牧场管理 数学建模论文

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1、 摘要 本文共分两个模型，分别针对放牧的羊数和每年保留的羊数，夏季要供给冬季的草量进行讨论 第一个模型，我们以养一种羊的方式，即第一年只养1龄羊，第二年只养2龄羊（小羊在秋季卖出），而到第五年的时候将所有的5龄羊全卖，第六年又重新循环。如此再根据所给的条件来对牧场所能放牧多少羊进行求解 第二个模型，在第一个模型的前提下，我们改进第一个模型，因为我们计算出秋季草量过剩而春季不足，，而且考虑到鲜草和甘草的转化问题，所以我们提出相应的假设进行求解。最后在第二个模型的基础上，分别回答题目所提的三个问题。 关键词: 线性规划 优化 牧场管理 一、问题重述 有一块一定面

2、积的草场放牧羊群，管理者要估计草场能放牧多少羊，每年保留多少母羊羔，夏季要贮存多少草供冬季之用. 为解决这些问题调查了如下的背景材料： （1）本地环境下这一品种草的日生长率为 季节 冬 春 夏 秋 日生长率（g/m2） 0 3 7 4 （2）羊的繁殖率 通常母羊每年产1~3只羊羔，5岁后被卖掉。为保持羊群的规模可以买进羊羔，或者保留一定数量的母羊。每只母羊的平均繁殖率为 年龄 0~1 1~2 2~3 3~4

3、 4~5 产羊羔数 0 1.8 2.4 2.0 1.8 （3) 羊的存活率 不同年龄的母羊的自然存活率（指存活一年）为 年龄 1~2 2~3 3~4 存活率 0.98 0.95 0.80 （4）草的需求量 母羊和羊羔在各个季节每天需要的草的数量（kg）为 季节 冬 春 夏 秋 母羊 2.10 2.40 1.15 1.35 羊羔 0 1.00

4、 1.65 0 二、模型建立与分析 针对以上问题，我们对其数据进行了分析，并建立了线性规划模型，以下是我们的建模过程： （一）、按照以下假设建模： 1.1、模型假设： （1） 只考虑羊的数量，不考虑体重。 （2） 母羊只在春季产羊羔，公母羊羔各占一半，当年秋季将全部公羊羔和部分母羊羔卖掉，以保持母羊（每个年龄的）数量不变。 （3） 假设牧场的面积为:A=1000000； 1.2、 符号说明： 0—0.5年龄段母羊羔为：x0 0.5—1年龄段母羊为：x1 1—2年龄段母羊为：x2 2—3年龄段母羊为：x3 3—4年龄段母羊为：x4 4—5年龄段

5、母羊为：x5 春季产草量：n1 夏季产草量：n2 秋季产草量：n3 冬季产草量：n4 春季羊吃草总量：m1 夏季羊吃草总量：m2 秋季羊吃草总量：m3 冬季羊吃草总量：m4 1.3、 计算各个年龄段羊的数量： x2=x1; 由1—2年龄段母羊存活率为0.98可得： x3=0.98x2； 由2—3年龄段母羊存活率为0.95可得： x4=0.95*x3； 由3—4年龄段母羊存活率为0.80可得： x5=0.80*x4； 每年龄段的母羊所生羊羔数的总和： x0=1.8*x2+2.4*x3+2.0*x4+1.8*x5； 1.4、 计算每季节的产草量：

6、 n1=90*3*A/1000（kg）； n2=90*7*A/1000（kg）； n3=90*4*A/1000（kg）； n4=0（kg）； 1.5、计算每季节羊吃草量： m1=(x2+x3+x4+x5)*2.4*90+x0*1*90(kg) m2=(x2+x3+x4+x5)*1.15*90+x0*1.65*90(kg) m3=(x1+x2+x3+x4+x5)*1.35*90(kg) m4=(x1+x2+x3+x4+x5)*2.1*90(kg) 1.6、一年下来羊吃的草量不能大于一年草的总产量 1.7、 所要求的羊的总数为： max=x1+x2+x3+x4

7、+x5 由上述线性规划模型可得出： 解得： A=1000000 x0=2118 x1=288 x2=288 x3=282 x4=268 x5=214 m1=418052.2752 m2=423515.32992 m3=162915.7536 m4=253424.5056 n1=270000 n2=630000 n3=360000 n4=0 所以，每年所保留下来的母羊羔为288(x1),此牧场能放牧的羊数为1340只（x1+x2+x3+x4+x5）。但此模型缺少夏季供给冬季的草量，再加上考虑鲜草向甘草的转化率，因此我们引入模型二。 （二）

8、、 在模型一的基础上，我们加上如下条件： 仔细观察上面模型，可以发现一个问题，我们不难发现草的产量每个季节是不一样的，尤其冬季草是完全不生长的，所以必须调节每季节的草，于是，我们添加假设： 2.1、模型假设： （4）春季秋季生长出的草自给自足 （5）冬季所需的草由夏季提供 （6）夏季保存到冬季的草重量不变，只剩50%的能量 2.2、符号说明： 0—0.5年龄段母羊羔为：x0 0.5—1年龄段母羊为：x1 1—2年龄段母羊为：x2 2—3年龄段母羊为：x3 3—4年龄段母羊为：x4 4—5年龄段母羊为：x5 春季产草量：n1 夏季产草量：n2 秋季产草量：n3

