新版高三数学理33个黄金考点总动员 考点08 函数与方程解析版 Word版含解析

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2、 1 高三数学33个黄金考点总动员 【考点剖析】 1.最新考试说明： （1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数． （2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解． 2.命题方向预测： （1）考查具体函数的零点个数和零点的取值范围. （2）利用函数零点求解参数的取值范围. （3）考查函数零点、方程的根和两函

3、数图象交点横坐标的等价转化思想和数形结合思想． 3.课本结论总结： （1）几个等价关系： 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． （2）函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间（a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． （3）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系： Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象      

4、与x轴的交点  （x1,0）,(x2,0)  (x1,0) 无交点  零点个数  两个  一个（二重的）  零个 （4）给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下： ①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε； ②求区间(a，b)的中点c； ③计算f(c)； (i)若f(c)＝0，则c就是函数的零点； ii)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))； (iii)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))． ④判断是否达到精确度ε.即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则

5、重复②③④. 4.名师二级结论： （１）二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的零点分布情况 根的分布(m＜n＜p为常数) 图象 满足的条件 x1＜x2＜m (两根都小于m) m＜x1＜x2 (两根都大于m) x1＜m＜x2 (一根大于m，一根小于m) f(m)＜0 x1，x2∈(m，n) (两根位于m，n之间) m＜x1＜n＜x2＜p (两根分别位于m与n，n与p之间) 只有一根在m，n之间 或f(m)·f(n)＜0 （２）有关函数零点的重要结论： (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至

6、多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变，也可能改变． (4)函数至多有个零点． 5.课本经典习题： (1) 新课标A版必修一第88页，例1 求函数的零点的个数。 答案：仅有一个零点 【经典理由】函数零点个数的判断是高考命题的热点。 (2) 【课本典型习题改编，P119B组第1题】方程的解所在的区间是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 【经典理由】判断方程的根所在的大致范围这也是高考命题的一个热点，在教学中

7、应引起足够的重视． 6.考点交汇展示： (1)函数的零点与三角函数交汇 例1【解析团队学易高考冲刺金卷36套预测卷】若关于的方程在区间上有唯一的实数解，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】原方程可变形为，∵，∴，易知函数在上单调递增，在上单调递减，∴方程时，有，即． 考点：1.方程解的个数问题; 2.与函数的单调性或函数图象的交点． (2) 函数的零点与不等式交汇 例2【20xx高考湖南，理15】已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 . 【答案】. 考点:1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想. (3) 函数的零点与

8、函数的最值、极值等交汇 例3【新课标第Ⅱ套预测卷】 已知命题：函数在内恰有一个零点；命题：函数在上是减函数.若且为真命题,则实数的取值范围是( ). A. 　　　　　　B. 　　　　　　C. 　　　　　D.或 【答案】C 考点：1、函数的零点；2、函数的单调性；3、复合命题的真假. 例4【高考原创预测卷（江苏版）】(本小题满分16分) 设函数的图像关于坐标原点对称，且与轴相切. （1） 求的值； （2） 是否存在实数使函数在区间上的值域仍是区间？ 解：（1）因为的图像关于坐标原点对称，所以恒成立， 即，于是 令则由得 因为当时，所以函数在区

9、间上是单调增函数， 从而函数在区间上至多有一个零点. 又因为当时，， 所以函数在区间上是单调减函数，于是， 所以函数在区间上没有零点. 故此时不存在. 综上所述，不存在实数使函数在区间上的值域仍是区间.………………………… 16分 考点：函数与方程思想 【考点分类】 热点1函数零点的求解与判断 1. 【20xx山东高考理第8题】 已知函数若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】 考点：函数与方程，函数的图象. 2. 【20xx高考安徽，理15】设，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅

10、有一个实根的是 .（写出所有正确条件的编号） ①；②；③；④；⑤. 【答案】①③④⑤ 【解析】令，求导得，当时，，所以单调递增，且至少存在一个数使，至少存在一个数使，所以必有一个零点，即方程仅有一根，故④⑤正确；当时，若，则，易知，在上单调递增，在上单调递减，所以， ，要使方程仅有一根，则或者 ，解得或，故①③正确.所以使得三次方程仅有一个实 根的是①③④⑤. 考点:1函数零点与方程的根之间的关系；2.函数的单调性及其极值. 3. 【20xx天津高考理第14题】已知函数，．若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________． 【答案】．

