2016年四川省绵阳市南山中学实验学校高三（下）4月月考数学试卷（理科）（补习班）解析版

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1、 2015-2016学年四川省绵阳市南山中学实验学校高三（下）4月月考数学试卷（理科）（补习班） 　 一．选择题：每小题5分，共50分． 1．（5分）（2016春•绵阳校级月考）已知集合M={x|x2+x﹣2＜0}，N={x|log2x＜1}，则M∩N=（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣1，2） C．（0，1） D．（1，2） 2．（5分）（2016•商丘三模）若复数z=（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，则a=（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 3．（5分）（2016•绵阳校级模拟）下列说法中正确的是（　　） A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数

2、”的充要条件 B．“若，则”的否命题是“若，则 C．若，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0 D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题 4．（5分）（2015•资阳三模）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A．f（x）的图象关于直线对称 B．f（x）的图象关于点对称 C．若方程f（x）=m在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 D．将函数的图象向左平移个单位得到函数f（x）的图象 5．（5分）（2016•冀州市校级模拟）我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损法的思路与图相似．执行该程序框图，若输入

3、的a，b分别为14，18，则输出的a=（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（5分）（2016•漳平市校级模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） A．+ B．1+ C． D．1 7．（5分）（2014秋•湖北期中）已知二次函数f（x）=x2+mx+n（m、n∈R）的两个零点分别在（0，1）与（1，2）内，则（m+1）2+（n﹣2）2的取值范围是（　　） A． B． C．[2，5] D．（2，5） 8．（5分）（2011•天心区校级模拟）过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率e等于（　　） A． B．

4、C． D． 9．（5分）（2016•晋中模拟）一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为（　　） A． B． C． D． 10．（5分）（2016•河南二模）已知函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值f（x）的极小值恒大于0，则a的最小值为（　　） A．﹣e3 B．﹣e2 C．﹣e D．﹣ 　 二.填空题：每小题5分，共25分． 11．（5分）（2015•安庆校级模拟）二项式的展开式中常数项为　　． 12．（5分）（2016春•湛江校级月考）已知函数，

5、其导函数记为f′（x），则f（2016）+f（﹣2016）+f′（2016）﹣f′（﹣2016）的值为　　． 13．（5分）（2016春•绵阳校级月考）若直线l：y=kx+1被圆C：x2+y2﹣2x﹣3=0截得的弦最短，则直线l的方程是　　． 14．（5分）（2015春•湖北校级期末）设正实数x，y，z满足x2﹣xy+4y2﹣z=0．则当取得最小值时，x+4y﹣z的最大值为　　． 15．（5分）（2015秋•梅州校级期末）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F分别为AB、BC的中点．点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示），若=λ+μ，

6、其中λ，μ∈R．则2λ﹣μ的取值范围是　　． 　 三．解答题：16，17，18，19每小题12分，20题13分，21题14分，共75分． 16．（12分）（2016•张掖模拟）设函数f（x）=sin2x﹣cos2（x+）． （1）若x∈（0，π），求f（x）的单调递增区间； （2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，b=1，求△ABC面积的最大值． 17．（12分）（2014•正定县校级三模）已知数列{an}是等差数列，a2=6，a5=12；数列{bn}的前n项和是Sn，且Sn+bn=1． （1）求数列{an}和{bn}通项公式； （2）记c

7、n=，数列{cn}的前n项和为Tn，若Tn＜对一切n∈N*都成立，求最小正整数m． 18．（12分）（2016•银川校级一模）自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据： 产假安排（单位：周） 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数 4 8 16 20 26 （1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14

8、周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？ （2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择． ①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率； ②如果用ξ表示两种方案休假周数和．求随机变量ξ的分布及期望． 19．（12分）（2016•安徽一模）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形EFBD为等腰梯形，EF∥BD，EF=BD，平面EFBD⊥平面ABCD． （Ⅰ）证明：DE∥平面ACF； （Ⅱ）若梯形EFBD的面积为3，求二面角A﹣BF﹣D的余弦值． 20．（13分）（2014•潍坊模拟）已

