【创新设计】高考数学 北师大版一轮训练：第10篇 基础回扣练推理证明、算法、复数

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1、 基础回扣练——推理证明、算法、复数 (建议用时：60分钟) 一、选择题 1．(20xx·北京卷)在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于 (　　)． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　因为i(2－i)＝1＋2i，所以对应的点的坐标为(1,2)，该点在第一象限． 答案　A 2．(20xx·辽宁卷)复数z＝的模为 (　　)． A. B．　　 C. D．2 解析　z＝＝＝－－i， ∴|z|＝＝. 答案　B 3．(20xx·宝鸡模拟)若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋，则a＋b＝(　　)． A．0 B．1　　 C．

2、2 D．－2 解析　由已知得ai＋i2＝b＋(2＋i)， 即－1＋ai＝(b＋2)＋i，∴∴ ∴a＋b＝1－3＝－2. 答案　D 4．(20xx·景德镇模拟)已知复数z的实部为1，且|z|＝2，则复数z的虚部是(　　)． A．－ B．i　　 C．±i D．± 解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知a＝1， ∴1＋b2＝4，∴b2＝3，∴b＝±. 答案　D 5．(20xx·青岛一模)某算法框图如图所示，若a＝3，则该程序运行后，输出的x值为 (　　)． A．15 B．31　　 C．62 D．63 解析　第一次循环：x＝2×3＋1＝7，n＝2； 第二次循环

3、：x＝2×7＋1＝15，n＝3； 第三次循环：x＝2×15＋1＝31，n＝4. 此时不满足条件，输出x＝31. 答案　B 6．(20xx·南充月考)执行如图所示的算法框图，则输出n的值为(　　)． A．6 B．5　　 C．4 D．3 解析　第一次循环，n＝1，S＝1＋2＝3；第二次循环，n＝2，S＝2×3＋2＝8；第三次循环，n＝3，S＝3×8＋2＝26；第四次循环，n＝4，S＝4×26＋2＝106，此时满足条件，输出n＝4. 答案　C 7.(20xx·绍兴模拟)已知某算法框图如图所示，当输入的x的值为5时，输出的y的值恰好是，则在空白的赋值框处应填入的关系式可以是 (　

4、　)． A．y＝x3 B．y＝x C．y＝3x D．y＝3－x 解析　由程序框图可知，当输入的x的值为5时， 第一次运行，x＝5－2＝3； 第二次运行， x＝3－2＝1； 第三次运行，x＝1－2＝－1， 此时x≤0，退出循环，要使输出的y的值为，只有C中的函数y＝3x符合要求． 答案　C 8.(20xx·广元二诊)某算法的算法框图如图所示，如果输出的结果为5,57，则判断框内应为 (　　)． A．k≤6？ B．k＞4? C．k＞5？ D．k≤5? 解析　当k＝1时，S＝2×0＋1＝1；当k＝2时，S＝2×1＋2＝4；当k＝3时，S＝2×4＋3＝11；当k＝4时

5、，S＝2×11＋4＝26；当k＝5时，S＝2×26＋5＝57，由题意知此时退出循环，因而选B. 答案　B 9．(20xx·福州质检)将正奇数1,3,5,7，…排成五列(如下表)，按此表的排列规律，89所在的位置是 (　　)． A．第一列 B．第二列 C．第三列 D．第四列 解析　正奇数从小到大排，则89位居第45位，而45＝4×11＋1，故89位于第四列． 答案　D 10．(20xx·长沙模拟)我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推

6、广到立体几何中：在四面体O－ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为 (　　)． A．S2＝S＋S＋S B．S2＝＋＋ C．S＝S1＋S2＋S3 D．S＝＋＋ 解析　如图，作OD⊥BC于点D，连接AD，由立体几何知识知，AD⊥BC，从而S2＝2＝BC2·AD2＝BC2·(OA2＋OD2)＝(OB2＋OC2)·OA2＋ BC2·OD2＝2＋2＋2＝S＋S＋S. 答案　A 二、填空题 11．(20xx·九江模拟)已知i是虚数单位，

7、则＝________. 解析　＝1－i. 答案　1－i 12．(20xx·西安中学模拟)设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a＝________. 解析　＝＝＋i， 由题意知：＝0，∴a＝2. 答案　2 13．(20xx·浙江卷)若某算法框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于________． 解析　第一步：S＝1＋＝，k＝2； 第二步：S＝＋＝，k＝3； 第三步：S＝＋＝，k＝4； 第四步：S＝＋＝，k＝5， 结束循环．输出S＝. 答案　 14．(20xx·安康中学模拟)若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值为________． 解析　第一次：n

8、＝3×5＋1＝16，k＝1； 第二次：n＝＝8，k＝2； 第三次：n＝＝4，k＝3； 第四次：n＝＝2，k＝4； 第五次：n＝＝1，k＝5， 此时满足条件，输出k＝5. 答案　5 15．(20xx·陕西卷)观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 …… 照此规律，第n个等式可为________． 解析　观察规律可知，第n个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1. 答案　12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1 16．(20xx·兰州质检)在平面几何中有如下结

9、论：若正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体A－BCD的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝________. 解析　平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与球的半径的立方成正比，所以＝. 答案　 三、解答题 17．在单调递增数列{an}中，a1＝2，不等式(n＋1)an≥na2n对任意n∈N*都成立． (1)求a2的取值范围； (2)判断数列{an}能否为等比数列，并说明理由． 解　(1)因为{an}是单调递增数列，所以a2＞a1，即a2＞2. 又(n＋1)an≥na2n，令n＝1

10、，则有2a1≥a2，即a2≤4，所以a2∈(2,4]． (2)数列{an}不能为等比数列． 用反证法证明： 假设数列{an}是公比为q的等比数列，由a1＝2＞0，得an＝2qn－1. 因为数列{an}单调递增，所以q＞1. 因为(n＋1)an≥na2n对任意n∈N*都成立， 所以对任意n∈N*，都有1＋≥qn.① 因为q＞1，所以存在n0∈N*， 使得当n≥n0时，qn＞2. 因为1＋≤2(n∈N*)． 所以存在n0∈N*，使得当n≥n0时，qn＞1＋，与①矛盾，故假设不成立． 18．(20xx·福州质检)阅读下面材料： 根据两角和与差的正弦公式，有 sin(α＋β)

11、＝sin αcos β＋cos αsin β， ① sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β， ② 由①＋②得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β， ③ 令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝，β＝， 代入③得sin A＋sin B＝2sin cos. (1)类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cos A－cos B＝－2sinsin； (2)若△ABC的三个内角A，B，C满足cos 2A－cos 2B＝1－cos 2C，试判断△ABC的形状． (提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及(1)中的结论) 解　(1)因为cos

12、(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，① cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，② ①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sin αsin β.③ 令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝，β＝， 代入③得cos A－cos B＝－2sin sin. (2)由二倍角公式，cos 2A－cos 2B＝1－cos 2C可化为1－2sin2A－1＋2sin2B＝1－1＋2sin2C， 所以sin2A＋sin2C＝sin2B. 设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 由正弦定理可得a2＋c2＝b2. 根据勾股定理的逆定理知△ABC为直角三角形．