11、 考点:方程的根与函数的零点． 【方法规律】 1．方程的根(从数的角度看)、函数图象与x轴的交点的横坐标(从形的角度看)、函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式． 2．函数零点的判断： (1)解方程：当对应方程易解时，可通过先解方程，看方程是否有根落在给定区间上； (2)利用函数零点的存在性定理进行判断：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f（x）在区间（a，b）内必有零点. (3) 数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 【解题技巧】 1．函数零点的求法： ①（代数

12、法）求方程的实数根； ②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。 ２．确定函数的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点的存在性定理:首先看函数在区间上的图象是否连续,再看是否有·.若有,则函数在区间内必有零点. (2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断. ３．确定方程在区间上根的个数的方法 (1)解方程法:当对应方程易解时,可先解方程,看求得的根是否落在区间上再判断. (2)数形结合法:通过画函数与的图象,观察其在区间上交点个数来判断. ４．函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点：令

13、，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且·，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点； (3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数，其步骤是： (1)令； (2)构造，； (3)作出图像； (4)由图像交点个数得出结论． 【易错点睛】 1.函数零点—忽视单调性的存在。例如：若函数f(x)在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且f(x)在(－2,2)内

14、有一个零点，则f(－2)·f(2)的值(　　) A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定 解答：若函数f(x)在(－2,2)内有一个零点，该零点可分两种情况：(1)该零点是变号零点，则f(－2)·f(2)<0；(2)该零点是非变号零点，则f(－2)·f(2)>0，因此选D. 易错警示： 警示1：错误认为该零点是变号零点；警示2：不知道非变号零点这种情况． 方法剖析：方程的根或函数零点的存在性问题，可以根据区间端点处的函数值的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出

15、小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处函数值的正负，作出正确判断．本题的解答错误在于没有正确理解函数零点的含义及存在性，事实上，当f(x)在(－2,2)内有一个零点时，f(－2)·f(2)的符号不能确定． 2.要注意对于在区间[a，b]上的连续函数f(x)，若x0是f(x)的零点，却不一定有f(a)·f(b)<0，即f(a)·f(b)<0仅是f(x)在[a，b]上存在零点的充分条件，而不是必要条件． 注意以下两点： ①满足零点存在性定理的条件的零点可能不唯一； ②不满足零点存在性定理条件时，也可能有零点． ③由函数在闭区间上有零点不一定能推出·，如图所示．所以·是在闭区间上有零点的

16、充分不必要条件． 注意：①如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且函数在区间上是一个单调函数，那么当·时，函数在区间内有唯一的零点，即存在唯一的，使. ②如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且有·，那么，函数在区间内不一定没有零点． ③如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，那么当函数在区间内有零点时不一定有·，也可能有·. 热点2函数零点与函数的性质的综合应用 １．【20xx高考天津，理8】已知函数 函数 ，其中，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】D 考点：求函数解析、函数

17、与方程思、数形结合. 2.【20xx全国1高考理第11题】已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性． 3. 【20xx高考湖南卷第10题】已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 考点：指对数函数 方程 单调性 4. 【20xx高考江苏卷第13题】已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相

18、同），则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】作出函数的图象，可见，当时，，，方程在上有10个零点，即函数和图象与直线在上有10个交点，由于函数的周期为3，因此直线与函数的应该是4个交点，则有． 考点：函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题． 【方法规律】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路: 1．直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； 2．分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； 3．数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解. 【解题技巧】 1.应

19、用函数零点的存在情况求参数的值或取值范围常用的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解． 2．与方程根有关的计算和大小比较问题的解法 数形结合法:根据两函数图象的交点的对称性等进行计算与比较大小. 3．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数，，即把方程

20、写成的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系． 【易错点睛】用二分法求函数零点近似值的步骤须注意的问题： ①第一步中要使：(1)区间长度尽量小； (2) ，的值比较容易计算且·. ②根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的． 对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程　的根． ③求函数零点近似值的关键是判断区间长度是否小于精确度，当区间长度小于精确度时，运算即告结束，此时区间内的任何一个值均符合要求，而我们通常取区间的一个端点值作为近似解． 【热点预测】 1. 【稳派普通

21、高等学校招生全国统一考试模拟信息卷(五)】若函数满足且时，，函数分别在两相邻对称轴与处取得最值1与-1，则函数在区间内零点的个数为（ ） A．1006 B．1007 C．1008 D．1010 【答案】C 【解析】 试题分析：，故周期为2，，在同一坐标系内作出函数与的图象，利用函数的周期为4，数形结合即得交点个数为，故选C. 2. 【改编题】已知是函数的零点，若，则的值满足（ ） A． B． C． D．的符号不确定 3．设函数f(x)满足f()=f(x),f(x)=f(2x),且当时,f(x)=x3.又函数g(x)=|xc

