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1、新编人教版精品教学资料
1.3.2 奇偶性
学习目标 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义(难点).2.掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系(重点).3.会利用函数的奇偶性解决简单问题(重点)．
预习教材P33－P35，完成下面问题：
知识点 函数的奇偶性
函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
【预
2、习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．( )
(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( )
(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数．( )
提示 (1)× 反例：f(x)＝x2，存在x＝0，f(－0)＝－f(0)＝0，但函数f(x)＝x2不是奇函数；
(2)× 存在f(x)＝0，x∈R既是奇函数，又是偶函数；
(3)× 函数f(x)＝x2－2x，x∈R的定义域关于原点对称，但它既不是奇函数，又不是偶函数．
题型一 函数奇偶性的判断
【
3、例1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝2－|x|；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
解 (1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，
又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x
4、>0时，－x<0，
f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．
规律方法 判断函数奇偶性的两种方法：
(1)定义法：
(2)图象法：
【训练1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5；
(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3)f(x)＝.
解 (1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)f(x)的定
5、义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
题型二 奇、偶函数的图象问题
【例2】 已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．
(1)画出在区间[－5,0]上的图象．
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
解 (1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．
6、
(2)由图象知，使函数值f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
规律方法 1.巧用奇偶性作函数图象的步骤
(1)确定函数的奇偶性．
(2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象．
(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象．
2．奇偶函数图象的应用类型及处理策略
(1)类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题．
(2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察．
【训练2】 已知偶函数f(x)的一部分图象如图，试画出该函数在y轴另一侧的图象，并比较f(2)，f
7、(4)的大小．
解 f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，如图，
由图象知，f(2)
8、－3)＝－G(3)，
即f(－3)＋8＝－f(3)－8.又f(－3)＝10，
∴f(3)＝－f(－3)－16＝－10－16＝－26.
法二 由已知条件，得
①＋②得f(3)＋f(－3)＝－16，
又f(－3)＝10，∴f(3)＝－26.
答案 D
方向2 利用奇偶性求参数值
【例3－2】 若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
解析 ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即＝－，显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，解得a＝－1.
答案 －1
方向3 利用奇偶性求函数的解析式
【例3－3】 已知函数f(x
9、)(x∈R)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式．
解 当x＜0，－x＞0，
∴f(－x)＝2(－x)－1＝－2x－1.
又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝2x＋1.又f(x)(x∈R)是奇函数，
∴f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.
∴所求函数的解析式为f(x)＝
规律方法 1.利用函数的奇偶性求函数值或参数值的方法：利用函数的奇偶性的定义f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)可求函数值，比较f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)的系数可求参数值．
2．利用函数奇偶性求函数解析式的步骤
(1)“求谁
10、设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；
(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
课堂达标
1．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝x B．y＝2x2－3 C．y＝ D．y＝x2，x∈(－1,1]
解析 对于A，f(－x)＝－x＝－f(x)，是奇函数；对于B，定义域为R，满足f(x)＝f(－x)，是偶函数；对于C和D，定义域不关于原点对称，则不是偶函数，故选B．
答案 B
2．若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是( )
11、
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 f(－x)＝(m－1)x2－(m－2)x＋(m2－7m＋12)，f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)，由f(－x)＝f(x)，得m－2＝0，即m＝2.
答案 B
3．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝－x2＋－1，则f(－2)＝________.
解析 f(2)＝－22＋－1＝－，又f(x)是奇函数，故f(－2)＝－f(2)＝.
答案
4．如图，已知偶函数f(x)的定义域为{x|x≠0，x∈R}，且f(3)＝0，则不等式f(x)<0的解集为________．
解析 由条件利用偶函数的性
12、质，画出函数f(x)在R上的简图：数形结合可得不等式f(x)<0的解集为(－3,0)∪(0,3)．
答案 (－3,0)∪(0,3)
5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x＋1，求f(x)的解析式．
解 当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝－x＋1，又f(－x)＝－f(x)，故f(x)＝x－1，
又f(0)＝0，所以f(x)＝
课堂小结
1．定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的一个必要条件，f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．
2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)∓f(x)＝0⇔＝±1(f(x)≠0)．
3．应用函数的奇偶性求值、参数或函数的解析式，要根据函数奇偶性的定义，f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)对函数值及函数解析式进行转换．
新编高中数学人教版A版必修一学案：第一单元 1.3.2 奇偶性 含答案
