新版高三数学理33个黄金考点总动员 考点05 函数的性质单调性、奇偶性、周期性解析版 Word版含解析

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1、 1

2、 1 高三数学33个黄金考点总动员 【考点剖析】 一．最新考试说明： 1．理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性． 2．理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性． 3．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值． 二．命题方向预测： 1．利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求变量的取值是历年高考考查的热点． 2．函数的奇偶性是高考考查的热点． 3．函

3、数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点． 3．题型以选择题和填空题为主，函数性质与其它知识点交汇命题． 三．课本结论总结： 1．奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反． 注意：确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称．确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法、性质法等．　 2．若奇函数定义域中有0，则必有．即的定义域时，是为奇函数的必要非充分条件． 对于偶函数而言有：． 3．确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用

4、：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等． 4．若函数的定义域关于原点对称，则可以表示为，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和． 5．既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）． 6．复合函数的单调性特点是：“同增异减”；复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．复合函数要考虑定义域的变化（即复合有意义）． 7．函数与函数的图像关于直线（轴）对称． 推广一：如果函数对于一切，都有成立，那么的图像关于直线（由“和的一半确定”）对称． 推广二：函数，的图像关于直线（由确定）对称． 8．函数与函数

5、的图像关于直线（轴）对称． 推广：函数与函数的图像关于直线对称（由“和的一半 确定”）． 9．函数与函数的图像关于坐标原点中心对称． 推广：函数与函数的图像关于点中心对称． 10．函数与函数的图像关于直线对称． 推广：曲线关于直线的对称曲线是；曲线关于直线的对称曲线是． 11．曲线绕原点逆时针旋转，所得曲线是（逆时针横变再交换）．特别：绕原点逆时针旋转，得，若有反函数，则得． 曲线绕原点顺时针旋转，所得曲线是（顺时针纵变再交换）．特别：绕原点顺时针旋转，得，若有反函数，则得． 12．类比“三角函数图像”得： 若图像有两条对称轴，则必是周期函数，且一周期为． 若图像有两个对

6、称中心，则是周期函数，且一周期为． 如果函数的图像有下一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数，且一周期为． 如果是R上的周期函数，且一个周期为，那么． 特别：若恒成立，则． 若恒成立，则．若恒成立，则． 如果是周期函数，那么的定义域“无界”． 四、名师二级结论： 一个防范 函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接． 一条规律 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇

7、偶性的必要条件． 注意：分段函数判断奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性． 两个应用 1．已知函数的奇偶性求函数的解析式． 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式． 2．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数． 常常采用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值． 三种方法 判断函数单调性的三种方法方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)导数法． 判断函数的奇偶性的三种方法：(1)定义法；(

8、2)图象法；(3)性质法． 在判断函数是否具有奇偶性时，为了便于判断，有时需要将函数进行化简，或应用定义的变通形式： f(－x)＝±f(x) f(－x)±f(x)＝0＝±1，f(x)≠0． 四条性质 1．若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0． 2．设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 3．奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性． 4．若f(x)是偶函数，则有f(-x)＝f(x)＝f(|x|)． 五、课本经典习题： (1)新课

9、标人教A版必修一第36页练习第1（3）题 判断下列函数的奇偶性：． 【经典理由】典型的巩固定义题，可以进行多角度变式． 变式题：关于函数，有下列命题：①其图象关于轴对称；②当时，是增函数；当时，是减函数；③的最小值是；④在区间上是增函数；⑤无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是 ． 解： 为偶函数，故①正确；令，则当时，在上递减，在上递增，∴②⑤错误，③④正确，故选①③④． (2)新课标人教A版必修一第44页复习参考题A组第八题 设，求证：（1）；（2）． 【经典理由】典型的巩固定义题，可以进行改编、变式或拓展． 改编：设定在R上的函数满足：，则 ．

