新教材2021-2022学年人教A版必修第一册 5.6.1-5.6.2 匀速圆周运动的数学模型 函数y=Asin(ωx+ )的图象 学案.docx

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1、5.6函数y=Asin（3x+。） 5.6.1匀速圆周运动的数学模型 5.6.2函数y=Asin（3x+s）的图象云知识探究二素养启迪— 核心知识目标 核心素养目标 1.会用“五点法”画出y二Asin（3x+。）的图象. 2. 掌握y=sinx与y=Asin（3x+e）图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤. 3. 能根据y=Asin（3x+Q的部分图象确定其解析式. 4. 整体把握函数y=Asin（3x+伊）的图象与性质，并能解决有关问题. 1. 通过整体代换和图象的变换提升学生的直观想象、逻辑推理和数学抽象的核心素养. 2. 通过函数图象能抽象出数学模型，并能研究函

2、数的性质，逐步提升学生的数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模的核心素养. ®情境导入 在物理中，简谐运动中单摆相对平衡位置的位移y与时间x的关系、 交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y二Asin（3x+3）的函数. 如图⑴所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象 (B) 向左平移?个单位长度向右平移普个单位长度 (C) 向右平移?个单位长度6 解析：因为y=2cos2x=2cos(-2x)=2sin(；+2x),又2(x+m孕X+；, 故只需将f(x)=2sin(2x-?)的图象向左平移捋个单位长度即可得到OJL乙 y=2cos2x的图象.故选A. ■方法

3、总结 对于异名三角函数图象变换问题,首先要利用诱导公式sina=cos(a- =cos(a- a ?),将不同名函数转换成同名函数，另 外，在进行图象变换时，要记住每一个变换总是对变量X而言. 二Q探究点一函数y=Asin(3x+o)的图象探究角度1“五点法”作图 ［例4］用“五点法”作出函数y=|sin(ix-^)的简图. 解：函数y=|sin(ix-=)的周期仁彳」6n,先用“五点法”作它在长度3 为一个周期上的图象.列表如下： X JT 5tt 4兀 117T 7Ji T 2 17T-x—33 0 n 2 ji 3汗 T 231 3

4、./I7T、芒ng) 0 3 2 0 3 2 0 描点、连线，如图所示, 利用该函数的周期性，把它在一个周期上的图象分别向左、右扩展,从而得到函数y4sin(V=)的简图. 即时训练4T:作出函数y=V2sin(2x-^)在xE芋］上的图象. 484 解:令X=2x-p列表如下： 4描点连线得图象如图所示. X 0 7T 2 ji 3tt T 2Ji X 71 8 3tt 5tt T 7n ~8 9tt T y 0 V2 0 -V2 0 ■方法总结 (1)“五点法”作图的实质 利用“五点法”作函数

5、f(x)=Asin(3x+Q的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象. ⑵用“五点法”作函数f(x)=AsinSx+Q图象的步骤第一步：列表. TI 1 3x+0 101 1I 11 2” 1 第三步:用光滑曲线连接这些点，形成图象. X 一％ 3 n(p 2CO3 7T_(p 33 37i_(p 2CO3 27i_(p 33 f(x) 0 A 0 -A 0 第二步:在同一坐标系中描出各点. 探究角度2根据函数图象确定函数的解析式 ［例5］如图是函数y=Asin（3x+o）

6、（A＞0,（。＞0,|少|＜；）的图象的一部分,求此函数的解析式. 解:法一（五点作图法）. 由图象知A二3,T^—（一?）=兀，所以s二?=2,所以y=3sin（2x+。）.因为点（三,0）在函数图象上， 6所以0=3sin（Mx2+。）. 6所以-：X2+e=k兀, 6得甲=^+k兀（k仁Z）. 3因为静|§,所以所以y=3sin（2x+-）. 3法二（待定系数法） 由图象知A=3.因为图象过点（?,0）和（三0）,36 HO) ；+叩= 5iro) +(p= 所以 2IT, o)=2,解得？=二 、3所以y=3sin(2x+?). 法三(图象变换法

7、)由A=3,T=n,点(-?,0)在图象上，可知函数图象是由y=3sin2x向左 6平移！个单位长度而得到的，所以y二3sin[2(x+?)], 66即y=3sin(2x+-). 3即时训练5-1:函数f(x)=Asin(3x+e)(A>0,w>0,\(P\<^)的部分图 象如图所示.求函数图象的解析式. 解:根据函数f(x)=Asin(3x+伊)(A>0,3〉0,|。|

