新教材2021-2022学年人教A版必修第一册 5.7　三角函数的应用 学案.docx

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1、5.7三角函数的应用途知识探究-素养启迪 核心知识目标 核心素养目标 1. 会用三角函数解决简单的实际问题. 2. 体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型. 通过实际问题，构建三角函数数学模型， 重点提升学生的数学抽象、数学运算和数 学建模的核心素养. ®知识探究 三角函数的应用 梳理三角函数的应用 (1) 函数y=Asin(3x+。),A>0,«>0中参数的物理意义 (2) 三角函数模型的应用 ① 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化的规律、预测其未来等方面都发挥着重要作用. ② 实际问题的背景往往比较

2、复杂,而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此在应用数学知识解决实际问题时，不仅要注意从复杂的实际背景中抽取基本的数学关系，而且还要调动相关学科知识来解决问题. 即时训练3-1:某海滨区域的某个观测点观测到该处水深y（米）是随 着一天的时间t（0WtW24,单位小时）呈周期性变化，某天各时刻t的 水深数据的近似值如表： t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5 根据表中近似数据画出散点图.观察散点图，从①y二Asin（cot+Q,②y二Acos（3t+

3、伊）+b,③y=-Asin«t+b（A>0,3〉0,-jt<0〈O）中选择一个合适的函数模型,并求出该拟合模型的函数解析式. 解:根据表中近似数据画出散点图，如图所示： 依题意，选②y=Acos(31+伊)+b作为函数模型， rrk|a2.4一0.6八八12.4+0.6<- 所以A==0.9,b==1.5,22 因为T二竺二12,0) 所以3二6 所以y=0.9cosGt+e)+1.5. 6 又因为函数y=0.9cos(?t+0)+1.5的图象过点(3,2.4),6 所以2.4=0.9Xcos(-X3+^)+l.5,6 所以cos(；+Q=1, 所以sin 又

4、因为-兀〈9<0,所以0=-p 所以y=0.9cos(:t-；)+1.5=0.9sin-t+l.5. 6寸方法总结 在处理曲线拟合和预测的问题时,通常需以下几个步骤根据原始数据，绘出散点图. (1) 通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线. (2) 根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式. (3) 利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据. ©备用例题 ［例1］图为大型观览车主架示意图.点0为轮轴中心，距地面高为32m(即OM=32m).巨轮半径为30m,点P为吊舱与轮的连接点，吊舱高2M即PM=2m),巨轮

5、转动一周需15min.某游客从点M进入吊舱后，巨轮开始按逆时针方向匀速转动3周后停止,记转动过程中该游客所乘吊舱的底部为点W. 试建立点帕距地面的高度h(m)关于转动时间t(min)的函数关系, 并写出定义域；求转动过程中点M'超过地面45m的总时长. 解：(1)如图所示，以0为坐标原点,建立平面直角坐标系xOy, 设以Ox为始边，按逆时针方向经过时间t(min)转动至终边0Pz所形成的角为靠蓦，则点P'的纵坐标为30sin(籍t-；), JL。乙所以此点距地面的高度为h=30sin(—t--)+32-2 =30(l-cos^t),te[0,45].⑵当点M'超过地面45m时,

6、h=30(l-cos|^t)>45,即cos—1<--, 152所以竺+2kn<—1<—+2kn,kGZ, 3153即5+15k

7、动物体的初相是 JL\JO(D) (A)三x-?阴 1033(C)三g 103解析:运动物体的相位是-X-?,初相是-?.故选D. JLUK_ZK-Z如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置0的位移s(cm) 与时间t(s)的函数关系式为s=6sin(2Jit+?),则单摆来回摆动一次所需的时间为s. 解析：因为单摆运动的周期为T二尹二1,故单摆来回摆动一次所需时间271 为1S. 答案:1如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(ni)在某天0〜 24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数解析式为・ 解析:根据题图设h二Asin(st+。),则A=6,T二

8、12,竺二12,所以。二匕点(6,0)为“五点”作图法中的第一点,所以兰X6+o二0,6 所以0二一Ji,所以h=6sin(-t-n)=-6sin^t,te[0,24]. 答案:h=-6sin-t,[0,24]6 sin(n 解析：由题意可知点P运动的角速度是牙二n(弧度/秒),那么点P运动t秒后ZPOx=ITt+号,又三角函数的定义可知，点P的纵坐标是sin(IT因此该质点到X轴的距离y关于时间t的函数解析式是y二故选A. 3.在两个弹簧上各有一个质量分别为Mi和M2的小球做上下自由振动. 已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移sjcm)和s2(cm)分别由Si=5sin(2t

9、+£),s2=10cos2t确定，则当t二籍s时,Si与S2的大小关系 63是(C)(A)si>s2(B)si

10、k=5,6 故这段时间水深的最大值为3+5=8(m).故选C. 显课堂探究-素养培育 三Q探究点一三角函数在生活中的应用 ［例1］已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0 WtW24,记y二f(t),下表是某日各时的浪高数据： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5 经长期观测,y二f(t)的图象可近似地看成是函数y二Acos«t+b的图象 (1) 根据以上数据，求其最小正周期、振幅及函数解析式； ⑵根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲

