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1、第三单元第三单元函数函数第9 9讲平面直角坐标系与函数的概念考点一考点二考点三考点一考点一平面直角坐标系内点的坐标平面直角坐标系内点的坐标1.有序实数对有顺序的两个数a与b组成的数对,叫做有序实数对,记作(a,b).在建立平面直角坐标系后,平面上的点与有序实数对是一一对应.点P(a,b)到x轴的距离为|b|,到y轴的距离为|a|,到原点的距离为2.平面直角坐标系为了用有序实数对表示平面内的一个点,可以在平面内画两条互相垂直的数轴,其中一条叫横轴(x轴),另一条叫纵轴(y轴),它们的交点O是这两条数轴的原点,这样建立的两条数轴构成平面直角坐标系.考点一考点二考点三3.平面直角坐标系中点的坐标特征
2、 考点一考点二考点三考点二考点二函数及自变量的取值范围函数及自变量的取值范围1.函数的相关概念(1)变量:取值会发生变化的量称为变量.(2)常量:取值固定不变的量称为常量.(3)函数:一般地,设在一个变化过程中存在两个变量x,y,如果对于x在它允许取值范围内的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数.(4)函数值:如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.考点一考点二考点三2.自变量的取值范围 考点一考点二考点三考点三考点三函数的表示方法及其图象函数的表示方法及其图象1.三种表示法列表法、表达式法、图象法,在解决一些与函数有关的问题时,有时可以
3、同时用两种或两种以上的方法来表示函数.2.图象的画法概括为列表、描点、连线三步,通常称为描点法.考点一考点二考点三3.图象性质一般地,函数图象上升线表示因变量随自变量取值的增加而增加,下降线表示因变量随自变量取值的增加而减少,水平线表示因变量不随自变量取值的增加而发生变化.上升线倾斜程度越小表示随自变量的增加因变量的取值增加的越慢;上升线倾斜程度越大表示随自变量的增加因变量的取值增加的越快;下降线倾斜程度越小表示随自变量的增加因变量的取值减少的越慢;下降线倾斜程度越大表示随自变量的增加因变量的取值减少的越快.命题点1命题点2命题点1函数图象的判别1.(2016安徽,9,4分)一段笔直的公路AC
4、长20千米,途中有一处休息点B,AB长15千米,甲、乙两名长跑爱好者同时从点A出发,甲以15千米/时的速度匀速跑至点B,原地休息半小时后,再以10千米/时的速度匀速跑至终点C;乙以12千米/时的速度匀速跑至终点C,下列选项中,能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程y(千米)与时间x(时)函数关系的图象是( A )命题点1命题点2命题点1命题点2解析 由题意,甲走了1小时到了B地,在B地休息了半个小时,用2小时正好走到C地,乙走了 小时到了C地,在C地休息了 小时.由此可知正确的图象是A.故选A.命题点1命题点2命题点2点的坐标与图形变换2.(2013安徽,18,8分)我们把正六边形的顶点及
5、其对称中心称作如图1所示基本图的特征点,显然这样的基本图共有7个特征点,将此基本图不断复制并平移,使得相邻两个基本图的一边重合,这样得到图2,图3,命题点1命题点2(1)观察以上图形并完成下表:猜想:在图n中,特征点的个数为5n+2(用n表示).(2)如图,将图n放在直角坐标系中,设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为(x1,2),则x1= ;图2 013的对称中心的横坐标为 .命题点1命题点2解析 (1)由题意,可知图1中特征点有7个;图2中特征点有12个,12=7+51;图3中特征点有17个,17=7+52;所以图4中特征点有7+53=22(个).由以上猜想在图n中,特征点的个数为7+5
6、(n-1)=5n+2.命题点1命题点2(2)如图,过点O1作O1My轴于点M. 考法1考法2考法3考法考法1平面直角坐标系内点的坐标特征平面直角坐标系内点的坐标特征例1(2017贵州贵港)在平面直角坐标系中,点P(m-3,4-2m)不可能在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:A解析:分点P的横坐标是正数和负数两种情况讨论求解.m-30,即m3时,-2m-6,4-2m-2,所以点P(m-3,4-2m)在第四象限,不可能在第一象限;m-30,即m-6,4-2m-2,点P(m-3,4-2m)可能在第二或三象限.综上所述,点P不可能在第一象限.考法1考法2考法3对应训练1.(2