8、0)的解析式的方法（DA:一般可由图象上的最高点、最低点的纵坐标来确定IA|. （2）3：因为T二竺,所以往往通过求T来确定3.图象上相邻的两个对3称中心之间的距离为!,相邻的两条对称轴之间的距离为!，相邻的对称轴与对称中心之间的距离为? 4 ⑶9:①把图象上的一个已知点的坐标代入来求. ②寻找“五点法”中的某一个点来求，利用“第一点”（即图象上升时与X轴的交点）时，令3X+。=0；利用“第二点”（即图象的“峰点”）时，令3X+9。利用“第三点”（即图象下落时与X轴的交点）时，令3X+OF；利用“第四点”（即图象的“谷点”）时，令3X+。二*利用“第五点"时，令（dx+o=2ji・特别

9、地，对于y=Asin（3x+e）+k（A,3,k均不为0）的图象，当A>0时可利用最高点的纵坐标,A+k二y^ax,最低点纵坐标kf二尸心求A,k.而3,伊|的求解方法同y二Asin（3x+jM）的求解方沃？点探究点三匀速圆周运动的数学模型 ［例6］如图所示，摩天轮的半径为40m,0点距地面的高度为50m,摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每2min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点. ⑴试确定点P距离地面的高度h（单位:m）关于旋转时间t（单位:min） 的函数解析式；(2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间点P距离地面超过70m? 解: (1) 建立平面直角坐标系，如图所示

10、. 设。(0WvW2兀)是以x轴正半轴为始边,OP°(Po表示点P的起始位置)为终边的角，由题意知0P在t(min)内转过的角为*，即兀t, 所以以x轴正半轴为始边,0P为终边的角为(兀t+伊)，即点P的纵坐标为40sin(Jit+o), 由题意知。专所以点P距离地面的高度h关于旋转时间t的函数解析式为h=50+40sin(jtt+^), 化简得h=50+40cosnt. (2) 当50+40cosnt>70时，解得2k-|

11、 即时训练6-1:如图，一个水轮的半径为4m,水轮圆心0距离水面2m,已知水轮每分钟转动5圈，如果从水轮上点P从水中浮现时(图中点P。)开始计算时间. 将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数; (1) 点P第一次到达最高点大约需要多长时间？ 解：(1)建立如图所示的平面直角坐标系.设角9<0)是以Ox为始边,0P。为终边的角.0P每秒所转过的角为穿二?， 606 则0P在时间t(s)内所转过的角为?t. 6 由题意可知水轮逆时针转动，得z=4sinGt+伊)+2. 6当t=0时，z=0, 得sin(P艮(P26 故所求的函数解析式为z=4sin(?t-

12、?)+2. 66 (2)令z=4sin(:t-：)+2=6,得sin(W=l, 令得并4,故点P第一次到达最高点大约需要4s. ■方法总结匀速圆周运动是一种常见的运动模型，显然做匀速圆周运动的物体具有周而复始的变化规律，因此可以用三角函数加以刻画.首先疽苹面直角坐标系，然后利用三角函数的定义表达出所求问题,进而函函数y=Asin（3x+|e|）的图象与性质解决. ⑥备用例题 ［例1］将函数y=sin（x-=）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移:个单位长度，得到的图象对应的解析式是（）(A)y=sin农 2 (A)y=sin农 2

13、 (B)y=sin (C)y二sin (汜) (D)y二sin(2x-：) 解析:将函数y=sin（x-；）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到y=sin（?x-g）,再向左平移;个单位长度得到的解析式为y=sin[?(x+?)-?]=sin ［例2］将函数y=sin（3x+u）（3>0,|伊|

14、x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的?（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为y=sin2x,再将此函数图象向右平移;个单位长度，所得图象的函数解析式为y=sin6 2（x-：）,即y二sin（2x-；）,所以3=2,故选B.法二（正向变换）将y=sin（3x+伊）的图象向左平移!个单位长度后,得到y二sin（3x+m+。）的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即得疙sin（：3x+m+。）的图象，又26 sin（-wx+—+^）=sinx,3〉0,|伊|〈兀，从而二3二1,竺=0,解得3 2626=2,故选B. ［例3］为了得到函数y=4sin（x-=）的

