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专题能力训练21 函数与方程思想
(时间:60分钟 满分:100分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.若关于x的方程ax+=3的正实数解有且仅有一个,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,0)
B.(-∞,0]∪{2}
C.[0,+∞)
D.[0,+∞)∪
3、{-2}
2.在正项等比数列{an}中,an+1
4、 C D.3
7.已知偶函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),且当x∈[0,1]时,f(x)=x2,则关于x的方程f(x)=10-|x|在上根的个数是( )
A.4 B.6 C.8 D.10
8.已知函数f(x)=则方程f=1的实根个数为( )
A.8 B.7 C.6 D.5
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
9.对于满足0≤p≤4的实数p,使x2+px>4x+p-3恒成立的x的取值范围是 .
10.已知x,y,且有2sin x=sin y,tan x=tan y,则cos x= .
11.已知向量a,b及实数t满足|a
5、+tb|=3.若a·b=2,则t的最大值是 .
12.已知数列{an}的通项公式为an=25-n,数列{bn}的通项公式为bn=n+k,设cn=若在数列{cn}中,c5≤cn对任意n∈N*恒成立,则实数k的取值范围是 .
13.已知△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,且tan B=,则tan B等于 .
14.(20xx浙江金华十校4月模拟)已知实数x,y,z满足则xyz的最小值为 .
三、解答题(本大题共1小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分30分)过离心率为的椭圆C:=1(a>b
6、>0)的右焦点F(1,0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,设|FA|=λ|FB|,T(2,0).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若1≤λ≤2,求△ABT中AB边上中线长的取值范围.
参考答案
专题能力训练21 函数与方程思想
1.B
2.D 解析 由题意可知a4·a6=6,且a4+a6=5,解得a4=3,a6=2,所以.
3.B 解析 因为f(x)=1-2sin2x+6sin x
=-2,
而sin x∈[-1,1],所以当sin x=1时,f(x)取最大值5,故选B.
4.A
5.C 解析 令f(x)=3si
7、n(3x+φ)=2,
得sin(3x+φ)=∈(-1,1),
又x∈[0,π],∴3x∈[0,3π],
∴3x+φ∈[φ,3π+φ];
根据正弦函数的图象与性质,可得该方程在正弦函数一个半周期上最多有4个解,即函数y=f(x)的图象与直线y=2的交点最多有4个.故选C.
6.A
7.B 解析 由题意,可得f(x+2)=f(x),即函数f(x)是周期为2的周期函数,又f(x)是偶函数,所以,在同一坐标系内,画出函数f(x),y=10-|x|=的图象,观察它们在区间的交点个数,就是方程f(x)=10-|x|在上根的个数,结合函数图象的对称性,在y轴两侧各有3个交点,故选B.
8.
8、C 解析 令f(x)=1得x=3或x=1或x=或x=-1,∵f=1,
∴x+-2=3或x+-2=1或x+ -2=或x+ -2=-1.
令g(x)=x+-2,则当x>0时,g(x)≥2-2=0,
当x<0时,g(x)≤-2-2=-4,
作出g(x)的函数图象如图所示:
∴方程x+-2=3,x+-2=1,x+-2=均有两解,方程x+-2=-1无解.
∴方程f=1有6解.故选C.
9.(-∞,-1)∪(3,+∞) 解析 x2+px>4x+p-3对于0≤p≤4恒成立可以变形为x2-4x+3+p(x-1)>0对于0≤p≤4恒成立,所以一次函数f(p)=(x-1)p+x2-4x+3在区间
9、[0,4]上的最小值大于0,即
所以x的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞).
10. 解析 由-cot2y=1,得=1,化为4cos2x=1,因为x∈,所以cos x=.
11. 解析 a·b=2⇒abcos θ=2(θ为a,b的夹角),|a+tb|=3⇒9=a2+t2b2+4t,
∴9=a2++4t≥4t≥8t,
∴t≤,等号成立当且仅当|cos θ|=1.
12.[-5,-3] 解析 数列cn是取an和bn中的最大值,据题意c5是数列{cn}的最小项,由于函数y=25-n是减函数,函数y=n+k是增函数,所以b5≤a5≤b6或a5≤b5≤a4,即5+k≤25-5≤6+k或2
10、5-5≤5+k≤25-4,解得-5≤k≤-4或-4≤k≤-3,所以-5≤k≤-3.
13.2- 解析 由余弦定理得a2+c2-b2=2accos B,
再由,得accos B=,
∴tan B==2-.
14.9-32 解析 由xy+2z=1,可得z=.
∴5=x2+y2+≥2|xy|+,当xy≥0时,x2y2+6xy-19≤0;当xy<0时,x2y2-10xy-19≤0.
由x2y2+6xy-19≤0,解得0≤xy≤-3+2.
由x2y2-10xy-19≤0,解得5-2≤xy<0.
∴xyz=xy·=-,
可得当xy=5-2时,xyz取得最小值为9-32.
15.解 (1)∵e=,c=1,∴a=,b=1,
∴椭圆C的方程为+y2=1.
(2)①当直线的斜率为0时,显然不成立.
②设直线l:x=my+1,设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立x2+2y2-2=0得(m2+2)y2+2my-1=0,
所以y1+y2=,y1y2=.
由|FA|=λ|FB|,得y1=-λy2.
因为-λ+,
所以-λ++2=.
所以0≤m2≤.
所以AB边上的中线长为|
=
=.
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