 B．18种 C．24种 D．32种 3．(20xx·西安调研)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有(　　) A．10种 B．20种 C．36种 D．52种 4．(20xx·德阳诊断)学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题

3、讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有(　　) A．36种 B．30种 C．24种 D．6种 5．计划将排球、篮球、乒乓球3个项目的比赛安排在4个不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有(　　) A．60种 B．42种 C．36种 D．24种 6．“2 012”含有数字0,1,2，且有两个数字2，则含有数字0,1,2，且有两个相同数字的四位数的个数为(　　) A．18 B．24 C．27 D．36 7．(20xx·衡水二模)已知数列{an}共有5项，a1＝0

4、，a5＝2，且|ai＋1－ai|＝1，i＝1,2,3,4，则满足条件的数列{an}的个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 8．某亲子节目的热播引发了一阵热潮，某节目制作组选取了6户家庭到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的种数是(　　) A．216 B．420 C．720 D．1 080 二、填空题 9．已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A，B，C，D，E这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有________种． 10

5、．从甲、乙等6名运动员中选出4名参加4×100米接力赛．如果甲、乙两人都不跑第一棒，那么不同的参赛方法共有________种． 11．现有12种商品摆放在货架上，摆成上层4件、下层8件的形式，现要从下层的8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同的调整方法的种数为________． 12．公安部新修订的《机动车登记规定》正式实施后，小型汽车的号牌已经可以采用“自主编排”的方式进行编排．某人欲选由A、B、C、D、E中的两个不同字母，和1、2、3、4、5中的三个不同数字(三个数字都相邻)组成一个号牌，则他选择号牌的不同的方法种数为________.  答案精析 1．C

6、　[当m＝0时，取n＝0,1,4，方程为合格方程； 当m＝1时，取n＝0,2,6，方程为合格方程； 当m＝2时，取n＝0,3，方程为合格方程； 当m＝3时，取n＝0,4，方程为合格方程； 当m＝4时，取n＝0,5，方程为合格方程； 当m＝5时，取n＝0,6，方程为合格方程； 当m＝6时，取n＝0,7，方程为合格方程； 当m＝7时，取n＝0，方程为合格方程． 综上可得，合格方程的个数为17， 故选C.] 2．C　[将4个连在一起的空车位“捆绑”，作为一个整体，则所求即4个不同元素的全排列，有A＝24(种)不同的停放方法，故选C.] 3．A　[1号盒子可以放1个或2个球，2号

7、盒子可以放2个或3个球，所以不同的放球方法有CC＋CC＝10(种)．] 4．B　[由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从4科中任选2科看作一个整体，然后做3个元素的全排列，共CA种方法，再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共A种方法，故总的方法种数为CA－A＝36－6＝30.] 5．A　[两种情况，第一种情况安排3个场地，每个场地安排1项比赛，安排方案有A＝24(种)；第二种情况，一个场地安排两场，第二个场地安排一场，安排方案有CA＝36(种)． 综上所述，一共有60种方案．] 6．B　[依题意，就所含的两个相同数字是否为0进行分类计数：第一类，所含的两个相同数字是

8、0, 则满足题意的四位数的个数为CA＝6；第二类，所含的两个相同数字不是0，则满足题意的四位数的个数为C·C·C＝18.由分类加法计数原理得，满足题意的四位数的个数为6＋18＝24.] 7．C　[方法一　因为|ai＋1－ai|＝1，所以ai＋1－ai＝1或ai＋1－ai＝－1，即数列{an}从前往后，相邻两项之间增加1或减少1，因为a1＝0，a5＝2，所以从a1到a5有3次增加1，有1次减少1，故数列{an}的个数为C＝4. 方法二　设bi＝ai＋1－ai，i＝1,2,3,4，因为|ai＋1－ai|＝1，所以|bi|＝1，即bi＝1或－1.a5＝a5－a4＋a4－a3＋a3－a2＋a2－a

9、1＋a1＝b4＋b3＋b2＋b1＝2，故bi(i＝1,2,3,4)中有3个1,1个－1，故满足条件的数列{an}的个数为C＝4.] 8．D　[先分组，每组含有2户家庭的有2组，则有种不同的分组方法，剩下的2户家庭可以直接看成2组，然后将分成的4组进行全排列，故有×A＝1 080(种)不同的分配方案．] 9．18 解析　先在A，B，C三个区域种植3个不同的植物，共有A＝6(种)种法，若E与A种植的植物相同，最后种D，有1种种法；若E与C种植的植物相同，最后种D，有2种种法，根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理知共有6×(1＋2)＝18(种)不同的种法． 10．240 解析　方法一　(

10、从元素考虑)从6名运动员中，选出4人有三种情况：(1)甲、乙都被选出，有C种选法；(2)甲、乙恰有1人被选出，有CC种选法；(3)甲、乙都未被选出，有C种选法．再将4人按要求安排位置：甲、乙都参加，有AA种排法；甲、乙中有一人参加，有AA种排法；甲、乙都不参加，有A种排法．故不同的参赛方法共有CAA＋CCAA＋CA＝240(种)． 方法二　(从位置考虑)第一棒从甲、乙以外的4人中选取，再排其他各棒，有AA＝240(种)不同的参赛方法． 方法三　(间接法)从总数中减去甲、乙跑第一棒的情况，有A－AA＝240(种)不同的参赛方法． 11．840 解析　首先从下层中抽取2件商品，共有C＝28(种)不同的结果，把抽出的2件商品放到上层有两种情况：一种是2件商品相邻，放在上层4件商品形成的5个空中，有5A＝10(种)不同的调整方法；另一种是2件商品不相邻，把抽出的2件商品插入上层4件商品形成的5个空中，有A＝20(种)不同的调整方法，所以共有28×(10＋20)＝840(种)不同的调整方法． 12．3 600 解析　三个数字相邻，则共有A种情况，在A、B、C、D、E中选两个不同的字母，共有A种不同的情况，这两个字母形成三个空，将数字整体插空，共C种情况．综上所述，此人选择号牌的不同的方法种数为AAC＝60×20×3＝3 600.