15、图象，只要把函数y=3cos（普-x）的图象上所有的点（）（A）纵坐标缩短到原来的:倍，再向左平移：个单位长度 4 5（B）纵坐标伸长到原来的:倍，再向右平移：个单位长度 （C）横坐标缩短到原来的:倍,再向左平移!个单位长度45 （D）横坐标伸长到原来的:倍，再向右平移彳个单位长度解析：由题得函数y二3cos（苔x）=3cos（x-^ji）二3cos（-；+x+? Ji）=3sin（x+-兀）. 函数y=4sin（x-=）=3X：sin［（x-|心+口所以需要把纵坐标伸长到原来的:倍，再向右平移m个单位长度•故选b. ［例4］函数f（X）=cos（3x+9）的部分图象如图所示，则f

16、（x）的单调递减区间为（） (kn-ikji+J,keZ (A) (2kn-i2kn+^),keZ(c)(k-ik+|),kez (D)(2k-i2k+|),kez解析:法一由题图可知?二：-手1,244 所以T=2,g)=k,又由题图知f(i)=O,4 即-+^=-+2kn,kEZ, 42得9工+2kn,k£Z, 4此时f(x)=cos(nx+：+2kn)=cos(nx+j),kUZ. 由2kJi

17、;与%勺中点为年二;. 4424即当时,f(x)取最小值，其左侧相邻的最大值点为x=^-l=-^.［—；，：］为一个递减区间，结合周期T=2k. 44故选D. ［例5］作出函数y二3sin(2x+?),xeR的简图，并说明它与y=sinx的图象之间的关系. 解:列表： X Tt 6 71 12 71 3 7tt 12 5/r T 2x+J 3 0 7T 2 n 3tt T 2n 3sin(2x+-) 3 0 3 0 -3 0 r- 5 4 3 2 r- 5 4 3 2 11uiI -5F 123456

18、7891011121314X 将测得的图象放大如图(2)所示，可以看出它和正弦曲线很相似. 探究：能否通过函数y二sinx的图象得到函数y=Asin(3x+o)的图象呢？提示：能. ©知识探究 1. 匀速圆周运动的数学模型［问题1］筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用什么函数模 型来刻画它的运动规律？ 提示：三角函数模型. 梳理1匀速圆周运动的数学模型 如图所示，以0为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立直角坐标系.设t=0时，盛水筒M位于点Po,以Ox为始边,OPo为终边的角为。，经过ts后运动到点P(x,y).于是，以Ox为始边,0P为终边的角为3t+e,并且有y二r

19、sin(3t+下). 所以盛水筒M距离水面的高度II与时间t的关系是H=rsin(3t+Q+h. 描点画图，如图,3 3 y^=sinx \y=sin(x45)=血(2«+手) y=3#in(2x+j) 利用函数的周期性，可以把上述简图向左、右扩展，就得到y=3sin(2x+-),x£R的简图. 3从图可以看出，y=3sin(2x+?)的图象是用下面方法得到的. 法一(X—x+；—2x+；), 向左平移奇个单位长度y=sinx的图象，y二sin(x+?)的图象 横坐标绵短为原来的号，纵坐标不变y=sin(2x+;)的图象 横坐标不变r 奴坐标伸长到原来

20、的3倍＞y=3sin(2x+?)的图象. 法二(X-2x-2(x+;)=2x+?),y=sinx的图象 ，心向左平移专个单位长度 y=sin2x的图象► y=sin[2(x+?)]=sin(2x+;)的图象 横坐标不变 奴坐标伸长为废来的3倍'y=3sin(2x+-)的图象. 3 y=sinx的图象 ，心向左平移专个单位长度 y=sin2x的图象► y=sin[2(x+?)]=sin(2x+;)的图象 横坐标不变 奴坐标伸长为废来的3倍'y=3sin(2x+-)的图象. 3 横坐标绵短为原来的日■，纵坐标不变©课堂达标 1. (2020•广西百色田阳高中高

21、一期末)把函数y=sinx(xeR)的图象上所有点向左平行移动?个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的m纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是(c)y=sin(2x-^),xER (A) y=sin(；+：),xGRy=sin(2x+-),x《R 3y=sin(2x+?),x£R 解析:把函数y=sinx的图象上所有的点向左平行移动?个单位长度得到函数y二sin(x+?)的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的：(纵坐标不变)得到函数y二sin(2x+?)的图象，故选C. 2. 己知函数y=sin(3x+。)(3>0,-nW冰只)的部分图象如图所示，贝U甲=.