9、知F1，F2是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的上、下焦点，F1是抛物线C2：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|= （1）求椭圆C1的方程； （2）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=k（x+t），kt≠0交椭圆C于A，B两点，若椭圆C上一点P满足+=λ，求实数λ的取值范围． 21．（14分）（2015•河北区二模）设函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值； （3）若方程f（x）=c有两个不相等的实数根x1，x2，求证：． 　 2015-20

10、16学年四川省绵阳市南山中学实验学校高三（下）4月月考数学试卷（理科）（补习班） 参考答案与试题解析 　 一．选择题：每小题5分，共50分． 1．（5分）（2016春•绵阳校级月考）已知集合M={x|x2+x﹣2＜0}，N={x|log2x＜1}，则M∩N=（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣1，2） C．（0，1） D．（1，2） 【分析】利用交集的性质和不等式的性质求解． 【解答】解：集合M={x|x2+x﹣2＜0}=（﹣2，1），N={x|log2x＜1}=（0，2）， 则M∩N=（0，1）， 故选：C． 【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不

11、等式性质的合理运用． 　 2．（5分）（2016•商丘三模）若复数z=（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，则a=（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【分析】化简复数为a+bi的形式，利用复数的实部与虚部相等，求解a即可． 【解答】解：复数z===． 由条件复数z=（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，得，18﹣a=3a+6， 解得a=3． 故选：A． 【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力． 　 3．（5分）（2016•绵阳校级模拟）下列说法中正确的是（　　） A．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件 B．“若

12、，则”的否命题是“若，则 C．若，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0 D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题 【分析】A．根据充分条件和必要条件的定义进行判断 B．根据否命题的定义进行判断 C．根据含有量词的命题的否定进行判断 D．根据复合命题之间的关系进行判断 【解答】解：A．若f（x）=x2，满足f（0）=0，但函数f（x）不是奇函数，若f（x）=，满足函数f（x）是奇函数，但f（0）不存在，即“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的既不充分也不必要条件，故A错误， B．“若，则”的否命题是“若，则，正确，故B正确， C．命题的否定￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0，

13、故C错误， D．若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故D错误， 故选：B 【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及充分条件和必要条件，四种命题的关系，含有量词的命题的否定以及复合命题真假关系，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大． 　 4．（5分）（2015•资阳三模）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A．f（x）的图象关于直线对称 B．f（x）的图象关于点对称 C．若方程f（x）=m在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 D．将函数的图象向左平移个单位得到函数f（x）的图象 【

14、分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，结合图象，可得结论． 【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象可得A=2， ==﹣，求得ω=2， 再根据五点法作图可得2×+φ=π，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x+）， 在上，2x+∈[﹣，]， 当实数m的取值范围是时，函数f（x）的图象和直线y=m有2个交点， 故选：C． 【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题． 　 5．（5分）（2016•冀州市校级模拟）我国古代数学名著

15、《九章算术》中的更相减损法的思路与图相似．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论． 【解答】解：由a=14，b=18，a＜b， 则b变为18﹣14=4， 由a＞b，则a变为14﹣4=10， 由a＞b，则a变为10﹣4=6， 由a＞b，则a变为6﹣4=2， 由a＜b，则b变为4﹣2=2， 由a=b=2， 则输出的a=2． 故选：A． 【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题

16、． 　 6．（5分）（2016•漳平市校级模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） A．+ B．1+ C． D．1 【分析】根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，分别求出它们的体积，相加可得答案． 【解答】解：根据已知可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体， 四分之一圆锥的底面半径为1，高为1，故体积为：=， 三棱柱的底面是两直角边分别为1和2的直角三角形，高为1，故体积为：×1×2×1=1， 故组合体的体积V=1+， 故选：B 【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据三视图判断出几何体的形状是解答的关键．

17、 　 7．（5分）（2014秋•湖北期中）已知二次函数f（x）=x2+mx+n（m、n∈R）的两个零点分别在（0，1）与（1，2）内，则（m+1）2+（n﹣2）2的取值范围是（　　） A． B． C．[2，5] D．（2，5） 【分析】由条件可得，，化简得到关于m，n的不等式组，在平面直角坐标系中，作出不等式组表示的区域， 再由（m+1）2+（n﹣2）2表示的几何意义是点（﹣1，2）到区域内的点的距离的平方，由图象观察，即可得到取值范围． 【解答】解：由于二次函数f（x）=x2+mx+n（m、n∈R）的两个零点 分别在（0，1）与（1，2）内， 则即有， 在平面直角坐标系中，作