10、 解：由．得 ．由所求式子特征考查： ．． (3)新课标人教A版必修一第83页复习参考题B组第3题 对于函数． （1）探索函数的单调性；（2）是否存在实数a使为奇函数？ 【经典理由】典型的函数性质应用题，可以进行改编、变式或拓展． 改编 对于函数．（1）用定义证明：在R上是单调减函数；（2）若是奇函数，求a值；（3）在（2）的条件下，解不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0． 证明：（1）设＜，则f（）-f（）=-=． ∵-＞0，＞0，＞0．即f（）-f（）＞0．∴f（x）在R上是单调减函数 （2）∵是奇函数，∴f（0）=0a=-1． （3）由（1）（2）可得在R上是单调

11、减函数且是奇函数，∴f（2t+1）+f（t-5）≤0．转化为f（2t+1）≤-f（t-5）=f（-t+5），2t+1≥-t+5t≥，故所求不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0的解集为：{t|t≥}． (4)新课标人教A版必修一第83页复习参考题B组第4题 设，求证： （1）；（2）；（3）． 【经典理由】典型的证明函数性质题，可以进行改编、变式或拓展． 改编1：设，给出如下结论：①对任意，有；②存在实数，使得；③不存在实数，使得；④对任意，有； 其中所有正确结论的序号是 解：对于①： 对于②：，即恒有； 对于③：，故不存在，使 对于④： ，故正确的有①③④

12、改编2：已知函数满足，且，分别是上的偶函数和奇函数，若使得不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 解：，得， 即，解得，，即得 ，参数分离得，因为 （当且仅当，即时取等号，的解满足），所以． 六．考点交汇展示： (1)函数的奇偶性与函数的零点交汇 例1．【20xx高考安徽，理2】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A (2) 函数的周期性与函数的零点交汇 例2．【20xx高考江苏卷第13题】已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是 ． 【

13、答案】 【考点】函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题． (3) 函数的奇偶性、单调性、周期性等的交汇问题 例3．【20xx高考江苏第19题】已知函数，其中是自然对数的底数． （1）证明：是上的偶函数； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）已知正数满足：存在，使得成立，试比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）当时，，当时，，当时，． 【解析】 试题分析：（1）判断函数的奇偶性，一般根据奇偶性的定义判断，本题中首先有函数的定义域为，关于原点是对称的，其次计算，得到，故它是偶函数；（2）不等式恒成立问题，由于本题

14、中，即，因此采用分离参数法求参数取值范围，原不等式可化为 （2）由得，由于当时，，因此，即，所以，令，设，则，，∵，∴（时等号成立），即，，所以． （3）由题意，不等式在上有解，由得 ，记，，显然，当时，（因为），故函数在上增函数，，于是在 上有解，等价于，即．考察函数 ，，当时，，当时，，当时，即在上是增函数，在上是减函数，又，，，所以当时，，即，，当时，，即，，因此当时，，当时，，当时，． 【考点】（1）偶函数的判断；（2）不等式恒成立问题与函数的交汇；（3）导数与函数的单调性，比较大小． 【考点分类】 热点一 函数的单调性 1．【20xx高考湖南，理5】设函数，则是（

15、 ） A.奇函数，且在上是增函数 B. 奇函数，且在上是减函数 C. 偶函数，且在上是增函数 D. 偶函数，且在上是减函数 【答案】A. 考点：函数的单调性． 2．【20xx辽宁高考理第3题】已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 试题分析：所以，故选C． 考点：指数函数、对数函数以及幂函数的单调性的应用． 3．【20xx陕西高考理第7题】下列函数中，满足“”的单调递增函数是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】 考点：函数求值；函数的单调性． 4．【20xx天津高考理第4题

16、】函数的单调递增区间是 （　　） （A） （B） （C） （D） 【答案】D． 【解析】函数的定义域为，由于外层函数为减函数，由复合函数的单调性可知，只要求的单调递减区间，结合函数的定义域，得单调递增区间为，故选D． 考点：复合函数的单调性（单调区间）． 【方法规律】 1．对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法： (1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解． (2)可导函数则可以利用导数解之．但是，对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行． 2．求函数的单调

