高考数学 17-18版 附加题部分 第3章 选修4－1 第70课 课时分层训练14

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1、 课时分层训练(十四) A组　基础达标 (建议用时：30分钟) 1．如图70­11，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D. 图70­11 求证：△ABD∽△AEB. [证明]　因为AB＝AC. 所以∠ABD＝∠C. 又⊙O是三角形ABC的外接圆， 所以∠E＝∠C，从而∠ABD＝∠E. 又∠BAE＝∠BAD. 故△ABD∽△AEB. 2．(2017·泰州模拟)如图70­12，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC. 图70­12 求证：AC＝2AD. 【导学号：62172368】 [证明]　连结OD

2、.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C， 所以∠ADO＝∠ACB＝90°. 又因为∠A＝∠A， 所以Rt△ADO∽Rt△ACB， 所以＝. 又BC＝2OC＝2OD， 故AC＝2AD. 3．如图70­13，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，求BE的长． 图70­13 [解]　由切割线定理，得PA2＝PC·PD. 因此PD＝＝＝12. 又PC＝3，所以CD＝PD－PC＝9. 由于CE∶ED＝2∶1， 因此CE＝6，ED＝3. 由相交弦定理，AE·EB＝CE·ED， 所以

3、BE＝＝＝2. 4．如图70­14，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F.证明： 图70­14 (1)∠MEN＋∠NOM＝180°； (2)FE·FN＝FM·FO. 【导学号：62172369】 [证明]　(1)如图所示，因为点M，N分别是弦AB，CD的中点， 所以OM⊥AB，ON⊥CD， 则∠OME＝90°，∠ENO＝90°， 因此∠OME＋∠ONE＝180°. 又四边形的内角和等于360°， 故∠MEN＋∠NOM＝180°. (2)由(1)知，点O，M，E，N四点共圆． 由割线定理，得FE·FN＝FM·FO. B

4、组　能力提升 (建议用时：15分钟) 1．如图70­15，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC＝PD. 图70­15 (1)求证：l是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径OA＝5，AC＝4，求CD的长． [解]　(1)证明：连结OP，∵AC⊥l，BD⊥l， ∴AC∥BD. 又OA＝OB，PC＝PD， ∴OP∥BD，从而OP⊥l. ∵点P在⊙O上， ∴l是⊙O的切线． (2)由(1)可得OP＝(AC＋BD)， ∴BD＝2OP－AC＝10－4＝6. 过点A作AE⊥BD，垂足为E，则 BE＝BD－A

5、C＝6－4＝2. ∴在Rt△ABE中，AE＝＝＝4， ∴CD＝4. 2．(2016·全国卷Ⅰ)如图70­16，△OAB是等腰三角形，∠AOB＝120°，以O为圆心，OA为半径作圆． 图70­16 (1)证明：直线AB与⊙O相切； (2)点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD. [证明]　(1)设E是AB的中点，连结OE. 因为OA＝OB，∠AOB＝120°， 所以OE⊥AB，∠AOE＝60°. 在Rt△AOE中，OE＝AO，即O到直线AB的距离等于⊙O的半径，所以直线AB与⊙O相切． (2)因为OA＝2OD， 所以O不是A，B，C，D四点所在圆

6、的圆心． 设O′是A，B，C，D四点所在圆的圆心，作直线OO′. 由已知得O在线段AB的垂直平分线上， 又O′在线段AB的垂直平分线上，所以OO′⊥AB. 同理可证，OO′⊥CD，所以AB∥CD. 3．如图70­17，圆内接四边形ABCD的边BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上． 图70­17 (1)若EF∥CD，证明：EF2＝FA·FB； (2)若EB＝3EC，EA＝2ED，求的值． [解]　(1)证明：因为四边形ABCD内接于圆，所以∠B＝∠CDE. 又EF∥CD，所以∠CDE＝∠FEA， 因此，∠B＝∠FEA. 而∠F为公共角， 所以△FAE∽△

7、FEB， 于是，＝，即EF2＝FA·FB. (2)由割线定理，得ED·EA＝EC·EB，即ED·2ED＝EC·3EC， 所以＝，即＝. 因为∠B＝∠CDE，∠CED是公共角，所以△ECD∽△EAB， 于是，＝＝＝·＝. 4．(2016·全国卷Ⅲ)如图70­18，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点． 图70­18 (1)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大小； (2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD. [解]　(1)如图，连结PB，BC， 则∠BFD＝∠PBA＋∠BPD， ∠PCD＝∠PCB＋∠BCD. 因为＝， 所以∠PBA＝∠PCB. 又∠BPD＝∠BCD， 所以∠BFD＝∠PCD. 又∠PFB＋∠BFD＝180°，∠PFB＝2∠PCD， 所以3∠PCD＝180°， 因此∠PCD＝60°. (2)证明：因为∠PCD＝∠BFD， 所以∠EFD＋∠PCD＝180°， 由此知C，D，F，E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上， 故G就是过C，D，F，E四点的圆的圆心， 所以G在CD的垂直平分线上． 又O也在CD的垂直平分线上，因此OG⊥CD.