22、0-1 2ir 3宣 解析：由题中图象知函数y二sinOx+Q的周期为2(2n-y)号所以竺二件， O)2所以3彳因为当X二手时,y有最小值T,所以-X—+(p=2kJi--(kEZ). 542因为-n〈兀，所以。二藉. 10答案卷 3. (2020•浙江杭州高一期末)将函数y=3sin(2x+-)的图象向右平移？ 46个单位长度，则平移后函数图象的解析式为,平移 后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是. 解析:将函数y=3sin(2x+;)的图象向右平移?个单位长度，46 可得f(x)=3sin[2(X-：)+：]=3sin(2x-£),即平移后函数图象的解析式为f(x)

23、=3sin(2x-£). 令2x-—=-+kJT,keZ, 122解得xf+^,kEZ, 242当k二。时,xf; 24当k二-1时，X。务， 24所以平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是X。芸. 24答案：f(x)二3sin(2x-%)x=-|^ JL££V 2. 参数9,3,A对y=Asin(3x+。)图象的影响［问题2-1］观察下面如图所示的函数图象，比较函数y=sin(x+;)与函数y=sinx的图象的形状和位置，你有什么发现？ 提示:两图象形状完全相同，只是位置不同，函数疙sin(x+；),xUR的图象可看作是把正弦曲线y=sinx上所有的点向左平移:个单位

24、长度而得到. ［问题2-2］观察下面如图所示的函数图象，比较函数y=sin(2x+;)与函数y=sin(x+?)的图象的形状和位置，你有什么发现？ 提示：函数y=sin(2x+?)的图象是由函数y=sin(x+；)的图象上各点的横坐标缩短为原来的;，纵坐标不变而得到的. ［问题2-3］观察下面如图所示的函数图象，比较函数y=3sin(2x+?)与函数y=sin(2x+；)的图象的形状和位置，你有什么发现？  提示：函数y=3sin（x+^）的图象是由y=sin（2x+;）的图象上各点的纵坐标变为原来的3倍,横坐标不变得到的. 梳理2参数（。，0,A对函数y=Asin（G）x+

25、o）图象的影响（1）。对y=sin（x+e）,xCR图象的影响 一般地，当动点M的起点位置Q所对应的角为。时,对应的函数是y二sin（x+QO70）,把正弦曲线上的所有点向左（当。>0时）或向五 （当冰0时）平移］心个单位长度，就得到函数y二sin（x+Q的图象.如图所示. /zy=«>nx y=sin(x+^) （2）3（3>0）对y=sin（3x+。）图象的影响一般地，函数y=sin（o）x+Q的周期是竺，把y二sin（x+o）图象上所有0） 点的横坐标缩短（当3>1时）或伸长（当0

26、n(a>x45P) A(A>0)对y=Asin(3x+v)图象的影响 一般地，函数y=Asin（（qx+Q的图象可以看作是把y=sin（sx+Q图象上所有点的纵坐标俚长（当A>1时）或缩短（当O〈A〈1时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到.如图所示. 梳理3由函数y-sinx的图象变换得到函数y=Asin(3x+°)的图象一般地，函数y=Asin(3x+9)(A>0,3>0)的图象，可以用下面的方法得到:先画出函数y=sinx的图象;再把正弦曲线向左(或向右)平移］伊」个单位长度，得到函数y=sin(x+e)的图象;然后把曲线上各点的横坐标变为原来的土倍(纵坐标不变)，得到函数y=s

27、in(3x+0)的图象;0) 最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的&倍(横坐标不变)，这时的曲线就是函数y=Asin(3x+9)的图象. ®小试身手 1. 为了得到函数y=sin(x+l)的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点(A)向左平行移动1个单位长度 (A) 向右平行移动1个单位长度向左平行移动n个单位长度 (B) 向右平行移动n个单位长度解析：因为由y=sinx到y二sin(x+l),只是横坐标由x变为x+1, 所以要得到函数y=sin(x+l)的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度，故选A. 2. 用“五点法”作函数f(x)=sin

28、(2x《)在x《［0,兀］上的图象时，下列所给点可以是“五点法”中的点的坐标为(B)(0,-y)(B)(若,1) (B) (：,l)(D)s-乎)解析:因为f(三)-sin(2X若-：)二sin写-令)=sin号】•所以(若,1)是 “五点”中的一个最大值点.而f(7)=0.故当时,y=0.即点弓,0) 666 满足，而非弓,1).D错误，故选B. 6 函数y=Asin(3x+°)+k的部分图象如图，则它的振幅A与最小正周期 T分别是(D)A=3,T丹 6A=3, 3A=|,T守 (A) A=-,胃 2 3解析：由题图可知A=(3-0) 设周期为T,则§二乒(日)二?，

