高一数学(人教A版)必修4能力提升:2-2-1 向量加法运算及其几何意义
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1、 能 力 提 升 一、选择题 1.下列等式中不正确的是( ) A.a+0=a B.a+b=b+a C.|a+b|=|a|+|b| D.=++ [答案] C [解析] 当a与b方向不同时,|a+b|≠|a|+|b|. 2.在△ABC中,=a,=b,则a+b等于( ) A. B. C. D. [答案] D [解析] +=. 3.(山东师大附中2012-2013期中),如图,正六边ABCDEF中,++=( ) A.0 B. C. D. [答案] B [解析] 连结CF,取CF中点O,连结OE,CE. 则++
2、=(+)+=. 4.在△ABC中,||=||=|+|,则△ABC是( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 [答案] B [解析] +=,则||=||=||, 则△ABC是等边三角形. 5.a、b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则( ) A.a∥b,且a与b方向相同 B.a、b是共线向量 C.a=-b D.a、b无论什么关系均可 [答案] A [解析] 当两个非零向量a与b不共线时,a+b的方向与a、b的方向都不相同,且|a+b|<|a|+|b|;向量a与b同向时,a+b的方向与a、b的方向都相同,且|a+b|=
3、|a|+|b|;向量a与b反向且|a|<|b|时,a+b的方向与b的方向相同(与a方向相反),且|a+b|=|b|-|a|. 6.设P是△ABC所在平面内的一点,+=2,则( ) A.+=0 B.+=0 C.+=0 D.++=0 [答案] C [解析] ∵+=2, ∴由平行四边形法则,点P为线段AC的中点, ∴+=0.故选C. 二、填空题 7.已知||=|a|=3,||=|b|=3,∠AOB=90°,则|a+b|=________. [答案] 3 [解析] ∵||=||且∠AOB=90°,∴|a+b|为以、为两邻边的矩形的对角线的长, ∴|a+b|=3.
4、8.已知|a|=3,|b|=2,则|a+b|的取值范围是____________. [答案] [1,5] [解析] |a|-|b|=3-2=1,|a|+|b|=3+2=5,又|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|, 则有1≤|a+b|≤5. 9.在菱形ABCD中,∠DAB=60°,向量||=1,则|+|=________. [答案] 1 [解析] 在△ABD中,AD=AB=1,∠DAB=60°,△ABC是等边三角形,则BD=1,则|+|=||=1. 三、解答题 10.已知两个力F1、F2的方向互相垂直,且它们的合力F大小为10N,与力F1的夹角是60°,求力F1、F2的大小
5、. [解析] 设表示力F1,表示力F2,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则表示合力F,由题意易得||=||cos60°=5,||=||sin60°=5, 因此,力F1,F2的大小分别为5N和5N. 11.在水流速度大小为10km/h的河中,如果要使船实际以10km/h大小的速度与河岸成直角横渡,求船行驶速度的大小与方向. [解析] 如图所示,OA表示水流方向,表示垂直于对岸横渡的方向,表示船行速度的方向,由=+易知||=||=10,又∠OBC=90°, ∴||=20,∴∠BOC=30°, ∴∠AOC=120°,即船行驶速度为20km/h,方向与水流方向成120°角. 12.如图,用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°,求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计). [解析] 如图,设、分别表示A,B所受的力,10 N的重力用表示,则+=. 易得∠ECG=180°-150°=30°, ∠FCG=180°-120°=60°, ∴||=||cos30° =10×=5. ||=||cos60°=10×=5. ∴A处所受的力的大小为5N,B处所受的力的大小为5 N.
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