17、区间与确定单调性的方法一致． (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间． (3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间． (4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间． 3．函数单调性的应用：f(x)在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性，则f(x1)

18、)求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行． 【易错点睛】 误区1． 用定义证明函数的单调性时，错用“自己证明自己”而致错（循环论证）． 【例1】（20xx广州综合测试）证明：函数f(x)＝在[0，＋∞)上是增函数． 【错证】设0≤x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝，所以，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，故函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数． 【剖析】该证法犯了逻辑上的循环论证的错误，本来要证明f(x)在[0，＋∞)上是增函数，可在由x1＜x2得到时，就用到了f(x)在[0，＋∞)上是增函数的结论，犯下了“自己证明自己”的错误． 误区2．求

19、复合函数的单调区间时，忽视函数的定义域而致错 【例2】（20xx浙江宁波十校联考）求y＝的单调区间． 【错解】令t＝x2－4x－12，则t＝x2－4x－12在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，又y＝是增函数，所以y＝的单调区间是(－∞，2]与[2，＋∞)，其中在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增． 【剖析】上述解答错误的原因是忽视了函数的定义域{x|x≤－2或x≥6}． 【正解】由x2－4x－12≥0，得x≤－2或x≥6，令t＝x2－4x－12，则t＝(x－2)2－16在(－∞，2]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数．又y＝是增函数，所以y＝的单调区间是(－∞，－2]与

20、[6，＋∞)，其中在(－∞，－2]上递减，在[6，＋∞)上递增． 【点拨】求解复合函数单调性问题，必须考虑函数的定义域，建立“定义域优先”意识． 误区3． 忽视隐含条件致误 【例3】已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是(　　) 【错解】误选B项的原因只是考虑到了使得各段函数在相应定义域内为减函数的条件，要知道函数在R上为减函数，还需使得f(x)＝(3a－1)x＋4a在x＜1上的最小值不小于f(x)＝logax在x≥1上的最大值，多数考生易漏掉这一限制条件而造成失误． 【正解】据题意使原函数在定义域R上为减函数，只需满足：．故选C． 【点评】一般地，若函数

21、f(x)在区间[a，b)上为增函数，在区间[b，c]上为增函数，则不一定说明函数f(x)在[a，c]为增函数，如图（1），由图像可知函数f(x)在[a，c]上整体不呈上升趋势，故此时不能说f(x)在[a，c]上为增函数，若图象满足如图（2），即可说明函数在[a，c]上为增函数，即只需f(x)在[a，b)上的最大值不大于f(x)在[b，c]上的最小值即可，同理减函数的情况依据上述思路也可推得相应结论． 图（1） 图（2） 需注意以下两点： (1)函数的单调区间是其定义域的子集，如果一个函数在其定义域的几个区间上都是增函数(或减函数)，不能认为这个函数在其定义域上就是增函数(或减函数)

22、，例如函数在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数，但不能说在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数，因为当x1＝－1，x2＝1时，有f(x1)＝－1＜f(x2)＝1不满足减函数的定义． (2)当一个函数的增区间(或减区间)有多个时，一般不能直接用“∪”将它们连接起来，例如：函数 y＝x3－3x的单调增区间有两个：(－∞，－1)和(1，＋∞)不能写成(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 热点二 函数的奇偶性 1．【20xx高考广东，理3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A． B． C． D． 【

23、答案】． 考点:函数的奇偶性． 2．【20xx高考湖南卷第3题】已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则( ) A． B． C． 1 D． 3 【答案】C 【解析】分别令和可得和，因为函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，所以，即 ，则，故选C． 考点:奇偶性． 3．【20xx全国1高考理第3题】设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A．是偶函数 B． 是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 考点:函数的奇偶性． 4．