18、出不等式组表示的区域， 而（m+1）2+（n﹣2）2表示的几何意义是点（﹣1，2） 到区域内的点的距离的平方， 求得点（﹣1，2）到直线m+n+1=0的距离为 =， 点（﹣1，2）到点（﹣2，0）的距离为， 故（m+1）2+（n﹣2）2的取值范围是（2，5）． 故选D． 【点评】本题考查二次函数与二次方程的关系，考查二元不等式表示的平面区域，考查两点的距离和点到直线的距离公式的运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题． 　 8．（5分）（2011•天心区校级模拟）过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率e等于（　　） A． B

19、． C． D． 【分析】根据由题设条件可知，|F1F2|=2c，由此可以求出双曲线的离心率e． 【解答】解：由题意可知，|F1F2|=2c， ∵∠， ∴， ∴4a2c2=b4=（c2﹣a2）2=c4﹣2a2c2+a4， 整理得e4﹣6e2+1=0， 解得或（舍去） 故选C． 【点评】本题考查双曲线的离心率，解题要注意时双曲线的离心率大于1． 　 9．（5分）（2016•晋中模拟）一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】恰好取5次

20、球时停止取球，分两种情况3，1，1及2，2，1，这两种情况是互斥的，利用等可能事件的概率计算每一种情况的概率，再根据互斥事件的概率得到结果． 【解答】解：分两种情况3，1，1及2，2，1 这两种情况是互斥的，下面计算每一种情况的概率， 当取球的个数是3，1，1时， 试验发生包含的事件是35， 满足条件的事件数是C31C43C21 ∴这种结果发生的概率是= 同理求得第二种结果的概率是 根据互斥事件的概率公式得到P= 故选B 【点评】本题是一个等可能事件的概率问题，考查互斥事件的概率，这种问题在高考时可以作为文科的一道解答题，要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举

21、出所有事件． 　 10．（5分）（2016•河南二模）已知函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值f（x）的极小值恒大于0，则a的最小值为（　　） A．﹣e3 B．﹣e2 C．﹣e D．﹣ 【分析】求函数的导数，根据函数存在极小值等价为f′（x）=﹣x+b=0有解，转化为一元二次方程，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系进行转化求解即可． 【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）， 则函数的导数f′（x）=﹣x+b， 若函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值， 则f′（x）=﹣x+b=0有解， 即﹣x2+bx+a=0有两个不等的正根， 则，

22、得b＞2，（a＜0）， 由f′（x）=0得x1=，x2=， 分析易得f（x）的极小值点为x1， ∵b＞2，（a＜0）， ∴x1==∈（0，）， 则f（x）极小值=f（x1）=alnx1﹣x12+bx1=alnx1﹣x12+x12﹣a=alnx1+x12﹣a， 设g（x）=alnx+x2﹣a，x∈（0，）， f（x）的极小值恒大于0等价为g（x）恒大于0， ∵g′（x）=+x=＜0， ∴g（x）在（0，）上单调递减， 故g（x）＞g（）=aln﹣a≥0， 得ln≤，即﹣a≤e3，则a≥﹣e3， 故a的最小值为是﹣e3， 故选：A 【点评】本题主要考查函数极值的应用，求

23、函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系转化为一元二次方程根的与判别式△之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度极大． 　 二.填空题：每小题5分，共25分． 11．（5分）（2015•安庆校级模拟）二项式的展开式中常数项为　　． 【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项． 【解答】解：展开式的通项是= 令解得r=6 故展开式的常数项为=7 故答案为7 【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具． 　 12．（5分）（2016春•湛江校级月考）已知函数，其导函数记为f′（x），则f（2016）+f（﹣2016）

