相似三角形常见模型(总结)

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1、精选优质文档-----倾情为你奉上 第一部分 相似三角形模型分析 一、 相似三角形判定的基本模型认识 （一）A字型、反A字型（斜A字型） （平行） （不平行） （二）8字型、反8字型 （蝴蝶型） （平行） （不平行） （三）母子型 （四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景 （五）一线三直角型：

2、（六） 双垂型： 二、 相似三角形判定的变化模型 旋转型：由A字型旋转得到。 8字型拓展 共享性 一线三等角的变形 一线三直角的变形 专心---专注---专业 第二部分 相似三角形典型例题讲解 母子型相似三角形 例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E． 求证：．

3、 A C D E B 例2：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上, ． 求证：（1）； （2）． 例3：已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F． 求证：． 相关练习： 1、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求

4、证：． 2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。 求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND=NC·NB 3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。 求证：EB·DF=AE·DB 4.在中，AB=AC，高AD与BE交于H，，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。 求证： 5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5

5、分） A C B P D E （第25题图） 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y． （1）求证：AE=2PE； （2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积． 双垂型 1、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高 求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；(3)BC=2E

6、D 2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE=6，求：点B到直线AC的距离。 共享型相似三角形 1、△ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,∠DAE=，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长. 2、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°． 求证：（1）△ABE∽△ACD； （2）． 一线三等角型相似三角形 C A D B E F 例1：如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠ED

7、F=60° （1）求证：△BDE∽△CFD （2）当BD=1，FC=3时，求BE 例2：（1）在中，，，点、分别在射线、上（点不与点、点重合），且保持. ①若点在线段上（如图），且，求线段的长； ②若，，求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域； A B C 备用图 A B C 备用图 A B C P Q A B C D （2） 正方形的边长为（如下图），点、分别在直线、上（点不与点、点重合），且保持.当时，求出线段的长. A B C D A B C D

8、 例3：已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2． C D A B P （1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A． ①求证；△ABP∽△DPC ②求AP的长． （2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么 ①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； ②当CE＝1时，写出AP的长． 例4：如图，在梯形中，∥，，．点为边

9、的中点，以为顶点作，射线交腰于点，射线交腰于点，联结． （1）求证：△∽△； （2）若△是以为腰的等腰三角形，求的长； （3）若，求的长． 相关练习： 1、如图，在△ABC中，，，是边上的一个动点，点在边上，且． A B C D E (1) 求证：△ABD∽△DCE； (2) 如果，，求与的函数解析式，并写出自变量的定义域； (3) 当点是的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由． 2、如图，已知在△ABC中， AB=AC=6，BC=5，D是AB 上一点，BD=2，E是BC 上一动点，联结DE，并作，射线EF交线段AC

10、于F． （1）求证：△DBE∽△ECF； （2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长； （3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长． 3、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC =6，AB=DC=4，点E是AB的中点． （1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD； （2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么 ①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=，DF=，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； E

11、 D C B A P （第25题图） ②当时，求BP的长． E D C B A （备用图） 4、如图，已知边长为的等边，点在边上，，点是射线上一动点，以线段为边向右侧作等边，直线交直线于点， （1）写出图中与相似的三角形； （2）证明其中一对三角形相似； （3）设，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； 备用图 （4）若，试求的面积．

12、 一线三直角型相似三角形 例1、已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作，交边AB于点E,设，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。 例2、在中，是AB上的一点，且，点P是AC上的一个动点，交线段BC于点Q，（不与点B,C重合），设，试求关于x的函数关系，并写出定义域。 【练习1】 在直角中，，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，交射线AC于点F （1）、求AC和BC的长 （2）、当时，求BE的长。 （3）、连结EF,当和相似时，求BE的长。

13、 【练习2】 在直角三角形ABC中，是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，（与A,C不重合），与射线BC相交于点F. (1)、当点D是边AB的中点时，求证： (2)、当，求的值 （3）、当，设,求y关于x的函数关系式，并写出定义域 【 练习4】]如图，在中，，，，是边的中点，为边上的一个动点，作，交射线于点．设，的面积为． （1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）如果以、、为顶点的三角形与相似，求的面积. 【 练习5】、（2015年黄浦一模25） 如图,在梯形中，, ，是腰上一个动点(不含点、),作交于点.(图1) (1)求的长与梯形的面积； (2)当时,求的长；(图2) Q P D C B A Q P D C B A (3)设,试求关于的函数解析式,并写出定义域. （图1） （图2）您好，欢迎您阅读我的文章，本WORD文档可编辑修改，也可以直接打印。阅读过后，希望您提出保贵的意见或建议。阅读和学习是一种非常好的习惯，坚持下去，让我们共同进步。