(完整版)拉普拉斯变换及其逆变换表

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1、 拉普拉斯变换及其反变换表 1. 表 A-1 拉氏变换的基本性质 1 齐次性 线性定理 叠加性 2 微分定理 一般形式 初始条件为 0 时  L [ af ( t )] aF ( s ) L [ f 1 ( t ) f 2 ( t )] F 1 ( s ) F 2 ( s ) L [ df ( t ) sF ( s

2、 ) f ( 0 ) dt ] d 2 f 2 ( t ) L [ dt ] s 2 F ( s ) sf ( 0 ) f （ 0 ） L d n f n ( t ) s n F ( s ) n s n kf ( k 1)(0) k dt 1 f ( k 1 ) ( t ) d k1

3、 f ( t ) dt k 1 L [ d n f n ( t ) ] s n F ( s ) dt 一般形式 3 积分定理  L[ f (t )dt] F (s) [ f (t )dt]t 0 s s 2 F (s) [ f (t)dt]t

4、 0 [ L[ f (t)( dt) ] s2 s2 共n个 n 共 n个 n F (s) 1 L[ f (t)(dt) ] [ s n k 1 s n k 1 共 n个  2 f (t )(dt) ]t 0 f (t)(dt)n ]t 0 初始条件为 0 时 4 延迟定理（或称 t 域平移定理） 5 衰减定理（或

5、称 s 域平移定理） 6 终值定理 7 初值定理 8 卷积定理  L[ f ( t)( dt) n ] F ( s) sn L[ f (t T )1(t T )] e Ts F ( s) L[ f (t )e at ] F ( s a) lim f ( t) lim sF ( s) t s 0 lim f (t ) lim sF (s) t 0 s t f1(t ) f2 ( )d ] t L[ L[ f1(t) f2 (t )

6、d ] F1 (s)F2 (s) 0 0 2．表 A-2 常用函数的拉氏变换和 z 变换表 序号 1 2 3 4 5 6 7  拉氏变换 F(s) 1 1 1 e Ts 1 s 1 2 s 1 3 s 1 sn 1 1 s a  时间函数 f(t) δ (t) T (t) (t nT ) n 0

7、 1(t ) t t 2 2 t n n! e at  Z 变换 F(z) 1 z z 1 z z 1 Tz (z 1)2 T 2 z(z 1) 2(z 1) 3 lim ( 1) n n z n ( aT ) a 0 n!

8、 a z e z aT z e aT 8 1 ( s a) 2  te  at Tze ( z e aT )2 aT 9 10 11 12 13 14 a s(s a) b a (s a)(s b) s2 2 s s2 2 (s a)2 2 s a (s a)2

9、 2 1  1 e at e at e bt sin t cos t e at sin t e at cos t  (1 e ) z (z 1)( z e aT ) z z z e aT z e bT z sin T z2 2zcos T 1 z( z cos T ) z2 2 zcos T 1 ze aT sin T z2 2ze aT cos

10、T e 2 aT z2 ze aT cos T z2 2ze aT cos T e 2 aT z 15  s (1 / T ) ln a  a t / T  z a 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设 F (s) 是 s 的有理真分式 F(s) B(s) bmsm bm 1sm 1 b1s b0 A(s) n n 1 （

11、 n m ） ans an 1s a1 s a0 式中系数 a ,a ,..., a ,a n ， b ,b , b m 1 ,b m 都是实常数； m, n 是正整数。按 0 1 n 1 0 1 代数定理可将 F ( s) 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① A(s) 0 无重根 这时， F(s)可展开为 n 个简单的部分分式之和的形式。 F(s) c1 c2 ci cn n ci

12、 s s2 s si i 1 s s1 s sn s si 式中， S1，S2， ，Sn是特征方程 A(s)＝0 的根。 ci 为待定常数，称为 F(s) 在 si 处的留数，可按下式计算： 或 ci limssi(s si )F(s) c B ( s ) i ( s ) A ss i 式中， A (s) 为

13、A(s) 对 s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（ F-1） 可求得原函数 n ci n f (t ) L 1 F (s) L 1 ci e si t i 1 s si i 1 ② A(s) 0 有重根 设 A(s) 0 有 r 重根 s1 ， F(s)可写为 F s B(s)

14、 (s s1 )r (s sr 1 ) (s sn ) cr cr 1 c1 cr 1 ci cn =(s s1 )r (s s1 )r 1 (s s1 ) s sr 1 s si s sn 式中， s1 为 F(s)的 r 重根， sr 1 ， , sn 为 F(s)的 n-r 个单根； 其中， cr 1 ， , cn 仍按式 (F-2)或(F-3)计算， cr ， cr 1 ， , c1 则按下式计算： cr limss1(s s1)r F(s) cr

15、 1 lim d [(s s1 )r F(s)] s dss1 ( j ) cr j 1 limss1 d ( j ) (s s1 r ) F( s) j! ds 1 d ( r 1 ) c1 (r limss1 ( r 1 ) (s s1 )r F(s) 1)! ds

16、 原函数 f (t) 为 f (t) L 1 F ( s) L 1 cr r cr 1 r 1 c1 cr 1 ci cn (s s1 ) (s s1 ) (s s1 ) s sr 1 s si s sn cr t c t c2 t c1 e i r 1ci e （F-6） r 1 r 1 r 2 s1 t n s t (r 1)! (r 2)!