新教材2021-2022学年人教A版必修第一册 4.4 第2课时　对数函数的图象及性质的应用(习题课) 学案.docx

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1、第2课时对数函数的图象及性质的应用(习题课) 遍_知识探究—•—素一养-启一迪一t®小试身手 1. 若函数y=f(x)是函数y二3'的反函数则f©的值为(B)(A)-log23(B)-log32(C)i(D)V3 9解析：由y二f(x)的反函数是y=3'知f(x)=log3x.故f(|)=log3|=-log32.££ 2. 若a二Ig11,b二Ig9,c=lg*则a,b,c的大小关系是(C)(A)b>c>a(B)b>a>c (C)a>b>c(D)a>c>b解析：因为y=lgx在(0,+8)上是增函数，所以lgll>lg9>lg:，故a>b>c.故选C. 3. 函数f(x)=Vln

2、x-l的定义域是(C)(A)(0,e](B)(0,i] e(C)[e,+8)(D)U,+8) e解析：由InxTN0知InxNl,所以xNe.故选C. 4. 函数f(x)二log2(l+2x)的单调增区间是. 解析：易知函数f(x)的定义域为(-§+8),又因为函数y=log2x和y=l+2x都是增函数，所以f(x)的单调增区间是(-：,+8). 答案：(~|,+8)庙貌堂-探舅2素美培育一- 点探究点一对数函数的单调性⑥备用例题 ［例1］比较下列各组数的大小. (1) logiO.2与log20.8;2 (2) log43与logo.25。.5;log3|与log。?；

3、(3) logi.il.7与log0,2l.7.解：⑴logiO.2=log1|=log25. 225因为y=log2x在(0,+8)上是增函数，所以log25>log20.8.所以logiO.2>log20.8. 2(2)因为logo.25O.5=logii=log121og33=1>1og32,所以log56>log32,所以log32-1logi.i

4、l=0,log0,2l.70,logo.>1.7<0. 所以logL11.7>logo,21.7. ［例2］求不等式log(2a-1)2>l成立的a的范围. 解:当2a-1>1时，由log(2a-i)2>log(2a-i)(2a-l)知2a-l<2, 即l〈2a-l<2,故Ka<-. 2当0<2a-Kl时, 由log(2a-i)2>log(28-i)(2a~l)知2a~l>2,无解•综上可知a的取值范围是(1,|). ［例3］若函数f(x)=logi(x2-2ax+3)在(-8,口上是增函数,则实数a2 的取值范围是・解析:令g(x

5、)=x2-2ax+3,则函数f(x)=logig(x)在析8,1］上是增函数, 2等价于g(x)在(-8,1］上是减函数且g(x)>0. 故搭甘0,即｛忐甘>0.故心2. 答案：［1,2)［例4］已知函数f(x)=log2(^)Tog控(2x)的定义域为［吃8］. (1) 设t=log2x,求t的取值范围;求f(x)的最大值与最小值及相应的x的值. 解：⑴由题意可得xe［V2,8］,所以拦log2xW3,即t的取值范围为［件. (2)f(x)=log2(Y)•log^2(2x)=2(log2V%_2)(l+log2x) =(log2x-4)(l+log2x). 令t=log2x

6、,则y=(t-4)(t+l)=t2-3t-4=(t-|)2-^,其中3］,所以，当t=|,即x=2据时,f(x)有最小值 253， 当t=3,即x=8时,f(x)有最大值-4. ［例5］若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a^l)的反函数，其图象经过点(V2,|),则a=. 解析:因为点(梅,：)在y=f(x)的图象上,所以点(|,V2)在y/的图象2— 上，则有V2=a3,又因为a>0,所以a2=2fa=V2. 答案:扼［例6］己知函数f(x)=loga^(a>0,且a#=l). (D求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并求函数的单调区间. 解：(1)