9、 冬季产草量：n4 春季羊吃草总量：m1 夏季羊吃草总量：m2 秋季羊吃草总量：m3 冬季羊吃草总量：m4 夏季保存给冬季的草的质量：t 2.3、计算各个年龄段羊的数量： x2=x1; 由1—2年龄段母羊存活率为0.98可得： x3=0.98x2； 由2—3年龄段母羊存活率为0.95可得： x4=0.95*x3； 由3—4年龄段母羊存活率为0.80可得： x5=0.80*x4； 每年龄段的母羊所生羊羔数的总和： x0=1.8*x2+2.4*x3+2.0*x4+1.8*x5； 2.4、各季节羊的吃草量 春季羊的吃草量：m1=x0*1*90+(x2+x

10、3+x4+x5)*2.4*90 (kg) 夏季羊的吃草量：m2=x0*1.65*90+(x2+x3+x4+x5)*1.15*90 (kg) 秋季羊的吃草量：m3=(x1+x2+x3+x4+x5)*1.35*90 (kg) 冬季羊的吃草量：m4=2*(x1+x2+x3+x4+x5)*2.1*90 (kg) 计算每季节的产草量： n1=90*3*A/1000（kg）； n2=90*7*A/1000（kg）； n3=90*4*A/1000（kg）； n4=0（kg）； 春季羊的吃草量不能大于本季节产草量： m1<=n1 夏季产草量大于等于夏季羊的吃草量加上留给冬季的草量

11、： m2+t<=n2 秋季羊的吃草量不能大于本季节产草量： m3<=n3 冬季羊的吃草量等于夏季留下来的草量： m4=t 通过以上分析可以得到如下 max x1+x2+x3+x4+x5 解得： x0=1367 x1=186 x2=186 x3=182 x4=172 x5=137 m1=269992.0944 m2=273520.31724 m3=105216.4242 m4=327339.9864 n1=270000 n2=630000 n3=360000 n4=0 t=327339.9864 所以，每年所保留下来的母羊羔为186(x1)

12、,此牧场能放牧的羊数为863（x1+x2+x3+x4+x5）。 夏季保存在冬季的草量为：t=327339.9864。 由结果可知春季的产草量为n1=270000kg，羊吃的总草量为：m1=269992.0944kg，所以春季基本上没什么浪费。 夏季的产草量为：n2=630000kg，夏季和冬季羊的总吃草量为：m2+m4=600860.30354kg。浪费了：n2- m2-m4=29139.69636kg 秋季的产草量为：n3=360000kg，羊的吃草量为：m3=105216.4242kg。；浪费了：n3-m3=253783.5758kg。可见浪费了很多，这也是本模型的缺点。 冬季羊

13、吃的草由夏季提供、没什么浪费。 因此，我们引入模型三来解决草量的浪费问题。 （三）、模型三： 3.1模型假设： 在模型二的基础上假设六删除； 3.2 模型求解： 将各个季节的吃草量与产草量之间的关系改为： 夏季产草量大于等于夏季羊的吃草量： m2<=n2 秋季吃草量小于等于秋季羊的产草量家上夏季留下来的草量： m3<=n3+n2-m2 冬季羊的吃草量小于等于秋季留下来的草量： m4<=n3+n2-m2-m3 春季羊的吃草量不能大于本季节产草量加上冬季吃剩的草量： m1<=n1+n2-m2+n3-m3 通过以上分析可以得到如下 max x1

14、+x2+x3+x4+x5 解得： A=1000000 x0=2118 x1=288 x2=288 x3=282 x4=268 x5=214 m1=418052.2752 m2=423515.32992 m3=162915.7536 m4=253424.5056 n1=270000 n2=630000 n3=360000 n4=0 结果分析： 夏季的时候产草量是n2=630000（kg），吃草量是m2=423515.32992（kg）； 留下了630000－423515.32992＝206484.67008（kg）草给秋季。 秋季的产草量是n3=3

15、60000（kg），吃草量是m3=162915.7536（kg）； 留下了360000+206484.67008-162915.7536＝403568.91648（kg）草给冬季。 冬季的产草量为0，吃草量为m4=253424.5056（kg）， 留下了403568.91648－253424.5056＝150144.41088（kg）草给春季。 春季的产草量为n1=270000（kg），吃草量为m1=418052.2752（kg）。 全年下来浪费的草量为150144.41088+270000－418052.2752＝2092.13568（kg）。 三、三个模型的结果比较 模型

16、一：是把一年看成一个整体来求解得出的结果不是很符合实际。存在缺陷。因此引入模型二。 模型二：在模型一的基础上改善，把四个季节都作为约束，从而保证每个季节的羊都能吃到草，符合实际。情况较好。但模型二浪费很严重。对农民来说会有很大的损失。考虑到此点，我们引入模型三。 模型三：综合考虑模型一个模型二的所有问题。引入每个季节剩下的草将会留给下给季节用。此假设合理，符合实际。得出的结果，草的浪费比较少。结果令人满意。 四、参考文献 1、姜启源 谢金星 等编，数学模型，第四版，北京：高等教育出版社。 2、赵静 但琦主编 数学建模与数学实验，北京：高等教育出版社，2008.1 3、杨桂元 黄己立主编 数学建模，合肥：中国科学技术大学出版社，2008.8 11