数学理高考二轮专题复习与测试：第二部分 专题二 第2讲 数列的求和及综合应用 Word版含解析

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1、 A级　基础通关 一、选择题 1．已知Tn为数列的前n项和，若m＞T10＋1 013恒成立，则整数m的最小值为(　　) A．1 026 B．1 025 C．1 024 D．1 023 解析：因为＝1＋，所以Tn＝n＋1－， 所以T10＋1 013＝11－＋1 013＝1 024－. 又m＞T10＋1 013， 所以整数m的最小值为1 024. 答案：C 2．(2019·广东广州天河一模)数列{an}满足a1＝1，对任意n∈N*的都有an＋1＝1＋an＋n，则＋＋…＋＝(　　) A. B．2 C. D. 解析：an＋1－an＝n＋1，且a1＝1， 所

2、以利用叠加法，得an＝， 则＝2， 故＋＋＋…＋＝2(1－＋－＋…＋－) ＝2＝. 答案：C 3．已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝(　　) A．9 B．15 C．18 D．30 解析：因为an＋1－an＝2，a1＝－5，所以数列{an}是公差为2，首项为－5的等差数列． 所以an＝－5＋2(n－1)＝2n－7. 数列{an}的前n项和Sn＝＝n2－6n. 令an＝2n－7≥0，解得n≥. 所以n≤3时，|an|＝－an；n≥4时，|an|＝an. 则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝－a1－a2－a3＋a

3、4＋a5＋a6＝S6－2S3＝62－6×6－2(32－6×3)＝18. 答案：C 4．(2019·衡水中学月考)数列an＝，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为(　　) A．－10 B．－9 C．10 D．9 解析：由于an＝＝－， 所以Sn＝＋＋…＋＝1－ . 因此1－＝，所以n＝9. 所以直线方程为10x＋y＋9＝0. 令x＝0，得y＝－9，所以在y轴上的截距为－9. 答案：B 5．(2019·广州调研)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则数列{nan}的前n项和Tn为(　　) A

4、．－3＋(n＋1)×2n B．3＋(n＋1)×2n C．1＋(n＋1)×2n D．1＋(n－1)×2n 解析：设等比数列的公比为q，易知q＞0且q≠1. 依题意解得 因此an＝a1qn－1＝2n－1，所以nan＝n·2n－1. 则Tn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1.① 2Tn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n.② 由①－②，得－Tn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝(1－n)·2n－1. 所以Tn＝1＋(n－1)·2n. 答案：D 二、填空题 6．已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[－1.5]＝－

5、2.在数列{an}中，an＝[lg n]，n∈N*，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2 018＝________． 解析：当1≤n≤9时，an＝[lg n]＝0， 当10≤n≤99时，an＝[lg n]＝1， 当100≤n≤999时，an＝[lg n]＝2， 当1 000≤n≤2 018时，an＝[lg n]＝3. 故S2 018＝9×0＋90×1＋900×2＋1 019×3＝4 947. 答案：4 947 7．(2019·长沙模拟)曲线y＝x＋ln x(n∈N*)在x＝处的切线斜率为an，若bn＝，则{bn}的前n项和Tn＝________． 解析：由y′＝＋，知an＝＋

6、＝n， 所以bn＝＝＝－. 因此Tn＝＋＋…＋＝1－＝. 答案： 8．(2019·深圳质检)数列bn＝ancos 的前n项和Sn，已知S2 017＝5 710，S2 018＝4 030，若数列{an}为等差数列，则S2 019＝________． 解析：设数列{an}是公差为d的等差数列， a1cos ＋a2cos ＋a3cos π＋a4cos ＋a5cos ＋a6cos 2π＝(a1－a2)＋(a5－a4)－a3＋a6＝－a3＋a6. 由S2 017＝5 710，S2 018＝4 030， 可得5 710＝－(a3＋a9＋…＋a2 013)＋(a6＋a12＋…＋a2 010＋

7、a2 016)＋a2 017， 4 030＝－(a3＋a9＋…＋a2013)＋(a6＋a12＋…＋a2 010＋a2 016)＋a2 017－a2 018， 两式相减可得a2 018＝3 360， 由5710＝1 008d＋(3 360－d)，解得d＝4， 则an＝a2 018＋(n－2018)×4＝4n－4 712， 可得S2 019＝4 030－a2019＝4 030－(4×2 019－4 712)＝666. 答案：666 三、解答题 9．(2019·山东省实验中学联考)已知数列{an}的前n项和Sn满足＝＋1(n≥2，n∈N*)，且a1＝1. (1)求数列{an}的通项

8、公式； (2)记bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和，求使Tn≥成立的n的最小值． 解：(1)由已知有－＝1， 所以数列{}为等差数列，且＝＝1， 所以＝n，即Sn＝n2. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1. 又a1＝1也满足上式， 所以an＝2n－1. (2)由(1)知，bn＝＝， 所以Tn＝＝＝， 由Tn≥有n2≥4n＋2，有(n－2)2≥6，所以n≥5， 所以n的最小值为5. 10．(2019·成都七中联考)在数列{an}中，已知a1＝，且＝(n∈N*)． (1)求{an}的通项公式； (2)求{an}的前n项和Sn. 解：(1

9、)由＝得，＝· (n∈N*)． 又a1＝，所以是以为首项、为公比的等比数列． 于是＝，则an＝(n∈N*)． 故{an}的通项公式为an＝(n∈N*)． (2)由Sn＝＋＋＋…＋＋， 得Sn＝＋＋＋…＋＋， 两式相减，得Sn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－. 于是{an}的前n项和Sn＝2－(n∈N*)． B级　能力提升 11．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－1(n∈N*)，设bn＝1＋log2an，则数列的前n项和Tn＝________． 解析：因为Sn＝2an－1(n∈N*)， 所以当n＝1时，a1＝1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，得an＝2an－1， 所

10、以an＝2n－1，从而bn＝1＋log2an＝n. 故Tn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝. 答案： 12．(2019·衡水检测)已知a，b，c分别为△ABC三内角A，B，C的对边，其面积S＝，B＝60°，a2＋c2＝2b2.在等差数列{an}中，a1＝a，公差d＝b.数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn－2bn＋1＝0，n∈N*. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)若cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和为Sn. 解：(1)由S＝acsin 60°＝，得ac＝4. 根据余弦定理，b2＝a2＋c2－2accos 60°，且a2＋c2＝2b2， 所以b2＝2b2－4，则b

11、2＝4， 从而得a＝b＝c＝2， 所以数列{an}的通项an＝2＋2(n－1)＝2n. 又Tn－2bn＋1＝0，n∈N*， 当n＝1时，b1－2b1＋1＝0，b1＝1. 当n≥2时，Tn－1－2bn－1＋1＝0，所以bn＝2bn－1. 则{bn}是公比为2，首项b1＝1的等比数列． 所以bn＝2n－1. (2)cn＝anbn＝n·2n， Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)2n－1＋n·2n， 2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)2n＋n·2n＋1. 两式相减得－Sn＝21＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1， 所以Sn＝(n－1)2n＋1＋2.