24、【20xx高考新课标1，理13】若函数f(x)=为偶函数，则a= 【答案】1 【解析】由题知是奇函数，所以 =，解得=1. 考点:函数的奇偶性 【方法规律】 1．判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断．利用定义判断函数奇偶性的步骤： (2)图象法 奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图象关于y轴成轴对称．因此要证函数的图象关于原点对称，只需证明此函数是奇函数即可；要证函数的图象关于y轴对称，只需证明此函数是偶函数即可．反之，也可利用函数图象的对

25、称性去判断函数的奇偶性． (3)组合函数奇偶性的判定方法 ①两个奇(偶)函数的和、差还是奇(偶)函数，一奇一偶之和为非奇非偶函数． ②奇偶性相同的两函数之积(商)为偶函数，奇偶性不同的两函数之积(商)(分母不为0)为奇函数． ③复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”． (4)分段函数的奇偶性判定 分段函数应分段讨论，注意奇偶函数的整体性质，要避免分段下结论． 2．函数奇偶性的应用技巧 (1)已知函数的奇偶性求函数的解析式 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式． (2)已知带有字母参数的函数表达式及

26、奇偶性求参数 常常采用待定系数法，利用f(x)±f(－x)＝0得到关于x的恒等式，由对应项系数相等可得字母的值． (3)奇偶性与单调性的综合问题要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 【易错点睛】 函数的奇偶性是函数在整个定义域内的性质，其定义中要求f(x)和f(－x)必须同时存在，所以函数定义域必须关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提．如果某一个函数的定义域不关于原点对称，它一定是非奇非偶函数． 误区．不明分段函数奇偶性概念致错 【例1】（20xx北京东城期末）判断的奇偶性． 【错解】当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝(－x

27、)2＋2(－x)＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)． 当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)．所以f(x)是奇函数． 【剖析】漏x＝0情况． 【正解】尽管对于定义域内的每一个不为零的x，都有f(－x)＝－f(x)成立，但当x＝0时，f(0)＝3≠－f(0)，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． 热点三 函数的周期性 1．【20xx四川高考理第12题】设是定义在R上的周期为2的函数，当时， ，则 ． 【答案】1 【解析】 试题分析：． 考点:周期函数及分段函数． 2．设是以2为周期的函数，且当

28、时，,则 ． 【答案】-1 考点:周期函数及分段函数． 【方法规律】 1．(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 ，那么函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫f(x)的周期．如果所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫f(x)的最小正周期． (2)周期函数不一定有最小正周期，若T≠0是f(x)的周期，则kT(k∈Z)(k≠0)也一定是f(x)的周期，周期函数的定义域无上、下界． 2．函数周期性的相关结论． 设a是非零常数，若对f(x)定义域内的任意x，恒有下列条件之一成立：①f(x＋a)＝－f

29、(x)；②；③；④f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)是周期函数，2|a|是它的一个周期．(以上各式中分母均不为零)． 【解题技巧】 求函数周期的方法 求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式计算．递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a．换元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a． 热点四 函数性质的综合应用 1．【20xx高考天津，理7】已知定义在 上的函数 （为实数）为偶函数，记 ，则 的大小关系为(

30、 ) （A） （B） （C） （D） 【答案】C 考点:1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算. 2.【20xx高考福建卷第7题】已知函数则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B． 是增函数 C．是周期函数 D．的值域为 【答案】D 【解析】 试题分析：由于分段函数的左右两边的函数图象不关于y轴对称，所以A不正确．由于图象左边不单调，所以B不正确．由于图象x>0部分的图象不是没有周期性，所以C不正确．故选D． 考点：1．分段函数．2．函数的性质． 3．【20xx全国2高考理第15题】已知偶函数在单调递减，．若，则的取值范围是__________．