7、要使此函数有意义，则有fx+1>0,^(x+1<0, tx-1>01x-1V0,解得X>1或X<-1, 故此函数的定义域为此8,-1)U(1,+8). (2)由(1)可得f(x)的定义域关于原点对称. 因为f(-x)=log=m=log=m=Togaf=-f(x),所以f(x)为奇函数. -x-1X+lX-1 f(x)=lOg芦卜loga(l+土),X-1x-1 函数U=l+土在区间(-8,-1)和区间(1,+8)上单调递减，X-1 所以当a>l时,f(x)=loga^的单调递减区间为以8,-1),(1,+8),无X-1 单调递增区间；当0<次1时,f(x)=10康壬的单调递

8、增区间为(-X-1 8,-1),(1,+8),无单调递减区间. 课堂达标 1. 不等式log2xV2)(D){x|x>乎}解析:依题意log2xlogo.35(B)log70.5>0 (C)ln3log22=l,log43

9、g44=l. 故log23>log43,故D不正确.选AC. 3. 若logi(2m)m-l>0.即pm>血?，则m>i. Im-1>0. 答案：(1,+8)函数y=logi⑵+1)的值域为. 2解析：因为2、+1>1,函数y=logix是(0,+8)上的减函数， 2所以logi(2x4-l)

10、3与logi3; 25logu2与loga3(a>0,且a^l). 解：(l)y=logix在(0,+8)上单调递减,2 又因为｛〈:，所以1ogi，>1OgiO/2D2/ (2) 因为在xe(1,+8)上,y=logix的图象在y=logix图象的上方,52 所以Iogi3l时，y=logax为增函数，所以logn2loga3. 即时训练IT：比较下列各组数的大小. (1) loga2.7,loga2.8(a>0,且a/1);log34,log65; (2) log。/,lo

11、g97. 解：(1)当a>l时，由函数y=logax的单调性可知loga2.7loga2.8. (2)log34>log33=l,log65log65. ⑶1og0.37<1ogo.31=0,1og97>1og91=0,所以logo.37

12、ax与y=logbx的图象； ① 作直线x=c与两图象分别交于A,B两点；根据A,B点高低判断对数值的大小. (3) logab与logcd型(底数不同，真数不同)取中间值,通常为1,0,logad或logcb; ① 把两个对数值与中间值进行比较；利用不等关系的传递性，间接得到对数值的大族支 探究角度2对数不等式的解法[例2](1)解不等式log2(x+l)>log2(l-x); (2)若logAl,求实数a的取值范围. Ox+1>0, 解：(1)原不等式等价于1-X>0,X+1>1-%, 解得0l,则loga|

13、ogaa,所以a>l. 若0logfl(l-x),求x的集合. x+1>0,解：当a>l时,1-x>0,得解集为(0,1). x+1>l~x%+1>0, 当时，1-x>0,得解集为(-1,0)・(*+1V1~工 孑方法总结 (/(%)>0,logaf(x)l与不等式组，g{x)>0,同解. If(%)0, (1) logaf(x)

14、］g{x)>0,同解. Lf(%)>g(x)特别地:当底数的取值范围不确定时，通常需要对底数按a衣|o〈a0得函数f(x)的定义域为(x|x>2或x<-；}. 当a>l时,y=logat为增函数,t=2x2-3x-2在(2,+8)上单调递增，在(-8,-j)上单调递减， 所以f(X)在(2,+8)上单调递增，在(-8,-1)上单调递减. 当0

15、， 所以f(X)在(2,+8)上单调递减，在(-8,三)上单调递增. 综上可知，当a>l时,f(x)的单调增区间为(2,+8),单调减区间为(-8,-9； 当0〈索1时,f(x)的单调增区间为(-8,彳)，单调减区间为(2,+8).即时训练3-1:求函数f(x)=log2(x2-l)的单调区间. 解:令x2-l>0,所以X>1或X<-1. 设U=X2-1,当X>1时,U=X2-1单调递增. a二2>1,所以f(x)=log2(x2-l)的增区间为(1,+8).当X<-1时,u=x2-l单调递减. f(x)=log2(x2-l)的减区间为(-8,-1). 孑方法总结解决对数型复合

16、函数单调性问题的思路 (1) 对数型复合函数一般可以分为两类:一类是外层函数为对数函数,即y=logaf(x)型；另一类是内层函数为对数函数，即y二f(log-x)型. ① 对于y=logllf(x)型复合函数的单调性，有以下结论：函数y=logaf(x)的单调性与函数u=f(x)(f(x)>0)的单调性在a>l时相同,在0

