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1、
课时分层训练(四十八)
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
1．如图485，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)过点A(2,1)，离心率为.
图485
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且AB⊥AC，求直线l的方程. 【导学号：62172267】
[解] (1)由条件知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝＝，
所以b2＝a2－c2＝a2.
又点A(2,1)在椭圆＋＝1(a>b>0)上，
所以＋＝1，
解得
所以，所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)将y＝k
2、x＋m(k≠0)代入椭圆方程，得x2＋4(kx＋m)2－8＝0，
整理得(1＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－8＝0. ①
由线段BC被y轴平分，得xB＋xC＝－＝0，
因为k≠0，所以m＝0.
因为当m＝0时，B，C关于原点对称，设B(x，kx)，C(－x，－kx)，
由方程①，得x2＝，
又因为AB⊥AC，A(2,1)，
所以·＝(x－2)(－x－2)＋(kx－1)(－kx－1)＝5－(1＋k2)x2＝5－＝0，
所以k＝±.
由于k＝时，直线y＝x过点A(2,1)，故k＝不符合题设．
所以，此时直线l的方程为y＝－x.
2．已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其
3、上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝kx＋1与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的取值范围．
[解] (1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由条件可得a＝2，c＝，b＝1，故椭圆C的方程＋x2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，
故x1＋x2＝－，x1x2＝－.
设△OAB的面积为S，由x1x2＝－<0，
知S＝(|x1|＋|x2|)＝|x1－x2|
＝＝2，
令k2＋3＝t，知t≥3，∴S＝2，
对函数y＝t＋(t≥3)，知y′＝1－＝>0，
4、
∴y＝t＋在t∈[3，＋∞)上单调递增，
∴t＋≥，∴0<≤，∴S∈.
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2017·苏锡常镇调研一)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点．
①若直线l过椭圆C的右焦点，记△ABP三条边所在直线的斜率的乘积为t，求t的最大值；
②若直线l的斜率为，试探究OA2＋OB2是否为定值？若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由. 【导学号：62172268】
[解] (1)＋＝1，＝，得a2＝4，b2＝3.
所以椭圆C：＋＝1.
5、
(2)①设直线l的方程为x＝my＋1，直线l与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由化简得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，易知Δ>0，
所以y1＋y2＝－，y1y2＝－，
所以kAP·kBP＝·＝·＝·
＝－－，
所以t＝kAB·kAP·kBP＝－－＝－2＋，
所以当m＝－时，t有最大值.
②设直线l的方程为y＝x＋n，直线l与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，得3x2＋2nx＋2n2－6＝0，
Δ＝(2n)2－4×3(2n2－6)>0，即－
6、
＝x＋x＋2＋2＝(x＋x)＋n(x1＋x2)＋2n2
＝(x1＋x2)2－x1x2＋n(x1＋x2)＋2n2
＝2－＋n＋2n2＝7.
所以当直线l的斜率为时，OA2＋OB2为定值7.
2．(2017·泰州期末)如图486，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝4，椭圆C：＋y2＝1，A为椭圆右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中D.设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2.
图486
(1)求k1k2的值；
(2)记直线PQ，BC的斜率分别为kPQ，kBC，是否存在常数λ，使
7、得kPQ＝λkBC？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；
(3)求证：直线AC必过点Q.
[解] (1)设B(x0，y0)，则C(－x0，－y0)，＋y＝1，A(2,0)，
所以k1k2＝·＝＝＝－.
(2)联立得(1＋k)x2－4kx＋4(k－1)＝0，
解得xp＝，yp＝k1(xp－2)＝，
联立得(1＋4k)x2－16kx＋4(4k－1)＝0，
解得xB＝，yB＝k1(xB－2)＝，
所以kBC＝＝，kPQ＝＝＝，
所以kPQ＝kBC，故存在常数λ＝，使得kPQ＝kBC.
(3)当直线PQ与x轴垂直时，Q，
则kAQ＝＝＝k2，所以直线AC必过点Q.
当直线PQ与x轴不垂直时，直线PQ方程为：y＝，
联立，解得xQ＝，yQ＝，所以kAQ＝＝－＝k2，故直线AC必过点Q.
高考数学 17-18版 第9章 第48课 课时分层训练48
