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1、
课时作业69 不等式的证明
1．(1)已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2；
(2)已知a，b，c都是正数，求证：≥abc.
证明：(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2.
因为a，b都是正数，所以a＋b>0.
又因为a≠b，所以(a－b)2>0.
于是(a＋b)(a－b)2>0，即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，所以a3＋b3>a2b＋ab2.
(2)因为b2＋c2≥2bc，a2>0，所以a2(b2＋c2)≥2a2bc. ①
同理b2(a2＋c2)≥2ab2c， ②
c2(a2＋b2)≥2abc2.
①②
2、③相加得2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2，
从而a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．
由a，b，c都是正数，得a＋b＋c>0，
因此≥abc.
2．已知函数f(x)＝2x，x1，x2是任意实数且x1≠x2，证明：
[f(x1)＋f(x2)]>f.
证明：[f(x1)＋f(x2)]－f
＝
＝[2＋2－2×2]
＝[2－2·2－2·2＋2]
＝[2 (2－2)－2 (2－2)]
＝(2－2)(2－2)＝(2－2)2.
因为x1≠x2,2≠2，所以(2－2)2>0，即[f(x1)＋f(x2)]－f>0，所以[f(x1)＋
3、f(x2)]>f.
3．设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：
(1)a＋b≥2；
(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
证明：由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.
(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.当且仅当a＝b＝1时等号成立．
(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，
则由a2＋a<2及a>0得00，b>0，c>0.若函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为
4、2.
(1)求a＋b＋c的值；
(2)求＋＋的最小值．
解：(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，当且仅当－a≤x≤b时，等号成立，又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，所以f(x)的最小值为a＋b＋c，所以a＋b＋c＝2.
(2)由(1)知a＋b＋c＝2，所以＋＋＝(＋＋)×＝×[3＋(＋)＋(＋)＋(＋)]≥×(3＋2＋2＋2)＝，当且仅当＝，＝，＝，即a＝b＝c＝时，等号成立．所以＋＋的最小值为.
2．(20xx·昆明检测)已知函数
f(x)＝.
(1)求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)的值域是[m，
5、n]，且a2＋b2＝m，c2＋d2＝n，求ac＋bd的取值范围．
解：(1)设g(x)＝|x＋3|－|x－1|＋5，则g(x)＝，所以g(x)∈[1,9]．所以函数f(x)的值域是[1,3]．
(2)由(1)知a2＋b2＝1，c2＋d2＝3，由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，取等号，即(ac＋bd)2≤3，解得－≤ac＋bd≤，所以ac＋bd∈[－，]．
3．(20xx·衡阳二联)已知函数f(x)＝|x－3|.
(1)若不等式f(x－1)＋f(x)f()．
证明：要证 >f()，只需证|ab－3|
>|b－3a|，即证(ab－3)2>(b－3a)2，又(ab－3)2－(b－3a)2＝a2b2－9a2－b2＋9＝(a2－1)(b2－9)．因为|a|<1，|b|<3，所以(ab－3)2>(b－3a)2成立，所以原不等式成立．
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