29、得T=—. 3故选D. 4. 要得到函数y=sin(2x-=)的图象，只需将函数y=sin2x的图象(A) (A) 向右平移:个单位长度6 (B) 向左平移?个单位长度6 (0向右平移?个单位长度向左平移?个单位长度 解析:因为函数y=sin(2x-2)=sin[2(x-2)],所以只需将函数y=sin2x的图象向右平移?个单位长度即可.故选A. 6扁慝堂探究—・_素_仙肖. 迎探究点一三角函数图象的变换探究角度1三角函数图象的平移变换 [例1]要得到函数y=sin(2x-J的图象只需将函数y=sin(2x-J的图象()向左平移?个单位长度 (A) 向左平移三个单位长度向右

30、平移!个单位长度 (B) 向右平移湛个单位长度解析：由于y二sin(2x-：)二sin[2(x-%)]以及y=sin(2x-?)=sin[2(x-?)],结合x-Rx-三)-三,故只需将函数 3661212疙sin(2x-?)的图象沿着x轴向右平移三个单位长度就可得到函数 612y=sin(2x-^)的图象，故选D. 即时训练1-1:将函数y=V2cos(2x+J)的图象向左平移?个单位长度，则所得图象的解析式为. 解析:将函数y二扼cos(2x+;)的图象向左平移?个单位长度，所得图象对应的函数为y=V2cos[2(x+-)+-]=V2cos(2x+n)=~V2cos2x. 33

31、 答案:y=~V2cos2x■方法总结 函数y=sin(3x+e)图象的平移变换，要明确变换量的大小,特别是个单位, 个单位, 平移变换中，函数y=Asinx到y=Asin(x+9)的变换量是|(P而将函数y=Asin(3x+°)(A>0,3>0)的图象向左平移m(m>0)个单位后,得到y=Asin[3(x+m)+^]=Asin(G)x+(om+^).(向右平移类似) 寸易错警示三角函数图象的平移变换要弄清变换的方向，即变换的是哪个疯而图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向］ 探究角度2三角函数图象的伸缩变换［例2］将函数f(x)=sin(2x-=)的图象向左平移?个单位

32、长度,再将图象上各点横坐标压缩到原来的m则所得到的图象的解析式为()(A)y=sinx(B)y=sin(4x+-) 3y二sin⑷-争)(D)y=sin(x+?) 解析:将函数f(x)=sin(2x-=)的图象向左平移?个单位长度后，得到y=sin［2(x+»sin(2x+;)的图象，再将图象上各点横坐标缩短到原来的:，得到y=sin(4x+;)的图象，故选B. ［变式训练2-1］把函数f(x)=sin(2x-J)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为・ 解析：函数f(x)=sin(2x-?)的图象上各点的横坐标伸长为原

33、来的2倍(纵坐标不变)得到y=sin(x-^),因此g(x)=sin(x-?). 答案:g(x)=sin(x-^)■方法总结 将函数y=Asin(3x+9)(A>0,。>0)的图象上各点横坐标缩短到原来的”成1)倍,纵坐标不变,得到y-Asin(箱少(横坐标伸长类似). 即将y=sin(x+。)图象上所有点的横坐标伸缩3后得到的是函数y二sin(3x+Q的图象而不是广，让(处+3仞"] 寸易错警示|函数y二Asin(x+|(P)变换为y二Asin(3x+(P)变化的只是3,伊的值不 探究角度3异名三角函数图象的图象变换[例3](2020•重庆巴蜀中学高一期末)要得到函数y=2sin2x的图象，只需要将函数f(x)=2cos(2x-?)的图象() (A) 向左平移土个单位长度向左平移:个单位长度 6向右平移土个单位长度 (B) 向右平移?个单位长度6 解析：由y=2sin2x=2cos(2x-^)=2cos[2,即要得到函数y=2sin2x的图象，只需要将函数f(x)=2cos(2x-H)的图象向右平移三个单位长度，故选C. 即时训练3-1:要得到函数y=2cos2x的图象，只需要将函数f(x)=2sin(2x-2)的图象() (A)向左平移芸个单位长度