新编高考数学一轮复习学案训练课件： 第2章 函数、导数及其应用 第8节 函数与方程学案 文 北师大版

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1、 第八节　函数与方程 [考纲传真]　结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数． (对应学生用书第24页) [基础知识填充] 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(

2、a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解． 2．二分法 每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法． 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与零点的关系 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图像 与x轴的交点 (x1,0)， (x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 2 1 0 [知识拓展] 1．函数f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的曲线，则“f(a)·f(b)＜

3、0”是函数f(x)在区间(a，b)内有零点的充分不必要条件． 2．若函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点． [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．(　　) (2)函数y＝f(x)，x∈D在区间(a，b)⊆D内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.(　　) (3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　) (4)二次函数

4、y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0时没有零点．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　) A．0　　　　 B．1　　　　 C．2　　　　 D．3 B　[∵f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0， ∴f(x)在(－1,0)内有零点， 又f(x)为增函数，∴函数f(x)有且只有一个零点．] 3．(20xx·安徽高考)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　　) A．y＝cos x B．y＝sin x C．y＝ln x D．y＝x2＋1 A　[由于y＝sin x是奇函数；y＝ln

5、 x是非奇非偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点，只有y＝cos x是偶函数又有零点．] 4．(20xx·江西赣中南五校联考)函数f(x)＝3x－x2的零点所在区间是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(－2，－1) D．(－1,0) D　[∵f(－2)＝－，f(－1)＝－， f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5， ∴f(0)f(1)＞0，f(1)f(2)＞0， f(－2)f(－1)＞0，f(－1)f(0)＜0，故选D．] 5．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________． 　[∵函数f(x)

6、的图像为直线， 由题意可得f(－1)f(1)＜0， ∴(－3a＋1)·(1－a)＜0，解得＜a＜1， ∴实数a的取值范围是.] (对应学生用书第25页) 函数零点所在区间的判断 　(1)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　) A．(a，b)和(b，c)内　　　　 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 (2)(20xx·唐山模拟)设x0是方程x＝的解，则x0所在的范围是(　　) A． B． C． D．

7、 (1)A　(2)B　[(1)∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0， f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0， 由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)和(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A． (2)构造函数f(x)＝x－， 因为f(0)＝0－＝1＞0， f＝－＝－＞0，f＝－＝－＜0.所以由零点存在性定理可得函数f(x)＝x－在上存在零点，即x0∈，故选B．] [规律方法]　判断函数零点所在区间的方法： 判断函数在

8、某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时，可画出图像判断． [变式训练1]　(1)已知函数f(x)＝ln x－x－2的零点为x0，则x0所在的区间是 (　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) (2)(20xx·衡阳模拟)已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝ln x－的零点，则g(x0)等于(　　) 【导学号：00090044】 A．1 B．2 C．3 D．4 (1)

9、C　(2)B　[(1)∵f(x)＝ln x－x－2在(0，＋∞)上是增函数， 又f(1)＝ln 1－－1＝ln 1－2＜0， f(2)＝ln 2－0＜0， f(3)＝ln 3－1＞0， ∴x0∈(2,3)，故选C． (2)f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，则x0∈(2,3)，故g(x0)＝2.] 判断函数零点的个数 　(1)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　) A．1　　　　 B．2 C．3　　　　 D．4 (2)(20xx·秦皇岛模拟)函数f(x)＝的零点个数是________． (1)B　(2)

10、3　[(1)令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0， 可得|log0.5x|＝x. 设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图像，可以发现两个函数图像一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点． (2)当x＞0时，作函数y＝ln x和y＝x2－2x的图像， 由图知，当x＞0时，f(x)有2个零点； 当x≤0时，由f(x)＝0得x＝－， 综上，f(x)有3个零点．] [规律方法]　判断函数零点个数的方法： (1)解方程法：所对应方程f(x)＝0有几个不同的实数解就有几个零点． (2)零点存在性定理法：

11、利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断． (3)数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数． [变式训练2]　(1)(20xx·湖北高考)函数f(x)＝2sin xsinx＋－x2的零点个数为________． (2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝log3|x|的解的个数是(　　) A．0 B．2 C．4 D．6 (1)2　(2)C　[(1)f(x)＝2sin xsin－x2＝2sin xcos x－x2＝sin

12、2x－x2，由f(x)＝0，得sin 2x＝x2. 设y1＝sin 2x，y2＝x2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图像，如图所示． 由图像知，两个函数图像有2个交点，故函数f(x)有两个零点． (2)画出周期函数f(x)和y＝log3|x|的图像，如图所示，则方程f(x)＝log3|x|的解的个数是4. ] 函数零点的应用 　(20xx·昆明模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－4)＝f(x)，且在区间[0,2]上f(x)＝x，若关于x的方程f(x)＝logax有三个不同的实根，求a的取值范围． [思路点拨]　先作出函数f(x)的图像，根据方程有三个

13、不同的根，确定应满足的条件． [解]　由f(x－4)＝f(x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f(x－4)＝f(x)＝f(4－x)， 所以函数图像关于x＝2对称，且f(2)＝f(6)＝f(10)＝2，要使方程f(x)＝logax有三个不同的根， 则满足如图，即解得＜a＜. 故a的取值范围是(，)． [规律方法]　已知函数有零点求参数取值范围常用的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中

14、，画出函数的图像，然后数形结合求解． [变式训练3]　(1)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　) 【导学号：00090045】 A．(1,3)　　　 B．(1,2) C．(0,3)　　　 D．(0,2) (2)(20xx·山东高考)已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________． (1)C　(2)(3，＋∞)　[(1)∵函数f(x)＝2x－－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)＜0，∴(－a)(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0，∴0＜a＜3. (2)作出f(x)的图像如图所示．当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m20.又m>0，解得m>3.]