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第52练 平行的判定与性质
训练目标
会应用定理、性质证明直线与平面平行、平面与平面平行．
训练题型
证明空间几何体中直线与平面平行、平面与平面平行．
解题策略
(1)熟练掌握平行的有关定理、性质；(2)善于用分析法、逆推法寻找解题突破口，总结辅助线、辅助面的做法.
1.(20xx·成都第三次诊断)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，CE＝2E
3、C1.
(1)若F是AB的中点，求证：
C1F∥平面BDE；
(2)求三棱锥D－BEB1的体积．
2．已知两正方形ABCD与ABEF内的点M，N分别在对角线AC，FB上，且AM∶MC＝FN∶NB，沿AB折起，使得∠DAF＝90°.
(1)证明：折叠后MN∥平面CBE；
(2)若AM∶MC＝2∶3，在线段AB上是否存在一点G，使平面MGN∥平面CBE？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．
3．(20xx·辽宁五校协作体上学期期中)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平
4、面ABCD，AB＝，AA1＝2.
(1)证明：AA1⊥BD；
(2)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(3)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．
4.如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC.设D，E分别为PA，AC的中点．
(1)求证：DE∥平面PBC；
(2)求证：BC⊥平面PAB；
(3)试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．
答案精析
1．(1)证明 连接CF交BD于点M，连
5、接ME，如图所示．
易知△BMF∽△DMC.
∵F是AB的中点，∴＝＝.
∵CE＝2EC1，∴＝.
于是在△CFC1中，有＝，∴EM∥C1F.
又EM⊂平面BDE，C1F⊄平面BDE，
∴C1F∥平面BDE.
(2)解 ∵V三棱锥D－BEB1＝·DC·S△BEB1＝×3××3×3＝，
∴三棱锥D－BEB1的体积为.
2.(1)证明 如图，设直线AN与直线BE交于点H，连接CH，
因为△ANF∽△HNB，
所以＝.
又＝，
所以＝，
所以MN∥CH.
又MN⊄平面CBE，CH⊂平面CBE，
所以MN∥平面CBE.
(2)解 存在，过M作MG⊥AB于点G，
6、连接GN，则MG∥BC，
因为MG⊄平面CBE，
所以MG∥平面CBE，
又MN∥平面CBE，MG∩MN＝M，
所以平面MGN∥平面CBE.
所以点G在线段AB上，且AG∶GB＝AM∶MC＝2∶3.
3．(1)证明 ∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC.
∵A1O⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴A1O⊥BD.
∵A1O∩AC＝O，A1O⊂平面A1AC，AC⊂平面A1AC，
∴BD⊥平面A1AC.
∵AA1⊂平面A1AC，∴AA1⊥BD.
(2)证明 ∵A1B1∥AB，AB∥CD，∴A1B1∥CD.
∵A1B1＝CD，∴四边形A1B1CD是平行四边形，
∴A1D∥
7、B1C，同理A1B∥D1C，
∵A1B⊂平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，CD1⊂平面CD1B1，B1C⊂平面CD1B1，
且A1B∩A1D＝A1，CD1∩B1C＝C，
∴平面A1BD∥平面CD1B1.
(3)解 ∵A1O⊥平面ABCD，
∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．
在正方形ABCD中，AB＝，可得AC＝2.
在Rt△A1OA中，AA1＝2，AO＝1，
∴A1O＝，
∴＝S△ABD·A1O＝×()2×＝.
∴三棱柱ABD－A1B1D1的体积为.
4．(1)证明 因为点E是AC的中点，点D为PA的中点，
所以DE∥PC.
又因为DE⊄平面PBC，PC⊂
8、平面PBC，
所以DE∥平面PBC.
(2)证明 因为平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC＝AC，
又PA⊂平面PAC，PA⊥AC，
所以PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.
又因为AB⊥BC，且PA∩AB＝A，
PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，
所以BC⊥平面PAB.
(3)解 当点F是线段AB的中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行．
取AB的中点F，连接EF，DF.
由(1)可知DE∥平面PBC.
因为点E是AC的中点，点F为AB的中点，所以EF∥BC.
又因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
所以EF∥平面PBC.
又因为DE∩EF＝E，
所以平面DEF∥平面PBC，
所以平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．
新版高三数学 第52练 平行的判定与性质练习
