新版高三数学 第32练 平面向量的线性运算及平面向量基本定理练习

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1、 1

2、 1 第32练 平面向量的线性运算及平面向量基本定理 训练目标 (1)平面向量的概念；(2)平面向量的线性运算；(3)平面向量基本定理． 训练题型 (1)平面向量的线性运算；(2)平面向量的坐标运算；(3)向量共线定理的应用． 解题策略 (1)向量的加、减法运算要掌握两个法则：平行四边形法则和三角形法则，还要和式子：＋＝，－＝联系起来；(2)平面几何问题若有明显的建系条

3、件，要用坐标运算；(3)利用向量共线可以列方程(组)求点或向量坐标或求参数的值. 一、选择题 1．(20xx·佛山期中)已知点M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，则点P是(　　) A．(－8,1) B. C. D．(8,1) 2．(20xx·深圳调研)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充要条件是(　　) A．a＝－b B．a∥b且方向相同 C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b| 3．(20xx·山西大学附中期中)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若(ka＋b)∥(a－3b)，则实数k的值为(　　) A．－ B. C．－3 D．3 4．(

4、20xx·哈尔滨三模)已知O为正三角形ABC内一点，且满足＋λ＋(1＋λ)＝0，若△OAB的面积与△OAC的面积比值为3，则λ的值为(　　) A. B．1 C．2 D．3 5.如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则的值为(　　) A．－3 B．3 C．2 D．－2 6.(20xx·辽源联考)如图所示，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝1，且∠B＝90°，∠BCD＝135°，记向量＝a，＝b，则等于(　　) A.a－b B．－a＋b C．－a＋b D.a＋b 7．(20xx·河北衡水中学调研)已知O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三

5、个点，动点P满足＝＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 8．(20xx·南安期中)如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则(　　) A．m＋n是定值，定值为2 B．2m＋n是定值，定值为3 C.＋是定值，定值为2 D.＋是定值，定值为3 二、填空题 9．P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝______________. 10．已知

6、向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是__________． 11．(20xx·厦门适应性考试)如图，在△ABC中，·＝0，＝3，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，N.若＝λ，＝μ(λ>0，μ>0)，则λ＋2μ的最小值是________． 12.(20xx·沈阳期中)在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝1，AB＝2，E、F分别为AB、BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动(如图所示)．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则2λ－μ的取值范围是______________.

7、 答案精析 1．B　[设P(x，y)，点M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝， 可得x－3＝(－5－3)，解得x＝－1； y＋2＝(－1＋2)，解得y＝－.∴P.故选B.] 2．B　[非零向量a、b使＝成立⇔a＝b⇔a与b共线且方向相同，故选B.] 3．A　[由a＝(1,2)，b＝(－3,2)，得ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，则由(ka＋b)∥(a－3b)，得(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，所以k＝－. 故选A.] 4．A　[设AC、BC边的中点为E、F，则由＋λ＋(1＋λ

8、)＝0，得＋λ＝0， ∴点O在中位线EF上． ∵△OAB的面积与△OAC的面积比值为3，∴点O为EF上靠近E的三等分点，∴λ＝.] 5．B　[∵＝＋，＝ ＝(－)＝－ ＝×－＝－， ∴＝＋－＝＋. 又＝λ＋μ，∴λ＝，μ＝，∴＝×＝3. 故选B.] 6．B　[作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F， 由题意，得∠ACD＝90°，CF＝BE＝FD＝， ∵＝－＝b－a， ∴＝＋＝a＋ ＝a＋(b－a) ＝－a＋b，故选B.] 7．B　[为上的单位向量，为上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的角平分线的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λ的方向与＋的方向相同，而＝＋λ，∴点P在上

9、移动．∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选B.] 8．D　[方法一　过点C作CE平行于MN交AB于点E. 由＝n可得＝， ∴＝＝， 由BD＝DC可得＝， ∴＝＝， ∵＝m，∴m＝， 整理可得＋＝3. 方法二　∵M，D，N三点共线， ∴＝λ＋(1－λ). 又＝m，＝n， ∴＝λm＋(1－λ)n.① 又＝， ∴－＝－， ∴＝＋.② 由①②知λm＝，(1－λ)n＝. ∴＋＝3，故选D.] 9．{(－13，－23)} 解析　P中，a＝(－1＋m,1＋2m)， Q中，b＝(1＋2n，－2＋3n)． 则解得 此时a＝b＝(－13，－23)． 10．k＝1

10、 解析　若点A，B，C不能构成三角形，则向量，共线，因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，所以1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1. 11. 解析　＝＋＝＋(－)＝＋. 设＝x＋y(x＋y＝1)， 则＝xλ＋yμ， 则即 故λ＋2μ＝＝≥＝. 当且仅当x＝y＝时，等号成立． 12．[－1,1] 解析　建立如图所示的直角坐标系，设∠PAE＝α，则  A(0,0)，E(1,0)，D(0,1)，F(1.5,0.5)，P(cosα，sin α)(0°≤α≤90°)． ∵＝λ＋μ， ∴(cosα，sin α)＝λ(－1,1)＋μ(1.5,0.5)， ∴cosα＝－λ＋1.5μ，sin α＝λ＋0.5μ， ∴λ＝(3sin α－cosα)，μ＝(cosα＋sin α)， ∴2λ－μ＝sin α－cosα＝sin(α－45°)． ∵0°≤α≤90°，∴－45°≤α－45°≤45°， ∴－≤sin(α－45°)≤， ∴－1≤sin(α－45°)≤1. ∴2λ－μ的取值范围是[－1,1]．