新版湖北版高考数学分项汇编 专题03 导数含解析理
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2、 1 专题3 导数 一.选择题 1.【2008年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷7】若f(x)=上是减函数,则b的取值范围是 ( ) A.[-1,+∞] B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,-1) 2. 【2009年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷9】设球的半径为时间t的函数。若球的
3、体积以均匀速度c增长,则球的表面积的增长速度与球半径( ) A.成正比,比例系数为C B. 成正比,比例系数为2C C.成反比,比例系数为C D. 成反比,比例系数为2C 3.【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137衰变过程中,其含量M(太贝克/年)与时间t(单位:年)满足函数关系:,其中M0为t=0时铯137的含量,已知t=30时,铯137含量的变化率为-10ln2(太贝克/
4、年),则M(60)=( ) A. 5太贝克 B. 75ln2太贝克 C. 150ln2太贝克 D. 150太贝克 【答案】A 【解析】 试题分析:,因为t=30时,铯137含量的变化率为-10ln2, 所以,故. 4.【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷3】已知二次函数的图象如图所示,则它与轴所围图形的面积为( ) y x O 第3题图 A. B. C. D. 5. 【20xx年普通高等学校招生全国
5、统一考试湖北卷7】一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度(的单位:,的单位:)行驶至停止。在此期间汽车继续行驶的距离(单位;)是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析:令 ,则。汽车刹车的距离是,故选C. 6. 【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】已知为常数,函数有两个极值点,则( ) A. B. C. D. 7. 【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷6】若函数、满足,则称、在区间上的一组
6、正交函数,给出三组函数:①;②;③.其中为区间的正交函数的组数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 二.填空题 1.【2009年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷14】已知函数则的值为 . 【答案】1 【解析】 试题分析:因为所以 ,故. 三.解答题 1.【2006年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷】设是函数的一个极值点. (Ⅰ)、求与的关系式(用表示),并求的单调区间; (Ⅱ)、设,。若存在使得成立,求的取值范围. 2.【2008年普通高等学校招生全
7、国统一考试湖北卷20】水库的蓄水量随时间而变化,现用t表示时间,以月为单位,年初为起点,根据历年数据,某水库的蓄水量(单位:亿立方米)关于t的近似函数关系式为 V(t)= (Ⅰ)该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以i-1<t<t表示第1月份(i=1,2,…,12),同一年内哪几个月份是枯水期? (Ⅱ)求一年内该水库的最大蓄水量(取e=2.7计算). 【解析】(Ⅰ)①当0<t10时,V(t)=(-t2+14t-40), 化简得t2-14t+40>0, 解得t<4,或t>10,又0<t10,故0<t<4. ②当10<t12时,V(t)=4(t-10)(3t-41)+50<50,
8、
化简得(t-10)(3t-41)<0,
解得10<t<,又10<t12,故 10<t12.
综合得0 9、水库的最大蓄水量是108.32亿立方米.
考点:本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识,考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题能力.
3.【2009年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷21】在R上定义运算(b、c为实常数)。记,,.令.
如果函数在处有极什,试确定b、c的值;
求曲线上斜率为c的切线与该曲线的公共点;
记的最大值为.若对任意的b、c恒成立,试示的最大值。
【解析】(I)
,由在处有极值
可得
解得或
若,则,此时没有极值;
若,则
当变化时,,的变化情况如下表:
1
0
+
0
极小值
10、极大值
当时,有极大值,故,即为所求.
考点:本小题主要考查函数、函数的导数和不等式等基础知识,考查综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想.
4. 【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷17】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元。设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。
(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式。
(Ⅱ)隔 11、热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值。
当隔热层修建厚时, 总费用达到最小值为70万元.
考点:本题主要考察函数、导数等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.
5.【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷21】
(Ⅰ)已知函数求函数的最大值;
(Ⅱ)设均为正数,证明:
(1)若,则
(2)若,则。
6.【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷22】
(Ⅰ)已知函数,其中为有理数,且. 求的最小值;
(Ⅱ)试用(Ⅰ)的结果证明如下命题:
设,为正有理数. 若,则;
(Ⅲ)请将(Ⅱ)中的命题推广到一般形式,并用数学 12、归纳法证明你所推广的命题.
注:当为正有理数时,有求导公式.
7.【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷22】设是正整数,为正有理数.
(I)求函数的最小值;
(II)证明:;
(III)设,记为不小于的最小整数,例如,,.
令,求的值.
(参考数据:,,,)
【证明】(I)
在上单减,在上单增。
(III)由(II)可知:当时,
.
8.【20xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷22】为圆周率,为自然对数的底数.
(1)求函数的单调区间;
(2)求,,,,,这6个数中的最大数与最小数;
(3)将,,,,,这6个数按从小到大的顺 13、序排列,并证明你的结论.
由①得,,
即,亦即,所以,
又由①得,,即,所以,
综上所述,,即6个数从小到大的顺序为,,,,,.
考点:导数法求函数的单调性、单调区间,对数函数的性质,比较大小.
9. 【2015高考湖北,理22】已知数列的各项均为正数,,为自然对数的底数.
(Ⅰ)求函数的单调区间,并比较与的大小;
(Ⅱ)计算,,,由此推测计算的公式,并给出证明;
(Ⅲ)令,数列,的前项和分别记为,, 证明:.
【答案】(Ⅰ)的单调递增区间为,单调递减区间为. ;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)详见解析.
【解析】(Ⅰ)的定义域为,.
当,即时,单调递增;
当,即时,单调递减.
故的单调递增区间为,单调递减区间为.
当时,,即.
令,得,即. ①
(Ⅱ);;
.
由此推测: ②
下面用数学归纳法证明②.
(1)当时,左边右边,②成立.
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