全国百强校上海市华东师范大学第二附属中学实验班用高三数学习题详解第十九章导数及其应用

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1、第十九章 导数及其应用 19.1 函数的极限 基础练习 1．判断下列函数的极限是否存在，并说明理由： （1）． （2）．（3）． 解：（1） （3）（理由说明略）． 2．根据函数极限的定义，求下列函数的极限： （1）． （2）． 解：（1）．（2）． 3．求下列函数的极限： （1）． （2）． （3）． （4）． （5）． （6）． （7）． （8）． 解：． （2）不存在． （3）． （4）． （5）． （6）． （7）． （8）． 能力提高 4．设正数满足，求． 解： ． 5．把展开成关于的多项式，其各项系数和为，求． 解：令，

2、得到各项系数和：． 则． 6．若，求的值． 解：， ． 则，，得出，． 7．设为多项式，且，求的表达式． 解：，， ，则的表达式为． 8．已知函数，试确定常数，使存在． 解：，则． 9．设函数，当取什么值时，存在？ 解：，当时，存在． 19.2 两个重要极限 1．求下列函数的极限： （1）． （2）． （3）． （4）． 解：（1）． （2）． （3） ． （4）． 2．证明． 证明：， 3．证明． 证明：令，则，当时，，． 19.3 函数的连续性 1．试判断下列函数在给定点处是连续？并说明理由． （1），在处． （2），在处；

3、（3），点． 解：（1）左、右极限都存在，，，但不相等，在处不连续． （2）左极限都存在，右极限不存在，在处不连续． （3），，所以函数在处不连续． 2．求下列函数的极限： （1）． （2）． （3）． （4）． 解：（1）． （2）． （3）， ，则． （4）， 则． 3．求函数在处的极限： （1）． （2）． （3）， （4）． （5）． （6）． 解：（1），则极限为． （2）极限为． （3）极限为． （4）极限为． （5）极限为． （6）不存在，则极限不存在． 4．求下列函数的极限： （1）． （2）． （3）． （4）

4、． （5）． （6）． 解：（1）． （2）． （3）． （4）． （5）， 则． （6） ． 能力提高 5．求的值． 解：， ， ． 6．研究函数的连续性． 解：当时，； 当时，； 当时，，则， 由于，，则不存在； 又，则不存在． 则在处不连续，在定义域内的其余点都连续，即在区间、（-1，1）和（1，）上分别连续． 7．讨论上黎曼函数的连续性． 证明：设为无理数，任给（不妨设）， 满足正数显然只有有限个（但至少有一个，如）， 从而使的有理数只有有限个（至少有一个，如），设为，取 ，（显然） 则对任何，当为有理数时有，当为无理数时． 于是

5、，对任何，总有， 这就证明了在无理点处连续． 现设为（0，1）内任一有理数，取，对任何正数（无论多少小）， 在内总可取无理数，使得， 所以在任何有理点处都不连续． 19.4 导数的概念与运算 1．求下列函数的导数： （1）． （2）． （3）． （4）． 解：（1）．（2）．（3）．（4）． 2．求下列函数的导数： （1）． （2）． （3）． （4）． 解：（1），（2）． （3），（4）． 3．求下列函数的导数： （1）． （2）． （3）． （4）． 解：（1）． （2）． （3）． （4）． 能力提高 4．如图19-5，函数

6、的图像是折线段，其中的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则__________；函数在处的导数__________． 解：，． 5．若，求． 解：． 6．求下列函数的导数： （1）． （2）． （3）． （4）． （5）． （6）． 解：（1）． （2）． （3）． （4）． （5）． （6）． 7．已知函数是可导的周期函数，试救证其导函数也为周期函数． 证明：． 8．若可导函数是奇函数，求证：其导函数是偶函数． 证明：函数是奇函数，所以， 所以导函数是偶函数，显然得证． 19.5 导数的应用 基础练习 1．（1）

7、曲线在点（1，-1）处的切线方程为__________． （2）过曲线上点且与过点的切线夹角最大的直线的方程为__________． （3）曲线在点处切线的斜率为__________． （4）函数的曲线上点处的切线与直线的夹角为，则点的坐标为__________． （5）曲线与在交点处的切线夹角是__________． 解：（1），则切线方程为． （2），则夹角最大为，所以过曲线上点且与过点的切线夹角最大的直线的斜率为，则直线方程为：． （3）． （4）设切线的斜率为，，，， 因为，，，所以点的坐标为或． （5）． ，． 则夹角是． 2．（1）设函数的图像与轴交点为点

