高考数学 17-18版 附加题部分 第1章 第59课 课时分层训练3

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1、 课时分层训练(三) A组　基础达标 (建议用时：30分钟) 1．设(5x－)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，求展开式中二项式系数最大的项. 【导学号：62172324】 [解]　依题意得，M＝4n＝(2n)2，N＝2n， 于是有(2n)2－2n＝240，(2n＋15)(2n－16)＝0， ∴2n＝16＝24， 解得n＝4. 要使二项式系数C最大，只有r＝2， 故展开式中二项式系数最大的项为 T3＝C(5x)2·(－)2＝150x3. 2．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数

2、的最大值为b.若13a＝7b，求m的值． [解]　(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为C， ∴a＝C，同理，b＝C. ∵13a＝7b，∴13·C＝7·C. ∴13·＝7·. ∴m＝6 3．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求：(1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. 【导学号：62172325】 [解]　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.① 令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝3

3、7.② (1)∵a0＝C＝1， ∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2. (2)(①－②)÷2， 得a1＋a3＋a5＋a7 ＝＝－1 094. (3)(①＋②)÷2， 得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093. (4)法一：∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187. 法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|， 即(1＋2x)7展开式中各项的系数和，令x＝1， ∴|a0|＋|a1|

4、＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187. 4．已知二项式n的展开式中各项的系数和为256. (1)求n； (2)求展开式中的常数项． [解]　(1)由题意得C＋C＋C＋…＋C＝256，∴2n＝256，解得n＝8. (2)该二项展开式中的第r＋1项为 Tr＋1＝C()8－r·r＝C·x， 令＝0，得r＝2，此时，常数项为T3＝C＝28. 5．若n展开式中前三项的系数成等差数列，求： (1)展开式中所有x的有理项； (2)展开式中系数最大的项． [解]　易求得展开式前三项的系数为1，C，C. 据题意得2×C＝1＋C⇒n＝8. (1)设展开式中的有理项为Tr＋1， 由

5、Tr＋1＝C()8－rr＝rCx， ∴r为4的倍数， 又0≤r≤8，∴r＝0,4,8. 故有理项为T1＝0Cx＝x4， T5＝4Cx＝x， T9＝8Cx＝. (2)设展开式中Tr＋1项的系数最大，则： rC≥r＋1C且rC≥r－1C⇒r＝2或r＝3. 故展开式中系数最大的项为T3＝2Cx＝7x， T4＝3Cx＝7x. 6．(1)已知2n＋2·3n＋5n－a能被25整除，求正整数a的最小值； (2)求1.028的近似值．(精确到小数点后三位) [解]　(1)原式＝4·6n＋5n－a＝4(5＋1)n＋5n－a ＝4(C5n＋C5n－1＋…＋C52＋C5＋C)＋5n－a

6、＝4(C5n＋C5n－1＋…＋C52)＋25n＋4－a， 显然正整数a的最小值为4. (2)1.028＝(1＋0.02)8≈C＋C·0.02＋C·0.022＋C·0.023≈1.172. B组　能力提升 (建议用时：15分钟) 1．(2017·苏州期中)设f(x，n)＝(1＋x)n，n∈N＋. (1)求f(x,6)的展开式中系数最大的项； (2)n∈N＋，化简C4n－1＋C4n－2＋C4n－3＋…＋C40＋C4－1； (3)求证：C＋2C＋3C＋…＋nC＝n×2n－1. [解]　(1)展开式中系数最大的项是第4项为Cx3＝20x3. (2)C4n－1＋C4n－2＋C4n－3

7、＋…＋C40＋C4－1 ＝[C4n＋C4n－1＋C4n－2＋…＋C4＋C]＝(4＋1)n＝. (3)证明：因为kC＝nC， 所以C＋2C＋3C＋…＋nC＝n(C＋C＋C＋…C)＝n×2n－1. 2．已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N＋)的展开式中x的系数为11. (1)求x2的系数取最小值时n的值； (2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和． [解]　(1)由已知得C＋2C＝11，∴m＋2n＝11， x2的系数为 C＋22C＝＋2n(n－1) ＝＋(11－m) ＝2＋. ∵m∈N＋，∴m＝5时，x2的系数取得最小值22

8、，此时n＝3. (2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时， m＝5，n＝3， ∴f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3. 设这时f(x)的展开式为 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5， 令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33＝59， 令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1， 两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60， 故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30. 3．(2017·南京模拟)设集合S＝{1,2,3，…，n}(n∈N＋，n≥2)，A，B是S的两个非空子集，且满足集合A中的最大数小于集合B中的最小数，记满足条件的集合对(A，

9、B)的个数为Pn. (1)求P2，P3的值； (2)求Pn的表达式． [解]　(1)当n＝2时，即S＝{1,2}，此时A＝{1}，B＝{2}，所以P2＝1. 当n＝3时，即S＝{1,2,3}．若A＝{1}，则B＝{2}，或B＝{3}，或B＝{2,3}； 若A＝{2}或A＝{1,2}，则B＝{3}．所以P3＝5. (2)当集合A中的最大元素为“k”时，集合A的其余元素可在1,2，…，k－1中任取若干个(包含不取)，所以集合A共有C＋C＋C＋…＋C＝2k－1种情况． 此时，集合B的元素只能在k＋1，k＋2，…，n中任取若干个(至少取1个)，所以集合B共有C＋C＋C＋…＋C＝2n－k－

10、1种情况， 所以，当集合A中的最大元素为“k”时， 集合对(A，B)共有2k－1(2n－k－1)＝2n－1－2k－1对． 当k依次取1,2,3，…，n－1时，可分别得到集合对(A，B)的个数，求和可得 Pn＝(n－1)·2n－1－(20＋21＋22＋…＋2n－2)＝(n－2)·2n－1＋1. 4．(2017·苏锡常镇调研一)在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的二个数值之和，其它每一个数值是它上面的二个数值之和，这三角形数阵开头几行如图59­2所示． 图59­2 (1)在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为3∶4∶5？若存在，试求出

11、是第几行；若不存在，请说明理由； (2)已知n、r为正整数，且n≥r＋3. 求证：任何四个相邻的组合数C，C，C，C不能构成等差数列． [解]　(1)杨辉三角形的第n行由二项式系数C，k＝0,1,2，…，n组成． 如果第n行中有＝＝，＝＝， 那么3n－7k＝－3,4n－9k＝5， 解这个联立方程组，得k＝27，n＝62. 即第62行有三个相邻的数C，C，C的比为3∶4∶5. (2)假设有n，r(n≥r＋3)，使得C，C，C，C成等差数列， 则2C＝C＋C，2C＝C＋C， 即＝＋， ＝＋. 所以有＝＋， ＝＋， 经整理得到n2－(4r＋5)n＋4r(r＋2)＋2＝0，n2－(4r＋9)n＋4(r＋1)(r＋3)＋2＝0. 两式相减可得n＝2r＋3， 于是C，C，C，C成等差数列， 而由二项式系数的性质可知C＝C＜C＝C， 这与等差数列性质矛盾，从而要证明的结论成立．