24、+f′（2016）﹣f′（﹣2016）的值为　　． 【分析】利用导数的公式和导数的运算法，探究一下之间的关系，即可得到结论． 【解答】解：函数，则f（﹣x）=﹣sinx； f′（x）=+cosx， cosx， ∵f′（x）﹣f′（﹣x）=0，f（x）+f（﹣x）=2． ∴f（2016）+f（﹣2016）+f′（2016）﹣f′（﹣2016）=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了导数的公式的运用，简单复合函数求导的能力，同时要求有一定的化简能力和计算能力．探究其之间的关系．属于中档题． 　 13．（5分）（2016春•绵阳校级月考）若直线l：y=kx+1被圆C：x2+y2

25、﹣2x﹣3=0截得的弦最短，则直线l的方程是　　． 【分析】直线过定点（0，1），截得的弦最短，圆心和弦垂直，求得斜率可解得直线方程． 【解答】解：直线l是直线系，它过定点（0，1），要使直线l：y=kx+1被圆C：x2+y2﹣2x﹣3=0截得的弦最短， 必须圆心（1，0）和定点（0，1）的连线与弦所在直线垂直； 连线的斜率﹣1，弦所在直线斜率是1． 则直线l的方程是：y﹣1=x， 故答案为：x﹣y+1=0． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的一般方程求圆心，是基础题． 　 14．（5分）（2015春•湖北校级期末）设正实数x，y，z满足x2﹣xy+4y2﹣z=0．则当

26、取得最小值时，x+4y﹣z的最大值为　　． 【分析】将z=x2﹣xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可得到当取得最小值时的条件，用x，z表示y后利用配方法求得x+2y﹣z的最大值． 【解答】解：∵x2﹣xy+4y2﹣z=0， ∴z=x2﹣xy+4y2，又x，y，z为正实数， ∴=+﹣1≥2﹣1=3（当且仅当x=2y时取“=”）， 当且仅当=，即x=2y（y＞0）时取等号， 此时x+4y﹣z=2y+4y﹣（x2﹣xy+4y2）=6y﹣6y2 =﹣6（y﹣）2+≤． ∴x+4y﹣z的最大值为． 故答案为： 【点评】本题考查基本不等式，根据条件求得取得最小值时x=2y是关键，考

27、查配方法求最值，属于中档题． 　 15．（5分）（2015秋•梅州校级期末）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F分别为AB、BC的中点．点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示），若=λ+μ，其中λ，μ∈R．则2λ﹣μ的取值范围是　　． 【分析】建立如图所示的坐标系，则A（0，0），E（1，0），D（0，1），F（1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），λ，μ用参数进行表示，利用辅助角公式化简，即可得出结论． 【解答】解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0），E（1，0），D（0，1），F（1.5，0.5）

28、，P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°）， ∵=λ+μ， ∴（cosα，sinα）=λ（﹣1，1）+μ（1.5，0.5）， ∴cosα=﹣λ+1.5μ，sinα=λ+0.5μ， ∴λ=（3sinα﹣cosα），μ=（cosα+sinα）， ∴2λ﹣μ=sinα﹣cosα=sin（α﹣45°） ∵0°≤α≤90°， ∴﹣45°≤α﹣45°≤45°， ∴﹣≤sin（α﹣45°）≤， ∴﹣1≤sin（α﹣45°）≤1 ∴2λ﹣μ的取值范围是[﹣1，1]． 故答案为：[﹣1，1]． 【点评】本题考查平面向量知识的运用，考查学生的计算能力，正确利用坐标系是关键． 　

29、 三．解答题：16，17，18，19每小题12分，20题13分，21题14分，共75分． 16．（12分）（2016•张掖模拟）设函数f（x）=sin2x﹣cos2（x+）． （1）若x∈（0，π），求f（x）的单调递增区间； （2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，b=1，求△ABC面积的最大值． 【分析】（1）由三角恒等变换化简f（x），由此得到递增区间． （2）由等式得到，利用余弦定理及三角形面积公式即可． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，==， 由， 可解得：． 又因为x∈（0，π）， 所以f（x）的单调递增区间是和． （Ⅱ）由，可

