新编高考数学复习：第十章 ：第四节　随机事件的概率突破热点题型

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1、新编高考数学复习资料 第四节　随机事件的概率 考点一 随机事件的关系 　 [例1]　(1)一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示“向上的一面出现奇数点”，事件B表示“向上的一面出现的数不超过3”，事件C表示“向上的一面出现的点数不小于4”，则(　　) A．A与B是互斥而非对立事件 B．A与B是对立事件 C．B与C是互斥而非对立事件[来源:] D．B与C是对立事件 (2)判断下列给出的每对事件是互斥事件还是对立事件，并说明理由．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花各10张，且点数都为1～10)中

2、，任取一张． ①“抽出红桃”与“抽出黑桃”； ②“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； ③“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”． [自主解答]　(1)A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥更不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω(Ω为所有基本事件的全集)，故事件B、C是对立事件． (2)①是互斥事件，不是对立事件． 原因：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，但是，不能保证其中必有一个发生，这是由于还有可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件． ②既是互斥事件，又是对立事件． 原因：从40张扑克牌中任意抽取

3、1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”是不可能同时发生的，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．[来源:] ③不是互斥事件，也不是对立事件． 原因：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件． [答案]　(1)D 【方法规律】 1．互斥事件的理解 (1)互斥事件研究的是两个事件之间的关系．[来源:] (2)所研究的两个事件是在一次试验中所涉及的． (3)两个事件互斥是从“试验的结果不能同时出现”来确定的． 2．从集合的角度理解互斥事件和

4、对立事件 (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集． (2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 从装有5只红球，5只白球的袋中任意取出3只球，判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件： (1)“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”； (2)“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”； (3)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”； (4)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”． 解：任取3只球，共有以下4种可能结果：“3只红球”，“2只红球1只白球”，“

5、1只红球2只白球”，“3只白球”． (1)“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”不可能同时发生，是互斥事件，但有可能两个都不发生，故不是对立事件． (2)“取出2只红球1只白球”，与“取出3只红球”不可能同时发生，是互斥事件，可能同时不发生，故不是对立事件． (3)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有一只白球”不可能同时发生，故互斥．其中必有一个发生，故对立． (4)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”可能同时发生，故不是互斥事件，也不可能是对立事件． 高频考点 考点二 随机事件的频率与概率　　 1．随机事件的频率与概率有着一定

6、的联系，在统计学中，可通过计算事件发生的频率去估算事件的概率，因此，它们也成为近几年高考的命题热点．多以解答题的形式出现，有时也会以选择、填空题的形式出现．多为容易题或中档题． 2．高考对该部分内容的考查主要有以下几个命题角度： (1)列出频率分布表； (2)由频率估计概率； (3)由频率计算某部分的数量． [例2]　(2013·湖南高考)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量 Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示： X 1 2

7、 3 4 Y 51 48 45 42 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米． (1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量； Y 51 48 45 42 频数 4 (2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率． [自主解答]　(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株．列表如下： Y 51 48 45 42 频数 2 4 6 3 所种作物的

8、平均年收获量为 ＝＝46. (2)由(1)知，P(Y＝51)＝，P(Y＝48)＝. 故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝＋＝. 【互动探究】 若本例中的条件不变，试估计年收获量介于[42,48]之间的可能性． 解：依题意知： 法一：P(42≤x≤48)＝P(x＝42)＋P(x＝45)＋P(x＝48) ＝＋＋＝. 法二：P(42≤x≤48)＝1－P(x＝51)＝1－＝.　　　　　 随机事件的频率与概率的常见类型及解题策略 (1)补全或写出频率分布表．可直接依据已知条件，逐一计数，写出频率．

9、 (2)由频率估计概率．可以根据频率与概率的关系，由频率直接估计概率． (3)由频率估计某部分的数值．可由频率估计概率，再由概率估算某部分的数值． 某射击运动员进行双向飞碟射击训练，各次训练的成绩如下表： 射击次数 100 120 150 100 150 160 150 击中飞碟数 81 95 123 82 119 127 121 击中飞碟的频率 [来源:数理化网] (1)将各次击中飞碟的频率填入表中； (2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少？ 解：利用频率公式依次计算出击中飞碟的频率． (1)射击次数100，击中

10、飞碟数是81，故击中飞碟的频率是＝0.81，同理可求得下面的频率依次是0.792,0.82，0.82，0.793,0.794,0.807； (2)击中飞碟的频率稳定在0.81，故这个运动员击中飞碟的概率约为0.81. 考点三 互斥事件、对立事件的概率 　 [例3]　(2013·洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下： 排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？ (2)至少3人排队等候的概率是多少？ [自主解答]　记

11、“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A、B、C、D、E、F互斥． (1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C， 所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则 H＝D∪E∪F， 所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44. 法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所

12、以P(H)＝1－P(G)＝0.44. 【方法规律】 求复杂互斥事件概率的两种方法 (1)直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算． (2)间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P()求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就会较简便． 提醒：应用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和(或差)． 某商场有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设

13、1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1张奖券的中奖概率； (3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．[来源:] 解：(1)P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝. 故事件A，B，C的概率分别为，，. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C. ∵A、B、C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝. 故1张奖券的中奖概率为. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对

14、立事件，∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为. ———————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 1个难点——对频率和概率的理解 (1)依据定义求一个随机事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验，用事件发生的频率近似地作为它的概率，但是，某一事件的概率是一个常数，而频率随着试验次数的变化而变化． (2)概率意义下的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律，与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的．也就是说，单独一次结果的不确定性与积累结果的有规律性，才是概率意义下的“可能性”，事件A的概率是事件A的本质属性． 1个重点——对互斥事件与对立事件的理解 　(1)对于互斥事件要抓住如下特征进行理解： ①互斥事件研究的是两个事件之间的关系； ②所研究的两个事件是在一次试验中涉及的； ③两个事件互斥是从试验的结果中不能同时出现来确定的． (2)对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且只有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作.从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成的集合的补集，即A∪＝U，A∩＝∅.对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．