同济大学线性代数课件：3-3线性方程组的解

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1、 .01nARxAnnm 矩矩阵阵的的秩秩的的充充分分必必要要条条件件是是系系数数有有非非零零解解元元齐齐次次线线性性方方程程组组定定理理的解的解讨论线性方程组讨论线性方程组的秩，的秩，和增广矩阵和增广矩阵如何利用系数矩阵如何利用系数矩阵bAxBA 问题：问题：证证必要性必要性. . ,nDnAnAR阶非零子式阶非零子式中应有一个中应有一个则在则在设设 ,根据克拉默定理根据克拉默定理个方程只有零解个方程只有零解所对应的所对应的 nDn从而从而有非零解，有非零解，设方程组设方程组0 Ax这与原方程组有非零解相矛盾，这与原方程组有非零解相矛盾， .nAR 即即不能成立不能成立nAR )(充分性充分

2、性. . ,nrAR 设设.个自由未知量个自由未知量从而知其有从而知其有rn- -任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，即可得方程组的一个非零解即可得方程组的一个非零解 .个非零行，个非零行，的行阶梯形矩阵只含的行阶梯形矩阵只含则则rA证证必要性必要性,有解有解设方程组设方程组bAx ,BRAR 设设则则B B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程，方程， .,2的的秩秩阵阵的的秩秩等等于于增增广广矩矩矩矩阵阵的的充充分分必必要要条条件件是是系系数数有有解解元元非非齐齐次次线线性性方方程程组组定定理理bABAb

3、xAnnm 这与方程组有解相矛盾这与方程组有解相矛盾. .BRAR 因此因此并令并令 个自由未知量全取个自由未知量全取0 0，rn- -即可得方程组的一个解即可得方程组的一个解充分性充分性. . ,BRAR 设设 ,nrrBRAR 设设证毕证毕个非零行，个非零行，的行阶梯形矩阵中含的行阶梯形矩阵中含则则rB其余其余 个作为自由未知量个作为自由未知量, ,rn- - 把这把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量非自由未知量, ,r小结小结有唯一解有唯一解bAx nBRAR nBRAR 有无穷多解有无穷多解. .bAx 方程组的通解方程组的通解性性程组

4、的任一解，称为线程组的任一解，称为线定义：含有个参数的方定义：含有个参数的方齐次线性方程组齐次线性方程组：系数矩阵系数矩阵化成化成行最简形矩阵行最简形矩阵，便可写出其通解；便可写出其通解；非齐次线性方程组：非齐次线性方程组：增广矩阵增广矩阵化成化成行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵行最简形矩阵，便可写出其通解；便可写出其通解；例例1 1 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组.034022202432143214321 - - - - - - - xxxxxxxxxxxx解解 - - - - - - 341122121221A -

5、- - - - - -463046301221施行初等行变换：施行初等行变换：对系数矩阵对系数矩阵 A13122rrrr- - - 0000342101221)3(223- - - -rrr212rr - - - - -00003421035201即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方程组 - - -, 0342, 0352432431xxxxxx - - - ,342,3522413222221cxcxccxccx).,(43可可任任意意取取值值xx由此即得由此即得 - - - ,342,352432431xxxxxx形形式式，把把它它写写成成通通常常的的参参数数令令2413,cx

6、cx .1034350122214321 - - - - ccxxxx例例 求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组 - - - - - - - - - -. 3222, 2353, 132432143214321xxxxxxxxxxxx解解对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换，进行初等变换， - - - - - - 322122351311321B13122rrrr- - - - - - - - -10450104501132123rr - - - - - - -200001045011321, 3)(, 2)( BRAR显然，显然，故方程组无解故方程组无解例例 求解非齐次方程组的通解求解非齐

7、次方程组的通解.2132130432143214321 - - - - - - - - - - - -xxxxxxxxxxxx解解 对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换进行初等变换 - - - - - - - - 2132111311101111B - - - - - -2121001420001111.00000212100211011 - - - - , 2 BRAR由于由于故方程组有解，且有故方程组有解，且有 2122143421xxxxx 42442342242102120021xxxxxxxxxxxx.02102112000011424321 xxxxxx.,42任意任意其中其中xx所

8、以方程组的通解为所以方程组的通解为例例 求求出出它它的的一一切切解解在在有有解解的的情情况况下下，是是有有解解的的充充要要条条件件证证明明方方程程组组. 054321515454343232121 - - - - - - - - - -aaaaaaxxaxxaxxaxxaxx解证解证对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换，进行初等变换，方程组的增广矩阵为方程组的增广矩阵为 - - - - - - 543211000111000011000011000011aaaaaB - - - - - 5143210000011000011000011000011iiaaaaa 051 iiaBRAR. 051

9、 iia是是方方程程组组有有解解的的充充要要条条件件由于原方程组等价于方程组由于原方程组等价于方程组 - - - - - - - -454343232121axxaxxaxxaxx由此得通解：由此得通解： 544543354322543211xaxxaaxxaaaxxaaaax .5为为任任意意实实数数x例例 设有线性方程组设有线性方程组 23213213211 xxxxxxxxx?,有无穷多个解有无穷多个解有解有解取何值时取何值时问问 解解 21111111 B 11111112 作初等行变换，作初等行变换，对增广矩阵对增广矩阵),(bAB - - - - - - -222211101101

10、1 - - - - - - - - -32222120011011 - - - - - - - 22112100111011 ,11时时当当 000000001111B ., 3 方方程程组组有有无无穷穷多多解解 BRAR其通解为其通解为 - - - 33223211xxxxxxx .,32为为任任意意实实数数xx ,12时时当当 - - -22120011011 B这时又分两种情形：这时又分两种情形： :, 3,2)1方程组有唯一解方程组有唯一解时时 - - BRAR .21,21,212321 - - xxx .,故故方方程程组组无无解解BRAR ,2)2时时- - - - - -3000

11、63304211B nBRAR nBRAR 有无穷多解有无穷多解. .bAx 非齐次线性方程组非齐次线性方程组bAx 齐次线性方程组齐次线性方程组0 Ax nAR ;0只只有有零零解解 Ax nAR .0有有非非零零解解 Ax;有唯一解有唯一解bAx .,?,12105, 3153, 363, 1324321432143214321求求出出一一般般解解况况下下情情在在方方程程组组有有无无穷穷多多解解的的有有无无穷穷多多解解有有唯唯一一解解方方程程组组无无解解取取何何值值时时当当讨讨论论线线性性方方程程组组tptxxxxxxpxxxxxxxxxx - - - - - - - - - - - tp

12、B121051315133163113211解解 - - - - - - - -191260066402242013211tp - - -53000422001121013211tp;, 4)()(,2)1(方程组有唯一解方程组有唯一解时时当当 BRARp - - - - -1000021000112101321153000420001121013211ttB有有时时当当,2)2( p;, 4)(3)(,1方程组无解方程组无解时时当当 BRARt - - - -0000021000302108000100000210001121013211B且且., 3)()(,1方程组有无穷多解方程组有无穷多解时时当当 BRARt 组组为为与与原原方方程程组组同同解解的的方方程程).(203801204321Rkkxxxx - - - - - - , 2, 32, 84321xxxx故原方程组的通解为故原方程组的通解为