17、二对数(型)函数的值域与最值问题[例4]设f(x)=loga(1+x)+loga(3-X)(a>0,a尹1),且f(1)=2. ⑴求a的值；(2)求f(x)在区间[0,:]上的最大值. 解：⑴因为f(1)=2,所以f(l)=loga2+logu2=loga4=2,所以a=2. ⑵^3-x>0得x《(T，3),所以函数f(x)的定义域为(-1,3), f(x)=log2(l+x)+log-j(3-x)=log2[(1+x)(3-x)]=log2(~x2+2x+3)=log2[—(x—1)2+4], 记t=-(x-1)2+4,因为xe[0,|], 所以x=l时,t有最大值4,当x=0时

18、,t有最小值3. 所以3WtW4. 所以log2t^log24=2. 所以f(x)在区间[0,§上的最大值为2. 即时训练4-1:已知函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)(0

19、1oga4,即f(x)的最小值为log„4. 由loga4=-2,得a2=4,所以a二4一砖孑方法总结 (1) 对数函数的值域为(-8,+8). (2) 求形如ytlogaf(x)(a>0且a/1)的复合函数值域的步骤:①求函数的定义域;②将原函数拆分成y=logN(a>0,且a/l),u=f(x)两个函数;③由定义域求u的取值范围;④利用函数y=log“u(a>0且2尹1)的|单调性求值域.同理可求y=f(log,x)(a>0且a尹1)型复合函数蹄HFQ探究点三指数函数与对数函数的关系 ［例5］若函数f(x)=log］三的反函数的图象过点(-2,3),则解析:根据反函数的定义可知，

20、 f(X)=log卢m过点(3,-2),X+1 即10g2三壬一2,则呼W，解得a=2. 3+144答案：2 即时训练5-1:若点(2,：)既在f(x)=2g的图象上，又在其反函数的图象上，则a+b=. 解析：由题意知(2,|),G，2)均在函数f(x)=2心的图象上，故有(2a+b=-1,(a=-：，{*b=L叫上，所以a+b=--+-=i. 333答案竺 孑方法总结 (1) 指数函数与对数函数的关系同底数的指数函数与对数函数互为反函数. (2) 应用反函数的性质时涉及的知识点互为反函数的两个函数的图象关于直线y二x对称； ① 函数y=f(x)的图象过点(a,b)是y=f(

21、x)的反函数的图象过点(b,a)的充要条件； ② 互为反函数的两函数的单调性相同；反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定支点探究点四对数函数的综合应用 ［例6］己知函数f(x)=log2^-(m^1)是奇函数. 1-mx (1) 求函数y=f(x)的解析式；用函数单调性的定义证明：函数在区间(-1,1)上单调递减. ⑴解：由题意得f(-x)+f(x)=O对定义域中的x都成立,所以log产土+log2；■^二0,l+mxl~mxnn1+xl~xi即布.成， 所以l-x2=l-m¥Xt定义域中的x都成立,所以m2=l,又m=^l,所以m=-l,所以f(x)=log?—

22、. 1+X(2)证明：法一设g(x)二孕, JLI人设X1,X2《(-1,1),旦X10,x2+l>0,X2-Xi〉0. 因为g(xi)-g(x2)=->0, 所以g(xi)>g(x2),所以函数y=g(x)在区间(-1,1)上单调递减. 由g(Xi)>g(x2)>0知log2g(xi)>log2g(x2). 故log上空>10g2次,因此f(x)在(-1,1)±是单调递减函数.1+0,且(1+X1)(1-X2)=1-X1X2+X1-X2>O. 所以1-X|X2+X2-X1>1-X1X2+X1-X2,所以l^W2x1>k l-x1x2+x1-x2所以Iog2- 所以Iog2- (1-工1)(1+X2) (l-x2)(14-X1) >0. 所以f(Xi)-f(x2)>0. 所以f(X1)>f(x2). 所以f(x)在(-1,1)上单调递减.