7、017江苏南京一模)在平面直角坐标系中,点P(-2,x2+1)所在的象限是(B)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析: x20,x2+11,点P(-2,x2+1)在第二象限.考法1考法2考法32.(2017湖南邵阳)如图所示,三架飞机P,Q,R保持编队飞行,某时刻在坐标系中的坐标分别为(-1,1),(-3,1),(-1,-1),30秒后,飞机P飞到P(4,3)位置,则飞机Q,R的位置Q,R分别为 (A)A.Q(2,3),R(4,1)B.Q(2,3),R(2,1)C.Q(2,2),R(4,1)D.Q(3,3),R(3,1)考法1考法2考法3解析: 由点P(-1,1)到P(4,3)
8、知,编队需向右平移5个单位长度、向上平移2个单位长度,点Q(-3,1)的对应点Q坐标为(2,3),点R(-1,-1)的对应点R(4,1).考法1考法2考法3考法考法2自变量的取值范围自变量的取值范围例2(2017四川内江)在函数y= 中,自变量x的取值范围是.答案:x2且x3解析:根据“分式有意义”可得x-30,即x3,根据“二次根式的意义”,可得x-20,即x2,所以自变量x的取值范围是x2且x3.考法1考法2考法3对应训练3.(2017贵州六盘水)使函数y= 有意义的自变量的取值范围是(C)A.x3 B.x0C.x3D.x3解析: 函数y= 有意义,3-x0.x3.解析: 由分母不为0分式
9、有意义,得x-70,解得x7. 考法1考法2考法3考法考法3函数图形的应用函数图形的应用例3(2017山东济宁)如图,A,B是半径为1的O上两点,且OAOB.点P从A出发,在O上以每秒一个单位长度的速度匀速运动,回到点A运动结束.设运动时间为x,弦BP的长度为y,那么下面图象中可能表示y与x的函数关系的是()考法1考法2考法3A.B.C.或D.或答案:D解析:根据“直径是圆中最长的弦”,点P从A出发,在O上以每秒一个单位长度的速度匀速运动,回到点A运动结束,分两种情况:点P顺时针运动时,BP长先变大再变小直至0再变大选;点P逆时针运动时,BP长先变小直至0再变大再变小选.方法总结此类考题一般根
10、据题目描述,确定函数的函数值在每段函数图象上增减情况或变化的快慢.(1)当函数值随自变量增大而增大时图象是呈现上升趋势,反之下降;(2)当自变量变大而函数值不变时,对应图象与横轴平行,当自变量不变而函数值变化时,对应图象用铅垂线段表示.考法1考法2考法3对应训练5.(2017浙江丽水)在同一条道路上,甲车从A地到B地,乙车从B地到A地,乙先出发,图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y(千米)与行驶时间x(小时)的函数关系图象.下列说法错误的是(D)A.乙先出发的时间为0.5小时B.甲的速度是80千米/小时C.甲出发0.5小时后两车相遇D.甲到B地比乙到A地早 小时解析: 由图象可知乙先出发0.
11、5小时后两车相距70千米,即乙的速度是60千米/小时,所以乙从B地出发到达A地所用时间为10060=1 (小时),由函数图象知此时两车相距不到100千米,即乙到达A地时甲还没有到达B地(甲到B地比乙到A地迟),故选项D中说法错误.考法1考法2考法36.(2017浙江绍兴)均匀地向一个容器注水,最后把容器注满,在注水过程中,水面高度h随时间t的变化规律如图所示(图中OABC为折线),这个容器的形状可以是(D)解析: 根据V=Sh,注水量V一定,h与S成反比,底面积S越大,h越小,结合函数图象的走势是稍陡,平,陡,可知高度上升相应的中、慢、快,故所给容器的底面积为中、大、小,故选D.考法1考法2考法37.(2017四川凉山)小明和哥哥从家里出发去买书,从家出发走了20分钟到一个离家1 000米的书店.小明买了书后随即按原路返回;哥哥看了20分钟书后,用15分钟返家.下面的图象中表示哥哥离家时间与距离之间的关系的是(D)考法1考法2考法3解析: 根据题意,从20分钟到40分钟哥哥在书店里看书,离家距离没有变化,图象是一条平行于x轴的线段.故选D.
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