22、os|,则函数h (x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为 （　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】因为当时,f(x)=x3. 所以当,f(x)=f(2x)=(2x)3, 当时,g(x)=xcos;当时,g(x)= xcos,注意到函数f(x)、 g(x)都 是偶函数,且f(0)= g(0), f(1)= g(1),,作出函数f(x)、 g(x)的大致图象,函数h(x) 除了0、1这两个零点之外,分别在区间上各有一个零点,共有6个 零点,故选B. 4. 【温州市高三第一次适应性测试】设函数，若和是函数的两个零点，和是的两个极值 点，则等于(

23、 ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 试题分析：,若和是函数的两个零点,即和是方程的两根，得到,,,由已知得和是的两根，所以,故选C. 5．【成都市新津中学高高三（下）二月月考】已知函数,且函数恰有3个不同的零点,则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 6.【四川省成都市高中毕业班摸底测试】已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(4－x)＝f(x)，且当x∈(－1，3]时，f(x)＝，则函数g(x)＝f(x)－|lgx|的零点个数

24、是（ ） A、7 B、8 C、9 D、10 【答案】D 【解析】由f(x)是定义在R上的偶函数，知x＝0是它的一条对称轴 又由f(4－x)＝f(x)，知x＝2是它的一条对称轴 于是函数的周期为(2－0)×2＝4 画出f(x)的草图如图，其中y＝|lgx|在(1，＋∞)递增且经过(10，1)点 10 x 0 1 y 1 函数g(x)的零点，即为y＝f(x)与y＝|lgx|的交点 结合图象可知，它们共有10个交点，选D. 7．【上海市静安区高三上学期期末考试】已知函数是定义在实数集上的以2为周期的偶函数，当时，.

25、若直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是( ) A．或； B．0； C．0或； D．0或. 【答案】D 8．【河南省郑州市高中毕业年级第一次质量预测试题】定义在上的函数的单调增区间为，若方程恰有4个不同的实根，则实数的值为（ ） A． B． C．1 D．-1 【答案】B 9. 【河北省衡水中学高三上学期第五次调研考试】函数若关于的方程有五个不同的实数解,则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：∵，∴，∴或， ∴由图像可知：的取值范围是.

26、10.【山东省日照市高三3月第一次模拟考试】已知定义在R上的函数满足：，，则方程在区间上的所有实根之和为 A. B. C. D. 【答案】C 11.【成都七中高高三3月高考模拟考试】设函数，则函数的零点个数为 个． 【答案】3 【解析】 试题分析：将的图象向上平移个单位得的图象，由图象可知，有3个零点. 12. 【广东省梅州市高三3月质检】已知函数f(x)=x-[x],其中[x]表示不超过实数x的最大整数，若关于x的方程f(x)=kx+k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是__________. 【答案】 13.【江苏省连云港市高三第二次调研

27、考试】已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】 14．【20xx高考北京，理14】设函数 ①若，则的最小值为 ； ②若恰有2个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】(1)1，(2)或. 【解析】①时，，函数在上为增函数，函数值大于1，在为减函数，在为增函数，当时，取得最小值为1； 15. 已知函数 （Ⅰ）求函数的极值； （Ⅱ）设函数若函数在上恰有两个不同零点，求实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ）在处取得极小值.（Ⅱ）. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）求导数，解得函数的减区间；解，得函数的增区间． 确定在处取得最

28、小值． 也可以通过“求导数、求驻点、研究函数的单调区间、确定极值（最值）” . （Ⅱ）遵循“求导数、求驻点、确定函数的单调性”明确函数的单调区间. 应用零点存在定理，建立不等式组，解之即得. 试题解析：（Ⅰ）的定义域是，，得……………………3分 时，，时，， 所以在处取得极小值 ……………………6分 （Ⅱ） 所以，令得 所以在递减，在递增 ……………………9分 ……………………11分 所以 ……………………13分 16.(山东省淄博市高三3月模拟考试)（本小题满分14分） 已知函数，（，）． （Ⅰ）判断曲线在点（1，）处的切线与曲线的公共点个数； （Ⅱ）当时，若函数有两个零点，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）当△>时，即或时，有两个公共点； 当△=时，即或时，有一个公共点； 当△<时,即时，没有公共点 . （Ⅱ）当时，函数有两个零点. 当△=时，即或时，有一个公共点；