11、浪爱好者开放，请依据⑴的结论，判断一天内的8:00到20:00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？ 解：(1)由表中数据可知,T=12, 所以3二6 又t=0时，y=l.5, 所以A+b=1.5; t=3时，y=l.0,得b=l.0, 所以振幅为!， 函数解析式为y=|cos^t+l(OWtW24). (2) 因为y>l时，才对冲浪爱好者开放， 所以y=；cos?t+l〉l,26 cos-t>0,2kn--<-t<2kJi+-,6262 即12k-3

12、个小时冲浪爱好者可以进行活动，即 即时训练1_1:海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮. 一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐•在通常情况下,船在涨潮时驶进航道，靠 近码头;卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表: 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 水深/米 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 时刻 15:00 18:00 21:00 24:00 水深/米 7.5 5.0 2.5 5.0 ⑴若用函数f(t)=Asin(ot+)+h(A>0,co>0,9I〈；）来近似描述这 个

13、港口的水深和时间之间的对应关系，根据表中数据确定函数表 达式; ⑵一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米,安全条例规定 要有2.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口? 解：（1）水深和时间之间的对应关系，周期T=12. 所以％ —a7.5一2.5517.5+2.5(- 可知—亏h=—一二5. 所以f(t)二:sin(?t+Q+5. 26 当t二3时f(3)=7.5. 即sin(3X-+^)=l. 6 因为I9I<7,所以。二0. 所以函数表达式为f(t)=Esin兰t+5.(0〈tW24)26 (2)船底与水面的距离为4米,船底与洋底的

14、距离为2.25米, 所以yN6.25,BP-sin-t+5^6.25. 26 可得62 所以兰+2knC-tW竺+2kn,keZ. 666 解得lWtW5或13WtW17. 故得该船lWtW5或13WtW17,能进入港口满足安全要求. 寸方法总结 解三角函数应用问题的基本步骤 申清题意 建立函数模型 解答函数模型 读憧题目中的“文字”“图象”“符号”等语言,理解所反映的实际问题的背景，提炼出相应的数学问建 整理数据，引入变量,找出变化规律，运用巳掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型 利用所学的三角函数知识解答得到的三角函数模型，

15、求得结果得出结论 得出结论 将所得结论翻译成实际问题的答案 拿易错警示 (1) 实际问题中要注意函数的定义域. (2) 建立数学模型解决实际问题，所得的模型是近似的,并且得到的解也是近似的，这就需要根据实际背景对问题的解进行具体分析. 三。探究点二三角函数在物理中的应用［例2］已知电流I与时间t的关系为I二Asin(3t+9). 在一个周期内的图 (1) 如图所示的是I二Asin(3t+e)(3>0,象根据图中数据求I=Asin(3t+0)的解析式;⑵如果t在任意-段看秒的时间内，电流I=Asin(3t+Q都能取得最大值和最小值，那么①的最小正整数值是多少？解：⑴

16、由题图知A=300,设tl=-—,t2=—, 900180则周期T=2（t2-tj=2（土+上）二土 18090075所以3二?二150兀.又当t二佥时，I=0,即sin(150Ji•— 180所以0二?・ 6故所求的解析式为I=300sin(150n (2) 依题意，周期TW志,即滂制3＞。),所以3N300兀＞942,又3仁N*,故所求最小正整数①=943. 即时训练2-1:交流电的电压E(单位:V)与时间t(单位:s)的关系可用 E=220V3sin(100兀t+-)来表示，求： 6 (1) 开始时的电压； (2) 电压值重复出现一次的时间间隔； (3) 电压的最大

17、值和第一次获得最大值的时间. 解：⑴当t=0时,E=110V3, 即开始时的电压为110必V. (2) T二嘉二土(s),即时间间隔为0.02s. 1001150 (3) 电压的最大值为220V3V, 由100ITt+-=-,解得t=—. 62300 故当t二&S时，电压第一次取得最大值. OUU寸方法总结 在物理学中,物体做简谐运动时可用正弦型函数y=Asin(3x+Q表示物体振动的位移y随时间x的变化规律,A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离,T二竺为周期，表示物体往复振动一次所需的时间,f*为频率，表示物体在单位时间内往复运动的次数. 三Q探究点三数据拟合模型

18、 ［例3］下表是某地某年月平均气温(华氏): 月份 1 2 3 4 5 6 平均 气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6  月份 7 8 9 10 11 12 平均 气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 以月份为X轴(X二月份-1),以平均气温为y轴. (1)根据表中数据画出月份和温度构成的散点图; (2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A; (3) 下面三个函数模型中，哪一个最适合这些数据? 解：(1)如图. nx 6 7TX 6 日1r8070605040302010O ♦% •2 • O It • 8 ⑵最低气温为1月份21.4,最高气温为7月份73.0,故:二7-1二6,所以 T=12. 因为2A的值等于最高气温与最低气温的差， 即2A二73.0-21.4=51.6, 所以A二25.8. (3) 因为x二月份-1, 所以不妨取x=2-l=l,y=26.0.代入①,得三二籍当〉筋cos故①不适A25.86 合;代入②,得A^W：：6〈0Ucos三,故②不适合;代入③，得A25.86 丝二近性〉0且近竺&1,故③适合.所以应选③. -A-25.8-25.8