高考数学专题复习练习第1讲 平面向量的概念及其线性运算

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1、 第1讲 平面向量的概念及其线性运算 一、选择题 1. 已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确的是（ ） A.a∥b B. a⊥b C.{0,1,3} D.a+b=ab 答案 B 2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　若a＋b＝0，则a＝－b.

2、∴a∥b； 若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立． 答案　A 3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么 (　　)． A.＝ B.＝2 C.＝3 D．2＝ 解析　由2＋＋＝0可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故＝. 答案　A 4．设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈R)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下列说法正确的是 (　　)． A．C可能是线段AB的中点 B．D可能是线段AB的中点 C

3、．C、D可能同时在线段AB上 D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上 解析　若A成立，则λ＝，而＝0，不可能；同理B也不可能；若C成立，则0＜λ＜1，且0＜μ＜1，＋＞2，与已知矛盾；若C，D同时在线段AB的延长线上时，λ＞1，且μ＞1，＋＜2，与已知矛盾，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上，故D正确． 答案　D 5．已知A，B，C 是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足＝，则点P一定为三角形ABC的 (　　)． A．AB边中线的中点 B．AB边中线的三等分点(非重心) C．重心 D．AB边的中点 解析　设AB的中点为M，则＋＝，∴＝(＋2)＝＋，即3＝

4、＋2，也就是＝2，∴P，M，C三点共线，且P是CM上靠近C点的一个三等分点． 答案　B 6．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)． A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对 解析　由已知＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2. ∴∥，又与不平行， ∴四边形ABCD是梯形． 答案　C 二、填空题 7．设a，b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________． 解析　∵

5、＝＋＝2a－b，又A，B，D三点共线， ∴存在实数λ，使＝λ. 即∴p＝－1. 答案　－1 8. 如图，在矩形ABCD中，||＝1，||＝2，设＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|＝________. 解析　根据向量的三角形法则有|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|＋＋|＝|＋|＝2||＝4. 答案　4 9．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________． 解析　＋－2＝－＋－＝＋， －＝＝－，∴|＋|＝|－|. 故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形． 答案　直角三角形 10．若M为△ABC内一点，且满足＝＋，则△AB

6、M与△ABC的面积之比为________． 解析 由题知B、M、C三点共线，设＝λ，则：－＝λ(－)， ∴＝(1－λ)＋λ， ∴λ＝， ∴＝. 答案 三、解答题 11．如图所示，△ABC中，＝，DE∥BC交AC于E，AM是BC边上的中线，交DE于N.设＝a，＝b，用a，b分别表示向量，，，，，. 解　＝b，＝b－a，＝(b－a)，＝(b－a)， ＝(a＋b)，＝(a＋b)． 12． (1)设两个非零向量e1，e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线． (2)设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e

7、1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值． (1)证明　因为＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2， 所以＝＋＝10e1＋15e2. 又因为＝2e1＋3e2，得＝5，即∥， 又因为，有公共点B，所以A，B，D三点共线． (2)解　D＝－＝e1＋3e2－2e1＋e2＝4e2－e1， ＝2e1＋ke2， 若A，B，D共线，则∥D， 设D＝λ，所以⇒k＝－8. 13． 如图所示，在△ABC中，在AC上取一点N，使得AN＝AC，在AB上取一点M，使得AM＝AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝BN，在CM的延长线上取点Q，使得＝λ时，＝，试确定λ的值

8、． 解　∵＝－＝(－)＝(＋)＝，＝－＝＋λ， 又∵＝，∴＋λ＝， 即λ＝，∴λ＝. 14．已知O，A，B三点不共线，且＝m＋n，(m，n∈R)． (1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线； (2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1. 证明　(1)m，n∈R，且m＋n＝1， ∴＝m＋n＝m＋(1－m)， 即－＝m(－)． ∴＝m，而≠0，且m∈R. 故与共线，又，有公共点B. ∴A，P，B三点共线． (2)若A，P，B三点共线，则与共线，故存在实数λ，使＝λ，∴－＝λ(－)． 即＝λ＋(1－λ). 由＝m＋n. 故m＋n＝λ＋(1－λ). 又O，A，B不共线，∴，不共线． 由平面向量基本定理得 ∴m＋n＝1.