8、，且曲线在点处的切线方程为．若函数在处取得极值0，试确定函数的解析式． （2）若函数在区间内恒有，则求函数的上的最小值． （3）求曲线的极值点． 解：（1）令，则， 则， ， 解得：， 则函数的解析式为． （2）函数在区间内恒有，所以在区间单调递减，因此函数在上的最小值为． （3），因此在时有极小值． 3．求下列函数的单调区间： （1）． （2）． （3）． （4）． 解：（1），单调递增区间为和，单调递减区间为． （2），单调递增区间为（-1，1），单调递减区间为． （3），单调递增区间为，单调递减区间为． （4），单调递增区间为，单调递减区间为．

9、4．求下列函数的极值或最值： （1）． （2），． （3）． （4）． 解：（1），单调递增区间为和，单调递减区间为（-1，3）， 当时取到极大值，当时取到极小值． （2），单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时取到极大值，当时取到极小值． 当时取到最小值，当时取到最大值； （3），单调递增区间为，单调递减区间为， 当时取到极小值． （4），单调递增区间为，单调递减区间为， 当时取到极小值． 5．当时，证明下列不等式成立： （1）． （2）． 证明：（1）令，， 所以在区间上单调递增，则， 则，显然得证． （2）令，， ,,， 则在区间上单调递

10、减，所以， 则在区间上单调递增，所以， 则在区间上单调递增，所以， 则在区间上单调递增，所以， 即得证． 6．设（为自然对数的底，为常数且，），则何时取得极小值？ 解：， 当时，时，取得极小值；当时，时，取得极小值． 7．求抛物线上与点距离最近的点． 解：任取抛物线上一点，则． ，则在单调递减，单调递增， 则抛物线上与点距离最近的点是（2，2）． 能力提高 8．已知函数在处取得极值． （1）讨论和是函数的极大值还是极小值． （2）过点作曲线的切线，求此切线方程． 解：（1）函数在处取得极值的解为，则， 则是极大值，是极小值． （2）设切点为，则切线方程为．

11、 过点，则， 则切点为，则切线方程为． 9．设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线．（1）求的值．（2）若函数，讨论的单调性． 解：（1）因，故； 又在处取得极限值，故，从而． 由曲线在处的切线与直线相互垂直可知： 该切线斜率为2，即，有，从而． （2）由（1）知，，． 令，有． ①当，即当时，在上恒成立，故函数在上为增函数． ②当，即当时，， 时，在上为增函数． ③，即当时，方程有两个不相等实根， ，． 当是，故在上为增函数， 当时，，故在上为减函数， 10．已知函数，且．（1）试用含的代数式表示．（2）求的单调区间．（3）令，设函数在处取得极值，记

12、点，，证明：线段与曲线存在异于的公共点． 解：（1）依题意，得，由得． （2）由（1）得， 故， 令，则或． ①当时， 当变化时，与的变化情况如下表： + - + 单调递增 单调递减 单调递增 由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为． ②由时，，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调区间为． ③当时，，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为． 综上： 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为； 当时，函数的单调增区间为； 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为． （3）当时，得，由，得，． 由（2）得的单调增区间为和，单

13、调减区间为（-1，3）， 所以函数在，处取得极值． 故，．所以直线的方程为． 由，得． 令， 易得，，而的图像在（0，2）内是一条连续不断的曲线， 故在（0，2）内存在零点，这表明线段与曲线有异于，的公共点． 11．设定义在上的函数，当时，取得极大值，并且函数的图像关于轴对称． （1）求的表达式． （2）试在函数的图像上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[-1，1]上． （3）求证：． 解：（1）由于为偶函数，则， 则， 则对一切恒成立， 则，则， 又当时，取得极大值， 则，解得，则，． （2）设所求两点的横坐标为，，则， 又由于

14、，，则，， 则，中有一个为，一个为-1， 则或，则所求的两点为（0，0）与或（0，0）与． （3）证明：易知，． 当时，；当时，． 则在为减函数，在上为增函数， 又，，，而在上为奇函数， 则在上最大值为，最小值为，即， 则，， 则． 12．已知函数， （1）若，试求函数的值域． （2）若，，求证：． （3）若，，，猜想与的大小关系（不必写出比较过程）． 解：（1）当时，，则为增函数． 又在区间上连续，所以，求得，即的值域为． （2）设． 即，， 由于，，则，由，得， 则当时，，为减函数，当时，，为增函数． 由于在区间上连续，则为的最小值 对有，因而． （3）在题设条件下，当为偶数时，， 当为奇数时，．