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1、
专题能力训练10 三角变换与解三角形
能力突破训练
1.在△ABC中,若sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C,则A的取值范围是( )
A.0,π6 B.π6,π
C.0,π3 D.π3,π
2.已知cos(π-2α)sinα-π4=-22,则sin α+cos α等于( )
A.-72 B.72 C.12 D.-12
3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=3ac,则角B的值为( )
A.π6 B.π3
C.π6或5π6 D.π3或2π3
4.在
2、△ABC中,∠ABC=π4,AB=2,BC=3,则sin∠BAC等于( )
A.1010 B.105 C.31010 D.55
5.(20xx湖北七市一调)已知△ABC中,角A,B,C对边分别为a,b,c,C=120°,a=2b,则tan A= .
6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b= .
7.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C,3b=20acos A,则sin A∶sin B∶sin C= .
8.在△ABC中,a2+c2
3、=b2+2ac.
(1)求B的大小;
(2)求2cos A+cos C的最大值.
9.(20xx北京,理15)在△ABC中,∠A=60°,c=37a.
(1)求sin C的值;
(2)若a=7,求△ABC的面积.
10.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角.
(1)证明:B-A=π2;
(2)求sin A+sin C的取值范围.
11.设f(x)=sin xcos x-
4、cos2x+π4.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若fA2=0,a=1,求△ABC面积的最大值.
思维提升训练
12.若0<α<π2,-π2<β<0,cosπ4+α=13,cosπ4-β2=33,则cosα+β2等于( )
A.33 B.-33 C.539 D.-69
13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csin A=acos C.当3sin A-cosB+π4取最大值时,角A的大小为( )
5、
A.π3 B.π4 C.π6 D.2π3
14.(20xx湖北荆州一模)在△ABC中,边AB的垂直平分线交边AC于点D,若C=π3,BC=8,BD=7,则△ABC的面积为 .
15.(20xx河北石家庄二检)已知sinπ4+αsinπ4-α=16,α∈π2,π,则sin 4α的值为 .
16.在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的最小值是 .
17.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,π3
6、(2)若|BA+BC|=2,求BA·BC的取值范围.
参考答案
专题能力训练10 三角变换与解三角形
能力突破训练
1.C 解析由正弦定理,得a2≤b2+c2-bc,
由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,
则cosA≥12.∵0
7、-b22ac=32·cosBsinB,即cosB=32·cosBsinB,则sinB=32.
∵0
8、A-120°=60°-A,
所以sinA=2sin(60°-A),即sinA=3cosA-sinA,
所以2sinA=3cosA,故tanA=32.
6.2113 解析因为cosA=45,cosC=513,且A,C为△ABC的内角,所以sinA=35,sinC=1213,sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=6365.
又因为asinA=bsinB,所以b=asinBsinA=2113.
7.6∶5∶4 解析∵A>B>C,∴a>b>c.设a=b+1,c=b-1(b>1,且b∈N*),由3b=20acosA得3b=20(b+1)×b2
9、+(b-1)2-(b+1)22b(b-1),化简,得7b2-27b-40=0.解得b=5或b=-87(舍去),∴a=6,c=4,
∴sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4.
8.解(1)由余弦定理及题设得cosB=a2+c2-b22ac=2ac2ac=22.
又因为0
10、A=60°,c=37a,
所以由正弦定理得sinC=csinAa=37×32=3314.
(2)因为a=7,所以c=37×7=3.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得72=b2+32-2b×3×12,解得b=8或b=-5(舍).
所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×8×3×32=63.
10.(1)证明由a=btanA及正弦定理,得sinAcosA=ab=sinAsinB,
所以sinB=cosA,即sinB=sinπ2+A.
又B为钝角,因此π2+A∈π2,π,故B=π2+A,即B-A=π2.
(2)解由(1)知,C=π-(A+B)=π-2A+π2=π2-
11、2A>0,所以A∈0,π4,于是sinA+sinC=sinA+sinπ2-2A=sinA+cos2A=-2sin2A+sinA+1=-2sinA-142+98.
因为0
12、+kπ,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是-π4+kπ,π4+kπ(k∈Z);
单调递减区间是π4+kπ,3π4+kπ(k∈Z).
(2)由fA2=sinA-12=0,得sinA=12,
由题意知A为锐角,所以cosA=32.
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,
得1+3bc=b2+c2≥2bc,
即bc≤2+3,且当b=c时等号成立.
因此12bcsinA≤2+34.
所以△ABC面积的最大值为2+34.
思维提升训练
12.C 解析∵cosπ4+α=13,0<α<π2,
∴sinπ4+α=223.
又cosπ4-β2=33,-π2<β<0,
∴sinπ
13、4-β2=63,
∴cosα+β2=cosπ4+α-π4-β2=cosπ4+αcosπ4-β2+sinπ4+αsinπ4-β2
=13×33+223×63=539.
13.A 解析由正弦定理,得sinCsinA=sinAcosC.
因为00,从而sinC=cosC.
又cosC≠0,所以tanC=1,则C=π4,
所以B=3π4-A.
于是3sinA-cosB+π4=3sinA-cos(π-A)=3sinA+cosA=2sinA+π6.
因为0
14、值2.故选A.
14.203或243 解析本题易错点在利用正弦定理时,产生缺解.
在△CDB中,设CD=t,由余弦定理得49=64+t2-2×8t×cos60°,
即t2-8t+15=0,解得t=3或t=5.
当t=3时,CA=10,△ABC的面积S=12×10×8×sin60°=203;
当t=5时,CA=12,△ABC的面积S=12×12×8×sin60°=243.
故△ABC的面积为203或243.
15.-429 解析因为sinπ4+α=cosπ2-π4-α=cosπ4-α,
所以sinπ4+αsinπ4-α
=sinπ4-αcosπ4-α=12sinπ2-2α
=
15、12cos2α=16,所以cos2α=13.
因为π2<α<π,所以π<2α<2π.
所以sin2α=-1-132=-223.
所以sin4α=2sin2αcos2α=-2×229=-429.
16.8 解析sinA=sin(B+C)=2sinBsinC⇒tanB+tanC=2tanBtanC,
因为tanA=-tan(B+C)=-tanB+tanC1-tanBtanC,
所以tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC=tanA+2tanBtanC.因为△ABC为锐角三角形,所以tanA>0,tanBtanC>0,所以tanA+2tanBtanC≥22tanAtanBt
16、anC,当且仅当tanA=2tanBtanC时,等号成立,即tanAtanBtanC≥22tanAtanBtanC,解得tanAtanBtanC≥8,即最小值为8.
17.解(1)由ba-b=sin2CsinA-sin2C及正弦定理,得sinB=sin2C,∴B=2C或B+2C=π.
若B=2C,∵π3π(舍去).
若B+2C=π,又A+B+C=π,
∴A=C,∴△ABC为等腰三角形.
(2)∵|BA+BC|=2,
∴a2+c2+2accosB=4.
又由(1)知a=c,
∴cosB=2-a2a2.
而cosB=-cos2C,
∴12
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