新版高三数学 第75练 古典概型与几何概型练习

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2、 1 第75练 古典概型与几何概型 训练目标 (1)理解古典概型的概念、会求古典概型的概率；(2)会利用几何概型的计算公式求几何概型的概率． 训练题型 (1)求简单古典概型的概率；(2)与其他知识交汇求古典概型的概率及古典概型的应用；(3)长度型、面积型、体积型几何概型；(4)几何概型的应用． 解题策略 对于古典概型：读懂题目，抓住解决问题的实质，即确定基本事件个数及所

3、求事件包含基本事件的个数．对于几何概型：(1)理解并会应用计算公式；(2)利用图形的几何性质求面积、体积，复杂图形可利用分割法、补形法. 一、选择题 1．(20xx·亳州质检)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与y＝x2＋1有交点的概率是(　　) A. B. C. D. 2．(20xx·青岛一模)如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是(　　) A. B. C. D.

4、 3.(20xx·长沙调研)如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f(x)＝sin x(x∈(0，π))及直线x＝a(a∈(0，π))与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若该点落在阴影部分的概率为，则a的值为(　　) A. B. C. D. 4．已知椭圆＋y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作A1A2的垂线交椭圆的于点P，则使得·<0的点M的概率为(　　) A. B. C. D. 5．抛掷两枚均匀的骰子，得到的点数分别为a，b，那么直线＋＝1的斜率k≥－的概率为(　　) A. B. C. D. 6．我们把日均收看体育节目的时间超过5

5、0分钟的观众称为“超级体育迷”．已知5名“超级体育迷”中有2名女性，若从中任选2名，则至少有1名女性的概率为(　　) A. B. C. D. 7.如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于(　　) A. B. C. D. 8．(20xx·昆明一模)小明从某书店购买5本不同的教辅资料，其中语文2本，数学2本，物理1本．若将这5本书随机排并摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是(　　) A. B. C. D. 二、填空题 9．从0,1,2,3,4,

6、5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________． 10．正月十六登高是“中国石刻艺术之乡”、“中国民间文化艺术之乡”四川省巴中市沿袭千年的独特民俗．登高节前夕，李大伯在家门前的树上挂了两串喜庆彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________． 11．已知平面区域D1＝{(x，y)||x|<2，|y|<2}，D2＝{(x，y)|kx－y＋2<0}．在区域D1内随机选取一点M，若点M恰好取自区域D2的概率为p，且0

7、

8、由题意知，阴影部分的面积为 sin xdx＝(－cosx)＝－cosa＋cos 0＝1－cosa，根据几何概型的概率计算公式知 ＝，即cosa＝－，而a∈(0，π)，故a＝，故选B.] 4．D　[设P(x，y)，则·<0⇒(－－x，－y)·(－x，－y)<0⇒x2－3＋y2<0⇒x2－3＋1－<0⇒|x|<，故所求的概率为＝.] 5．D　[记a，b的取值为数对(a，b)，由题意知(a，b)的所有可能的取值有36种．由直线＋＝1的斜率k＝－≥－，知≤，那么满足题意的(a，b)可能的取值为(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(6,1)，(6,2)，(6,

9、3)，共9种，所以所求概率为＝.] 6．A　[用ai表示男性，其中i＝1,2,3，bj表示女性，其中j＝1,2.记“选出的2名全都是男性”为事件A，“选出的2名有1名男性1名女性”为事件B，“选出的2名全都是女性”为事件C，则事件A包含(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，共3个基本事件，事件B包含(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6个基本事件，事件C包含(b1，b2)，共1个基本事件．事件A，B，C彼此互斥，事件至少有1名女性包含事件B和C，所以所求事件的概率为＝.] 7．B　[依题意得，点C的坐标为(1,2)，所

10、以点D的坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD的面积S矩形ABCD＝3×2＝6，阴影部分的面积S阴影＝×3×1＝，根据几何概型的概率求解公式，得所求的概率P＝＝＝，故选B.] 8．B　[语文、数学只有一科的两本书相邻，有2AAA＝48(种)摆放方法；语文、数学两科的两本书都相邻，有AAA＝24(种)摆放方法；而五本不同的书排成一排总共有A＝120(种)摆放方法．故所求概率为1－＝.故选B.] 9. 解析　十个数中任取七个不同的数共有C种情况，七个数的中位数为6，那么6只能处在中间位置，有C种情况，于是所求概率P＝＝. 10. 解析　设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，∴全部基本事件构成的区域为 符合题意的区域为 如图所示，由几何概型可知，所求概率为P＝1－＝. 11．[－1,0)∪(0,1] 解析　如图所示，平面区域D1是由边长等于4的正方形内部的点构成的，其面积为16，直线kx－y＋2＝0恒过定点P(0,2)．由于原点必在区域D2外，且图中每个阴影三角形的面积与大正方形的面积之比均为，故当k>0时，k∈(0,1]；当k<0时，k∈[－1,0)．从而k的取值范围为[－1,0)∪(0,1]． 12. 解析　若点P到原点的距离小于1，则，所以符合条件的点P构成的区域如图中阴影部分所示，所以点P到原点的距离小于1的概率为＝.