高考数学专题复习练习第1讲变化率与导数、导数的运算

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1、 第三章 导数及其应用 第1讲 变化率与导数、导数的运算 一、选择题 1．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为(　　) A．－ B．0 C. D．5 解析 因为f(x)是R上的可导偶函数，所以f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)在x＝0处取得极值，即f′(0)＝0，又f(x)的周期为5，所以f′(5)＝0，即曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为0，选B. 答案 B 2．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的可导函数，且满足f(x)>0，xf

2、′(x)＋f(x)<0，则对任意正数a，b，若a>b，则必有 (　　)． A．af(b)0)，F′(x)＝，由条件知F′(x)<0，∴函数F(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，又a>b>0，∴<，即bf(a)0)，则f(2)的最小值为 (　　)． A．12 B．12＋8a＋ C．8＋8a＋ D．16 解析　f(2)＝8＋8a＋，令g(a)＝8＋8

3、a＋，则g′(a)＝8－，由g′(a)>0得a>，由g′(a)<0得0

4、x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝(　　)． A．26 B．29 C．212 D．215 解析　函数f(x)的展开式含x项的系数为a1·a2·…·a8＝(a1·a8)4＝84＝212，而f′(0)＝a1·a2·…·a8＝212，故选C. 答案　C 6．已知函数f′(x)，g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数h(x)＝f(x)－g(x)，则 (　　)． A．h(1)

5、h(0)

6、的坐标为________，切线的斜率为________． 解析　y′＝ex，设切点的坐标为(x0，y0)则＝ex0，即＝ex0，∴x0＝1.因此切点的坐标为(1，e)，切线的斜率为e. 答案　(1，e)　e 9．已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在x＝1处的导数f′(1)＝________. 解析　∵f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8， ∴x＝1时，f(1)＝2f(1)－1＋8－8， ∴f(1)＝1，即点(1,1)，在曲线y＝f(x)上． 又∵f′(x)＝－2f′(2－x)－2x＋8， x＝1时，f′(1)＝－2f′(1

7、)－2＋8， ∴f′(1)＝2. 答案　2 10．同学们经过市场调查，得出了某种商品在2011年的价格y(单位：元)与时间t(单位：月)的函数关系为：y＝2＋(1≤t≤12)，则10月份该商品价格上涨的速度是______元/月． 解析　∵y＝2＋(1≤t≤12)， ∴y′＝′＝2′＋′ ＝＝. 由导数的几何意义可知10月份该商品的价格的上涨速度应为y′|t＝10＝＝3. 因此10月份该商品价格上涨的速度为3元/月． 答案　3 三、解答题 11．求下列函数的导数： (1)y＝(2x＋1)n，(n∈N*)；　(2)y＝ln (x＋)； (3)y＝；　(4)y＝2xsin(

8、2x＋5)． 解　(1)y′＝n(2x＋1)n－1·(2x＋1)′＝2n(2x＋1)n－1. (2)y′＝·＝. (3)∵y＝＝1＋∴y′＝. (4)y′＝2sin(2x＋5)＋4xcos(2x＋5)． 12．设函数f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l. (1)求a、b的值，并写出切线l的方程； (2)若方程f(x)＋g(x)＝mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1

9、范围． 解析 (1)f′(x)＝3x2＋4ax＋b，g′(x)＝2x－3，由于曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线，故有f(2)＝g(2)＝0，f′(2)＝g′(2)＝1，由此解得a＝－2，b＝5； 切线l的方程为：x－y－2＝0. (2)由(1)得f(x)＋g(x)＝x3－3x2＋2x，依题意得：方程x(x2－3x＋2－m)＝0有三个互不相等的根0，x1，x2，故x1，x2是方程x2－3x＋2－m＝0的两个相异实根，所以Δ＝9－4(2－m)>0⇒m>－； 又对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)

10、g(x1)－mx1<－m成立，即0<－m⇒m<0，由韦达定理知：x1＋x2＝3>0，x1x2＝2－m>0，故00，则f(x)＋g(x)－mx＝x(x－x1)(x－x2)≤0； 又f(x1)＋g(x1)－mx1＝0， 所以函数在x∈[x1，x2]上的最大值为0，于是当m<0时对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)

11、＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值． (1)解　方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3， 当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋， 于是解得故f(x)＝x－. (2)证明　设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝·(x－x0)，即y－＝(x－x0)． 令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0交点坐标为. 令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)． 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0

12、|＝6. 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6. 14．设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b，为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0,0)点相切． (1)求a，b的值； (2)证明：当00时，2