30、得， 由题意知B为锐角，所以， 由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB， 可得：，即，且当a=c时等号成立， 因此， 所以△ABC面积的最大值为． 【点评】本题考查三角恒等变换，余弦定理及三角形面积公式． 　 17．（12分）（2014•正定县校级三模）已知数列{an}是等差数列，a2=6，a5=12；数列{bn}的前n项和是Sn，且Sn+bn=1． （1）求数列{an}和{bn}通项公式； （2）记cn=，数列{cn}的前n项和为Tn，若Tn＜对一切n∈N*都成立，求最小正整数m． 【分析】（1）设{}的公差为d，由已知条件利用等差数列的通项公式列出方程组求出首项和

31、公差，由此能求出数列{an}的通项公式；由已知条件推导出{}是以为首项，为公比的等比数列，由此能求出数列{bn}的通项公式． （2）由cn==，利用裂项求和法能求出最小正整数m． 【解答】解：（1）设{}的公差为d， 则，， ∵a2=6，a5=12， ∴，解得a1=4，d=2， ∴an=4+2（n﹣1）=2n+2． ∵数列{bn}的前n项和是Sn，且Sn+bn=1， ∴当n=1时，b1=S1， 由，得， 当n≥2时，∵，， ∴Sn﹣Sn﹣1=（bn﹣1﹣bn），即， ∴， ∴{}是以为首项，为公比的等比数列， ∴=． （2）∵=2•（）n， ∴cn=cn====

32、， ∴Tn=（1﹣）+（）+（）+…+（） =1﹣＜1， 由已知得， ∴m≥2014， ∴最小正整数m=2014．…（12分）． 【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查最小正整数的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用． 　 18．（12分）（2016•银川校级一模）自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据： 产

33、假安排（单位：周） 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数 4 8 16 20 26 （1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？ （2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择． ①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率； ②如果用ξ表示两种方案休假周数和．求随机变量ξ的分布及期望． 【分析】（1）由表中信息可知，利用等可能事件概率计算公式能求出当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率和当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率． （2）①设

34、“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有10种，由此利用列举法能求出其和不低于32周的概率． ②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）． 【解答】解：（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为； 当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为…（2分） （2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A， 由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选 法共有（种）， 其和不低于32周的选法有14、18、15、17、1

35、5、18、16、17、16、18、17、18，共6种， 由古典概型概率计算公式得…（6分） ②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35． ，， ， 因而ξ的分布列为 ξ 29 30 31 32 33 34 35 P 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 所以E（ξ）=29×0.1+30×0.1+31×0.2+32×0.2+33×0.2+34×0.1+35×0.1=32，…（12分） 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算

36、公式的合理运用． 　 19．（12分）（2016•安徽一模）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形EFBD为等腰梯形，EF∥BD，EF=BD，平面EFBD⊥平面ABCD． （Ⅰ）证明：DE∥平面ACF； （Ⅱ）若梯形EFBD的面积为3，求二面角A﹣BF﹣D的余弦值． 【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明DE∥平面ACF； （Ⅱ）若梯形EFBD的面积为3，根据二面角平面角的定义作出二面角的平面角，结合三角形的边角关系即可求二面角A﹣BF﹣D的余弦值． 【解答】解：（Ⅰ）设AC，BD的交点为O，则O为BD的中点，连接OF， 由EF∥BD，E

37、F=BD，得EF∥OD．EF=OD， 所以四边形EFOD为平行四边形，故ED∥OF，…（3分） 又EF⊄平面ACF，OF⊂平面ACF， 所以DE∥平面ACF． …（6分） （Ⅱ）方法一：因为平面EFBD⊥平面ABCD，交线为BD，AO⊥BD， 所以AO⊥平面EFBD，作OM⊥BF于M，连AM， ∵AO⊥平面BDEF，∴AO⊥BF，又OM∩AO=O， ∴BF⊥平面AOM，∴BF⊥AM， 故∠AMO为二面角A﹣BF﹣D的平面角．…（8分） 取EF中点P，连接OP，因为四边形EFBD为等腰梯形，故OP⊥BD， 因为=•OP=3， 所以OP=．由PF=，得BF=OF