31、 【答案】 【解析】因为是偶函数，所以不等式，又因为在上单调递减，所以，解得． 考点:1.抽象函数的奇偶性与单调性；2.绝对值不等式的解法． 4. 【20xx高考上海理科第18题】若是的最小值，则的取值范围为（ ）. A.[-1,2] B.[-1，0] C.[1，2] D. 【答案】D 考点:1.函数的单调性；2.函数的最值． 【方法规律】 1．解这类综合题的一般方法 在解决函数性质有关的问题中，如果结合函数的性质画出函数的简图，根据简图进一步研究函数的性质，就可以把抽象问题变的直观形象、复杂问题变得简单明了，对问题的解决有很大的帮助．

32、（1）一般的解题步骤：利用函数的周期性把大数变小或小数变大，然后利用函数的奇偶性调整正负号，最后利用函数的单调性判断大小； （2）画函数草图的步骤：由已知条件确定特殊点的位置，然后利用单调性确定一段区间的图象，再利用奇偶性确定对称区间的图象，最后利用周期性确定整个定义域内的图象． 2． 函数的奇偶性、周期性、对称性之间内在联系 若函数有两条对称轴(或两个对称中心，或一对称轴一对称中心)，则该函数必是周期函数．特别地，有以下结论(其中a≠0)： 若f(x)有对称轴x＝a，且是偶函数，则f(x)的周期为2a； 若f(x)有对称轴x＝a，且是奇函数，则f(x)的周期为4a； 若f(x)有

33、对称中心(a，0)，且是偶函数，则f(x)的周期为4a； 若f(x)有对称中心(a，0)，且是奇函数，则f(x)的周期为2a． 【易错点睛】 误区1．函数的性质挖掘不全致误 【例1】奇函数f(x)定义在R上，且对常数T＞0，恒有f(x＋T)＝f(x)，则在区间[0，2T]上，方程f(x)＝0根的个数至少有 (　　) A．3个　　　 B．4个　　　 C．5个　　　 D．6个 【错解】由f(x)是R上的奇函

34、数，得f(0)＝0x1＝0．再由f(x＋T)＝f(x)得f(2T)＝f(T)＝f(0)＝0x2＝T，x3＝2T．即在区间[0，2T]上，方程f(x)＝0根的个数最小值为3个． 【剖析】本题的抽象函数是奇函数与周期函数的交汇．即……①……②解时要把抽象性质用足，不仅要充分利用各个函数方程，还要注意方程①和②互动． 【正解】由方程①得f(0)＝0x1＝0．再由方程②得f(2T)＝f(T)＝f(0)＝0x2＝T，x3＝2T． 又∵，令x＝0得．又再由②得 ，故方程f(x)＝0至少有5个实数根．故选C． 误区2．忽视隐含条件的挖掘致误 【例2】（20xx江苏模拟）设f(x)是定义在R上且周期

35、为2的函数，在区间[－1，1]上， 其中a，b∈R．若，则a＋3b的值为________． 【错解】因为f(x)的周期为2，所以，即．又因为 ，所以． 【剖析】 (1)转化能力差，不能把所给区间和周期联系起来；(2)挖掘不出f(－1)＝f(1)，从而无法求出a、b的值． 【正解】因为f(x)的周期为2，所以，即．又因为 ，所以．整理，得．① 又因为f(－1)＝f(1)，所以，即b＝－2a． ② 将②代入①，得a＝2，b＝－4．所以a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10． 【热点预测】 1．【广州市珠海区高三8月摸底考试5】下列函数在其定义

36、域上既是奇函数又是减函数的是( ) A． B． C． D． 【答案】D 2．【北京市重点中学高三8月开学测试3】已知函数 ，则下列结论正确的是（ ） A．是偶函数 B．在上是增函数 C．是周期函数 D．的值域为 【答案】D． 【解析】 试题分析：A：当时，，∴，，∴，∴A错误；B：当时，在上不是一直单调递增的，∴B错误；C：当时，不是周期函数，∴C错误；D：当时，，当时，，∴函数的值域为，∴D正确． 3．【河南省安阳一中高三第一次月考2】函数的单调递增区间为(　 　) A．(0，＋∞)

