集合思想 (2)

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1、 集合思想 1. 集合的概念。 把指定的具有某种性质的事物看作一个整体,就是一个集合(简称集),其中每个事物叫做该集合的元素(简称元)。给定的集合,它的元素必须是确定的,即任何一个事物是否属于这个集合,是明确的。如“学习成绩好的同学”不能构成一个集合，因为构成它的元素是不确定的；而“语文和数学的平均成绩在90分及以上的同学”就是一个集合。一个给定集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重复出现。只要两个集合的元素完全相同，就说这两个集合相等。 集合的表示法一般用列举法和描述法。列举法就是把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法。描述法就是在花括号内写出规定这个

2、集合元素的特定性质来表示集合的方法。列举法的局限性在于当集合的元素过多或者有无限多个时，很难把所有的元素一一列举出来，这时描述法便体现出了优越性。此外，有时也可以用封闭的曲线（文恩图）来直观地表示集合及集合间的关系，曲线的内部表示集合的所有元素。 一一对应是两个集合之间元素（这种元素不一定是数）的一对一的对应，也就是说集合Ａ中的任一元素a，在集合Ｂ中都有唯一的元素b与之对应；并且在集合Ｂ中的任一元素b，在集合Ａ中也有唯一的元素a与之对应。数集之间可以建立一一对应，如正奇数集合和正偶数集合之间的元素可以建立一一对应。其他集合之间也可以建立一一对应，如五(1)班有25个男生，25个女生，如果把男

3、生和女生各自看成一个集合，那么这两个集合之间可以建立一一对应；再如，中国、美国、俄罗斯、英国、法国、德国作为一个集合，北京、华盛顿、莫斯科、伦敦、巴黎、柏林作为一个集合，这两个集合之间也可以建立一一对应。 2. 集合思想的重要意义。 集合理论是数学的理论基础，从集合论的角度研究数学，便于从整体和部分及二者的关系上研究数学各个领域的知识。如数系的扩展，从小学的自然数到整数，再到中学的有理数、无理数和实数，都可以从集合的角度来描述。有时用集合语言来表述有关概念更为简洁，如全体偶数的集合可表示为｛x|x＝2k，k∈Z｝。集合沟通了代数(数)和几何之间的关系，如y = kx ，既是正比例函数，又

4、可以表示一条直线；也就是说在平面直角坐标系上，这条直线是由满足y = kx 的有序实数对所组成的点的集合。用集合图描述概念的分类及概念之间的关系，往往层次分明、直观清晰，如四边形的分类可以用文恩图表示。 3．集合思想的具体应用。 集合思想在小学数学的很多内容中进行了渗透。在数的概念方面，如自然数可以从对等集合基数（元素的个数）的角度来理解，再如在一年级通过两组数量相等的实物建立一一对应，让学生理解“同样多”的概念，实际上就是两个对等集合的元素之间建立一一对应；数的运算也可以从集合的角度来理解，如加法可以理解为两个交集为空集的集合的并集，再如求两数相差多少，通过把代表两数的实物图或直观图一

5、对一地比较，来帮助学生理解用减法计算的道理；实际上就是把代表两数的实物分别看作集合Ａ、Ｂ，通过把Ａ的所有元素与Ｂ的部分元素建立一一对应，然后转化为求Ｂ与其子集（与Ａ等基）的差集的基数。此外，在小学数学中还经常用集合图表示概念之间的关系，如把所有三角形作为一个整体，看作一个集合，记为Ａ；把锐角三角形、直角三角形和钝角三角形各自看作一个集合，分别记为Ｂ、Ｃ、Ｄ，这三个集合就是集合Ａ的三个互不相交的子集，Ｂ、Ｃ、Ｄ的并集就是Ａ。再如在学习公因数和公倍数时，都是通过把两个数各自的因数和倍数分别用集合图表示，再求两个集合的交集，直观地表示了公因数和公倍数的概念。 4．集合思想的教学。 集合思想在小学

