新编一轮优化探究文数苏教版练习：第九章 第四节　圆的方程 Word版含解析

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1、 一、填空题 1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为________． 解析：解法一(直接法)　设圆心坐标为(0，b)，则由题意知＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1. 解法二(数形结合法)　作图，根据点(1,2)到y轴的距离为1易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1. 答案：x2＋(y－2)2＝1 2．若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则实数a等于________． 解析：由a2＝a＋2得a＝－1或2， 又当a＝2时， 4x2＋4y2＋4x＋2＝0不表示任何图形， 故a＝－1. 答案：－1 3

2、．已知点A(4,9)，B(6,3)，则以AB为直径的圆的标准方程为________． 解析：由题意可知圆心为(5,6)， 半径r＝|AB|＝＝， 故圆的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10. 答案：(x－5)2＋(y－6)2＝10 4．已知圆的方程为(x－2m)2＋(y＋m)2＝25. (1)若该圆过原点，则m的值为________； (2)若点P(m,0)在圆内，则m的取值范围为________． 解析：(1)由题意可知点(0,0)满足(x－2m)2＋(y＋m)2＝25， 即5m2＝25，解得m＝±. (2)由题意可知(m－2m)2＋(0＋m)2<25， 即2m2

3、<25， 解得－

4、由题意得C1(－1,1)，圆心C2与C1关于直线x－y－1＝0对称，且半径相等，则C2(2，－2)，所以圆C2的方程为 (x－2)2＋(y＋2)2＝1. 答案：(x－2)2＋(y＋2)2＝1 7．圆心在直线2x－3y－1＝0上的圆与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，则圆的方程为________． 解析：所求圆与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，故线段AB的垂直平分线x＝2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x－3y－1＝0上，所以两直线的交点坐标即为所求圆的圆心坐标，解之得(2,1)，进一步可求得半径为，所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝2. 答案：(x－2

5、)2＋(y－1)2＝2 8．直线ax＋by＝1过点A(b，a)，则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积的最小值是________． 解析：直线过点A(b，a)，∴ab＝， 圆面积S＝πr2＝π(a2＋b2)≥2πab＝π. 答案：π 9．以点A(－3,0)，B(0，－3)，C(，) 为顶点的三角形与圆x2＋y2＝R2(R>0)没有公共点，则圆半径R的取值范围是________． 解析：如图，若圆与△ABC没有公共点，需考虑两种情况： ①圆在三角形内部；②圆在三角形外部．当圆在三角形内部时，圆与BC边相切时，半径最大为；当圆在三角形外部时，圆过点C时半径最小为. 答案：(0

6、，)∪(，＋∞) 二、解答题 10．若方程ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0表示圆，求实数a的取值范围，并求出半径最小的圆的方程． 解析：∵方程ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0表示圆， ∴a≠0. ∴方程ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0可以写成 x2＋y2－x＋y＝0. ∵D2＋E2－4F＝>0恒成立， ∴a≠0时，方程ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0表示圆． 设圆的半径为r，则 r2＝＝2[4(－)2＋1]， ∴当＝，即a＝2时，圆的半径最小， 半径最小的圆的方程为 (x－1)2＋(y＋1)2＝2. 11．在平面直角坐标系xOy中，已知

7、圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O. (1)求圆C的方程； (2)试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 解析：(1)设圆心为C(a，b)，由OC与直线y＝x垂直， 知OC的斜率kOC＝＝－1，故b＝－a， 则|OC|＝2，即＝2， 可解得或， 结合点C(a，b)位于第二象限知. 故圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8. (2)假设存在Q(m，n)符合题意， 则解得 故圆C上存在异于原点的点Q(，)符合题意． 12．已知圆M过两点A(1，－1)，B(－

8、1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上． (1)求圆M的方程； (2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A、B为切点，求四边形PAMB面积的最小值． 解析：(1)设圆M的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， 根据题意得： 解得：a＝b＝1，r＝2， 故所求圆M的方程为：(x－1)2＋(y－1)2＝4. (2)由题知，四边形PAMB的面积为 S＝S△PAM＋S△PBM＝|AM||PA|＋|BM||PB|. 又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|， 所以S＝2|PA|， 而|PA|＝＝， 即S＝2. 因此要求S的最小值，只需要|PM|的最小值即可， 即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小， 所以|PM|min＝＝3， 所以四边形PAMB面积的最小值为 S＝2＝2＝2.