38、==， 因为， 所以OM==，故AM==，…（10分） 所以cos=， 故二面角A﹣BF﹣D的余弦值为． …（12分） 【点评】本题主要考查线面平行的判定以及二面角的求解，利用二面角平面角的定义作出二面角的平面角是解决本题的关键．本题也可以建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大． 　 20．（13分）（2014•潍坊模拟）已知F1，F2是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的上、下焦点，F1是抛物线C2：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|= （1）求椭圆C1的方程； （2）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=k（x+t

39、），kt≠0交椭圆C于A，B两点，若椭圆C上一点P满足+=λ，求实数λ的取值范围． 【分析】（1）由C2：x2=4y，知F1（0，1），c=1，设M（x0，y0），x0＜0，由已知条件推导出，，由此能求出椭圆C1的方程． （2）由直线l：y=k（x+t），t≠0与圆x2+（y+1）2=1相切，求出k=，且t2≠1，联立y=k（x+t）与，得（4+3k2）x2+6k2tx+3k2t2﹣12=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出λ的取值范围． 【解答】解：（1）由C2：x2=4y，知F1（0，1），c=1，设M（x0，y0），x0＜0， ∵M在抛物线C2上，∴=4y0，① 又|MF

40、1|=，∴，② 由①②得，， ∵点M在椭圆上， ∴2a=|MF1|+|MF2|==4， ∴a=2，b2=4﹣1=3， ∴椭圆C1的方程为． （2）由直线l：y=k（x+t），t≠0与圆x2+（y+1）2=1相切， ∴，∵k≠0，∴k=，且t2≠1，③ 联立y=k（x+t）与， 消去y得（4+3k2）x2+6k2tx+3k2t2﹣12=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则， ， ∵， ∴P（，）， 又点P在椭圆C1上，∴， ∴，④ 由kt≠0， 把③代入④，得，又t≠0，t2≠1， ∴，且， ∴0＜λ2＜4，且， ∴λ的取值范围是（﹣2，﹣）∪（

41、，0）∪（0，）∪（）． 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用． 　 21．（14分）（2015•河北区二模）设函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值； （3）若方程f（x）=c有两个不相等的实数根x1，x2，求证：． 【分析】（1）对a分类讨论，利用导数与函数单调性的关系即可得出； （2）由（1）可得，若函数f（x）有两个零点，则a＞0，且f（x）的最小值，即．可化为h（a）=．利用单调性判断其零点所处的最小区间即可

42、得出； （3））由x1，x2是方程f（x）=c得两个不等实数根，由（1）可知：a＞0．不妨设0＜x1＜x2．则，． 两式相减得+alnx2=0，化为a=．由，当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0．故只要证明即可，即证明，令换元，再利用导数即可证明． 【解答】解：（1）x∈（0，+∞）． ==． 当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞0上单调递增，即f（x）的单调递增区间为（0，+∞）． 当a＞0时，由f′（x）＞0得；由f′（x）＜0，解得． 所以函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）由（1）可得，若函数f（x）有两个零点，则a＞0，且f（x

43、）的最小值，即． ∵a＞0，∴． 令h（a）=a+﹣4，可知h（a）在（0，+∞）上为增函数，且h（2）=﹣2，h（3）==， 所以存在零点h（a0）=0，a0∈（2，3）， 当a＞a0时，h（a）＞0；当0＜a＜a0时，h（a）＜0． 所以满足条件的最小正整数a=3． 又当a=3时，f（3）=3（2﹣ln3）＞0，f（1）=0，∴a=3时，f（x）由两个零点． 综上所述，满足条件的最小正整数a的值为3． （3）∵x1，x2是方程f（x）=c得两个不等实数根，由（1）可知：a＞0． 不妨设0＜x1＜x2．则，． 两式相减得+alnx2=0， 化为a=． ∵，当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0． 故只要证明即可， 即证明x1+x2＞，即证明， 设，令g（t）=lnt﹣，则=． ∵1＞t＞0，∴g′（t）＞0 ．∴g（t）在（0，1）上是增函数，又在t=1处连续且g（1）=0， ∴当t∈（0，1）时，g（t）＜0总成立．故命题得证． 【点评】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值等基础知识，及其分类讨论思想方法、等价转化方法、换元法等基本技能与方法．