6、数学中广泛渗透，在教学中应注意以下几个问题。 第一，应正确理解有关概念。我们知道，两个数之间可以比较大小，但是两个集合之间无法直接比较大小，也就是说一般不说两个集合谁大谁小。如有两个集合A、B，当且仅当它们有完全相同的元素时，称A、B相等，记为A=B。 如A={2，3，5，7}，B={ x|x是小于10的素数}。集合之间可以有包含关系，如C={2, 3, 5, 7, 11}，则A是C的真子集。集合之间可以比较基数的大小，也就是比较元素的个数的多少。只要两个集合元素间能够建立一一对应的关系，那么就说两个集合的元素个数相等，就是基数相等，即等势或等基。如果A是Ｃ的真子集, 就说A的基数小于Ｃ的

7、基数。 对于有限集比较容易数出它的元素的个数，而对于无限集，又怎样比较它们元素个数的多少呢？如正整数集合与正偶数集合，它们的基数相等吗？我们知道，两个集合的元素，只要能够建立一一对应就基数相等。正整数集合与正偶数集合的元素之间可以建立如下的一一对应关系。 １　２　３　４　５　　┅ ↓　↓　↓　↓　↓ ２　４　６　８　１０　┅ 因此，这两个集合的元素个数相等，也就是它们的基数相等。 案例1：乒乓球比赛有16人参加Ａ组的小组赛，规定采取淘汰赛决出小组第一名参加决赛。一共要进行多少场比赛？ 分析：淘汰赛一般的规则是每两个人分为一组比赛一场，胜者进入下一轮继续进行两人一组比赛；如果出现单

8、数就有一人轮空，直接进入下一轮比赛。这样一直进行下去，直到决出第一名。按照这个思路解答，只需要把每一轮比赛的场数算出来，最后加起来就行。第一轮共有8场比赛，第二轮共有4场比赛，第三轮共有2场比赛，第四轮共有1场比赛；所以总共有15(8+4+2+1=15)场比赛。 以上思路层次清楚、容易理解，小学生一般都可以接受，但是如果参加小组比赛的人比较多，计算起来就比较麻烦。下面用一一对应的思想来分析：因为每场比赛淘汰一个人，有一场比赛就淘汰一个人，没有比赛就不淘汰人，要想淘汰一个人就必须有一场比赛，也就是说比赛的场数与被淘汰的人数是一一对应的。在小组参赛的16人中，最后只有一人得第一名，要淘汰15人，

9、所以比赛的场数为15场。 第二，正确把握集合思想的教学要求。集合思想虽然在小学数学中广泛渗透，但是集合的知识并不是小学数学的必学内容；因而应注意把握好知识的难度和要求，尽量使用通俗易懂的语言渗透集合思想。集合除了可以表示概念系统及概念间的关系外，利用文恩图进行集合的直观运算，可以解决一些分类计数的问题。 案例2：六(1)班举办文艺活动，演出歌舞节目的有9人，演出小品等节目的有12人，两类节目都参加的有5人。该班共有多少人参加这两类节目的演出？ 分析：为了便于理解集合的运算 原理，我们借助文恩图来分析。左边 的圈里表示演出歌舞节目的人，右边 圈里表示演出小品等节目的人。两个 圈相交

10、的共有的部分有5人，表示这 5人既参加了歌舞节目，又参加了小品等节目的演出。左边圈中没跟另一个圈相交的单独的部分有4人，表示这4人只参加了歌舞节目的演出。因此，参加歌舞节目演出的9人由两部分组成：一部分是只参加歌舞节目演出的4人，另一部分是既参加歌舞节目又参加小品等节目演出的5人。同样道理，参加小品等节目演出的12人由两部分组成：一部分是只参加小品等节目演出的7人，另一部分是既参加小品等节目又参加歌舞节目演出的5人。综合以上分析，可以得出：该班参加这两类节目演出的人数是4+5+7=16，或9+12－5=16。 第三，集合思想的教学要贯彻小学数学的始终。如上所述，集合思想在一年级学习之初，学生在学习认数和分类等知识中就已经有所接触，一直到高年级学习公因数和公倍数、三角形和四边形的分类、数的分类(正数、0、负数)等等，不同年级和不同知识领域都有所渗透。这里涉及了用集合语言表示概念及概念间的关系、集合的元素之间的对应关系、集合的运算等等。因此，集合思想的渗透不是一朝一夕的事情，而是坚持不懈的长期的过程。 4