37、 B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2) 【答案】Ｄ 【解析】 试题分析：首先由得函数的定义域为(－∞，－2) (2，＋∞)；再令，则在（０，＋∞）是减函数，又因为在(－∞，－2)上是减函数；由复合函数的单调性可知：函数的单调递增区间为(－∞，－2)；故选Ｄ． 4．已知，方程在［0，1］内有且只有一个根，则在区间内根的个数为（ ） A．20xx B．1006 C．20xx D．1007 【答案】C 5．【浙江省嘉兴市高三3月教学测试（一）】若的图像是中心对称图形，则( )

38、 A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】 试题分析：，因为为偶函数，所以当且仅当，即时，为奇函数，图像关于原点对称．故选B． 6．【浙江省嘉兴市高三3月教学测试（一）】若函数是奇函数，函数是偶函数，则一定成立的是( ) A．函数是奇函数 B．函数是奇函数 C．函数是奇函数 D．函数是奇函数 【答案】C 【解析】 试题分析：由题得，函数满足，则有，，，，所以根据奇偶函数的判断可得只有选项C是正确的，故选C 7．【北京市顺义区高三第一次统考（理）】已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是 （ ）

39、 （A） （B） （ C） （ D）[ 【答案】C 【解析】 试题分析：由已知，得函数在R上单调递增，故满足，解得的取值范围是． 8. 【广东省揭阳市高三3月高考第一次模拟考试】下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 在区间上单调递增，合乎题意，故选D． 9. 已知是定义域为实数集的偶函数，，，若，则．如果，，那么的取值范围为 （ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B 10．【上海市松江

40、区高三上学期期末考试数学（理）试题】已知实数，对于定义在上的函数，有下述命题： ①“是奇函数”的充要条件是“函数的图像关于点对称”； ②“是偶函数”的充要条件是“函数的图像关于直线对称”； ③“是的一个周期”的充要条件是“对任意的，都有”； ④ “函数与的图像关于轴对称”的充要条件是“” 其中正确命题的序号是 A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】A 【解析】 试题分析：本题考查函数的奇偶性、周期性与函数图象的对称性，函数是奇函数的充要条件是函数的图象关于原点对称，而的图象关于原点对称与函数的图象关于点对称是等价的，故①

41、正确，同理②也是正确的，那么本题只能选A了，对于③，我们知道函数满足“对任意的，都有”时，是周期为的周期函数，但反过来一一定成立，如满足“对任意的，都有”时，也是周期为的周期函数，③错误，而函数与函数的图象是关于直线对称，而还是轴，故④错误． 11．【湖北省部分重点中学20xx-上学期高三起点考试12】已知偶函数在单调递减，，若，则的取值集合是__________． 【答案】(- 1 ， 3 )． 12．【20xx南通高三期末测试】设函数是定义域为R，周期为2的周期函数，且当时，；已知函数 则函数和的图象在区间内公共点的个数为 ． 【答案】15 【解析】 试题分析：

42、根据题意可分别在同一坐标平面内作出函数和函数的图象，如下图所示，可见它们在区间内公共点的个数为15个． 13．设函数，若函数为偶函数，则实数的值为 ． 【答案】 14．函数的定义域为，若且时总有，则称为单函数．例如，函数是单函数．下列命题: ①函数是单函数； ②函数是单函数； ③若为单函数，且，则； ④函数在定义域内某个区间上具有单调性，则一定是单函数． 其中的真命题是 (写出所有真命题的编号)． 【答案】③ 【解析】 ①若，则由得，即，解得，所以①不是单函数．②若则由函数图象可知当，时，，所以②不是单函数．③根据单函数的定义可知，③正确．④在在定义域内某个区间上具有单调性，单在整个定义域上不一定单调，所以④不一定正确，比如②函数．故真命题为③．