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1、
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平方数的规律及
100 以内的整数平方表
112=121
122=144
132=169
142=196
152=225
162=256
172=289
182=324
192=361
202=400
212=441
222=484
232=529
242=576
252=625
262=676
272=729
282=784
292=841
302=900
312=961
322=1024
332=1089
342=1156
352=1225
362=1296
372=1369
2、382=1444
392=1521
402=1600
412=1681
422=1764
432=1849
442=1936
452=2025
462=2116
472=2209
482=2304
492=2401
502=2500
512=2601
522=2704
532=2809
542=2916
552=3025
562=3136
572=3249
582=3364
592=3481
602=3600
612=3721
622=3844
632=3969
642=4096
652=4225
662=4356
3、672=4489
682=4624
692=4761
702=4900
712=5041
722=5184
732=5329
742=5476
752=5625
762=5776
772=5929
782=6084
792=6241
802=6400
812=6561
822=6724
832=6889
842=7056
852=7225
862=7396
872=7569
882=7744
892=7921
902=8100
912=8281
922=8464
932=8649
942=8836
952=9025
962=9216
4、972=9409
982=9604
992=9801
1002=10000
规律：
(1)完全平方数的个位数字只能是 0,1,4,5,6,9.(没有 2,3,7,8)两个整数的个位数字之和为 10，则它们的平方数的个位数字相同 .
(2)奇数的平方的个位数字是奇数，十位数字是偶数 .
(3)如果完全平方数的十位数字是奇数 ,则它的个位数字一定是 6；反之，如果完全平方数的个位数字是 6，则它的十位数字一定是奇数 .
(4)偶数的平方是 4 的倍数 ;奇数的平方是 4 的倍数加 1.
(5)奇数的平方是 8n+1 型;偶数的平方为 8n 或 8n+4
5、型 .
(6)完全平方数的形式必为下列两种之一 :3n,3n+1.
(7)不能被 5 整除的数的平方为 5n±1 型 ,能被 5 整除的数的平方为 5n 型 .
(8)平方数的形式具有下列形式 16n,16n+1,16n+4,16n+9.
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(9)完全平方数的各位数字之和的个位数字只能是
0,1,3,4,6,7,9.(没有 2,5,8)
(10)如果质数 p 能整除 a,但 p 的平方不能整除 a,则 a 不是完全平方数 .
(11)在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数 .
(12)
6、一个正整数 n 是完全平方数的充分必要条件是 n 有奇数个因数 (包括 1 和 n).
一个数如果是另一个整数的完全立方 （即一个整数的三次方 ,或整数乘以它本身乘以它本身）,那么我们就称这个数为完全立方数,也叫做立方数，如 0,1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000 等.
如果正整数 x,y,z满足不定方程 x2+y2=z2 ,就称 x,y,z为一组勾股数 .
.z 和 z2 必
x,y 必然是一个为奇数另一个为偶数，不可能同时为奇数或同时为偶数
定都是奇数 .
五组常见的勾股数：
32+42=52 ；
7、52+122=132 ；72+242=252 ；82+152=172 ；202+212=292 9+16=25；25+144=169； 49+576=625； 64+225=289； 400+441=841
记忆技巧：
(a+b)2= a2 + b2 + 2ab (a－b)2=a2 + b2 －2ab
| | | | | |
a× a b× b 2× a× b a× a b× b 2× a× b
例： 132=(10+3)2=102+32+2× 10× 3=100+9+60=169 882=(90-2)2=902+22－2×90×2=8100+4－36
8、0=7744
用处：
①训练计算能力，使计算更快更准确；
②估计某数的平方根所处的范围，
在判定某个较大的数 n 是不是质数时可以缩小
其可能因子的筛选范围 ,只需检查
3 到
之间的所有质数是不是
n 的因子即可，
超 过
的都不必检查了.例如，判定
2431 是否为质数，因为
492=2401<2431<2500=502,所以 49<
<50 ,2+4+3+1=10 不能被 3 整除 , 2341 的
个位既非 0 又非 5,故只需检查 7
到 47
之间的所有质数能否整除
2431 即可，而
53,59,61,67 等更大的质数都不用检查了，实际上
2431=11
17.
③增加对数字的熟悉程度，比如
162=256=28 ， 322=1024=210 ，
642=4096=212 ,另外一些特殊结构的数字应该牢记，如
882=7744,
112=121,222=484,(121 和 484 从左到右与从右到左看是一样的 )
122=144,212=441,132=169,312=961,(a 左右颠倒后 a2 也左右颠倒 ).
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