新版高考数学文复习检测：专题四 高考解答题鉴赏立体几何 课时作业47 Word版含答案

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2、 1 课时作业47　高考解答题鉴赏——立体几何 1．(20xx·南宁模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，N为AD的中点． (1)求证：AD⊥平面PNB； (2)若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P－NBM的体积． 解：(1)证明：∵PA＝PD，N为AD的中点，∴PN⊥AD

3、. ∵底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°， ∴BN⊥AD. ∵PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PNB. (2)∵PA＝PD＝AD＝2. ∴PN＝NB＝. ∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD.∴PN⊥平面ABCD， ∴PN⊥NB， ∴S△PNB＝××＝. ∵AD⊥平面PNB，AD∥BC， ∴BC⊥平面PNB. ∵PM＝2MC， ∴VP－NBM＝VM－PNB＝VC－PNB＝×××2＝. 2．(20xx·山西四校联考)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，矩形DCBE所在的平面垂直于圆O所在的平面，AB＝4，BE＝1. (1)证明：平

4、面ADE⊥平面ACD； (2)当三棱锥C－ADE的体积最大时，求点C到平面ADE的距离． 解：(1)证明：∵AB是直径，∴BC⊥AC. 又四边形DCBE为矩形， ∴CD⊥DE，BC∥DE， ∴DE⊥AC. ∵CD∩AC＝C，∴DE⊥平面ACD. 又DE⊂平面ADE， ∴平面ADE⊥平面ACD. (2)由(1)知VC－ADE＝VE－ACD＝×S△ACD×DE＝××AC×CD×DE＝×AC×BC≤×(AC2＋BC2)＝×AB2＝. 当且仅当AC＝BC＝2时等号成立． ∴当AC＝BC＝2时，三棱锥C－ADE的体积最大，为.此时，AD＝＝3，S△ADE＝×AD×DE＝3，设点C到

5、平面ADE的距离为h，则VC－ADE＝×S△ADE×h＝，h＝. 3．(20xx·长春模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝1，点E，F分别为AB和PD的中点． (1)求证：直线AF∥平面PEC； (2)求三棱锥P－BEF的表面积． 解：(1)证明：如图，作FM∥CD交PC于M，连接ME. ∵点F为PD的中点，∴FM綊CD， 又AE綊CD，∴AE綊FM， ∴四边形AEMF为平行四边形， ∴AF∥EM， ∵AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC， ∴直线AF∥平面PEC. (2)连接ED，BD，可知ED

6、⊥AB， ⇒AB⊥PE，AB⊥FE. 故S△PEF＝PF×ED ＝××＝； S△PBF＝PF×BD＝××1＝； S△PBE＝PE×EB＝××＝； S△BEF＝EF×EB＝×1×＝. 因此三棱锥P－BEF的表面积SP－BEF＝S△PEF＋S△PBF＋S△PBE＋S△BEF＝. 1．在如图①所示的半圆O中，AB为直径，C为半圆O(A，B除外)上任一点，D、E分别在AO、AC上，DE⊥AB.现将△ABC沿DE折起使得AD⊥BD，从而构成四棱锥A－BCED，如图②所示． (1)在图②中，若F是BC上的点，且EC∥平面ADF，求证：BC⊥AF； (2)若翻折前DC＝，AD

7、＝1，∠BAC＝30°，求翻折后四棱锥A－BCED的体积． 解：(1)证明：因为EC∥平面ADF，平面BCED∩平面ADF＝DF，所以EC∥DF.由已知可得EC⊥BC，所以DF⊥BC. 又AD⊥BD，AD⊥DE，DE∩BD＝D，所以AD⊥平面BCED， 又BC⊂平面BCED，所以AD⊥BC. 又AD∩DF＝D，所以BC⊥平面ADF. 又AF⊂平面ADF，所以BC⊥AF. (2)设半圆O的半径为R，在图中连接OC， 因为∠BAC＝30°，AB⊥DE，AC⊥BC，AD＝1， 所以DE＝AD·tan30°＝， ∠AOC＝120°，DO＝R－1，OC＝R. 又DC＝，在△OCD

8、中，由余弦定理得DC2＝OD2＋OC2－2OD·OC·cos120°，即7＝(R－1)2＋R2－2(R－1)·R·，即(R－2)(R＋1)＝0，解得R＝2或R＝－1(舍去)．所以AC＝2R·cos30°＝2，BC＝2R·sin30°＝2. 所以S四边形BCED＝S△ABC－S△ADE＝×2×2－×1×＝. 由(1)知四棱锥A－BCED的高为AD＝1， 所以四棱锥A－BCED的体积为 V＝×AD×S四边形BCED＝×1×＝. 2．如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥BC，且A1A＝AB＝BC＝1，CD＝2. (1)求证：AB1⊥平面A1BC； (

9、2)在线段CD上是否存在点N，使得D1N∥平面A1BC？若存在，求出三棱锥N－AA1C的体积，若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：因为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，所以A1A⊥BC. 因为AB⊥BC，AB∩A1A＝A，所以BC⊥平面AA1B1B. 又AB1⊂平面AA1B1B，所以AB1⊥BC. 因为A1A⊥AB，A1A＝AB＝1，所以四边形AA1B1B是正方形，所以AB1⊥A1B. 因为A1B∩BC＝B，所以AB1⊥平面A1BC. (2)法1：存在，当N为CD的中点时，D1N∥平面A1BC.理由如下： 若N为CD的中点，连接

10、BN，因为AB∥CD，AB＝BC＝1，CD＝2，所以AB∥DN，AB＝DN，所以四边形ABND为平行四边形，所以BN∥AD，BN＝AD. 在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥A1D1，AD＝A1D1，所以BN＝A1D1，BN∥A1D1，所以四边形A1BND1为平行四边形，所以A1B∥D1N. 又D1N⊄平面A1BC，A1B⊂平面A1BC， 所以D1N∥平面A1BC. 易知S△ACN＝S△BCN＝CN×BC ＝×1×1＝， 又A1A⊥平面ABCD，A1A＝1， 所以V三棱锥N－AA1C＝V三棱锥A1－ACN＝S△ACN×A1A＝××1＝，即三棱锥N－AA1C的体积为.

11、 法2：存在，当N为CD的中点时，D1N∥平面A1BC. 理由如下：若N为CD的中点，取C1D1的中点M，连接BN，A1M，MC，如图所示，因为在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1B1∥C1D1，A1B1＝1，C1D1＝2，所以A1B1∥MC1，A1B1＝MC1，所以四边形A1B1C1M为平行四边形，所以A1M∥B1C1，A1M＝B1C1. 又BC∥B1C1，BC＝B1C1，所以A1M∥BC，A1M＝BC，所以四边形A1BCM为平行四边形，所以A1B∥CM.又D1M＝NC＝1，D1M∥NC，所以四边形D1MCN为平行四边形，所以MC∥D1N，所以D1N∥A1B. 又D1N⊄平面A1BC，且A1B⊂平面A1BC， 所以D1N∥平面A1BC. 易知S△ACN＝S△BCN＝CN×BC＝×1×1＝，又AA1⊥平面ABCD，AA1＝1，所以V三棱锥N－AA1C＝V三棱锥A1－ACN＝S△ACN×A1A＝××1＝，即三棱锥N－AA1C的体积为.