高考数学大二轮刷题首选卷理数文档：第一部分 考点十六 直线与圆锥曲线综合问题

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1、 考点十六　直线与圆锥曲线综合问题 一、选择题 1．(2019·安徽芜湖模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，右焦点到一条渐近线的距离为，则此双曲线的焦距等于(　　) A． B．2 C．3 D．6 答案　B 解析　由题意得焦点F(c,0)到渐近线bx＋ay＝0的距离为d＝＝＝b，即b＝，又＝，c2＝a2＋b2，可解得c＝，∴该双曲线的焦距为2c＝2，故选B. 2．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．若抛物线y2＝4x的焦点为F，一平行于x轴的光线从

2、点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为(　　) A． B．－ C．± D．－ 答案　B 解析　由题意可设点A的坐标为(x0,1)，代入y2＝4x得12＝4x0，x0＝，又焦点F的坐标为(1,0)，所以kAB＝kAF＝＝－，故选B. 3．(2019·河南安阳二模)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，右顶点为A，直线x＝a与双曲线的一条渐近线的交点为B.若∠BFA＝30°，则双曲线的离心率为(　　) A． B． C．2 D．3 答案　C 解析　由题意可得A(a,0)，双曲线的渐近线方程为ay±bx＝0，不妨设B点为

3、直线x＝a与y＝x的交点，则B点的坐标为(a，b)，因为AB⊥FA，∠BFA＝30°，所以tan∠BFA＝＝＝＝，解得e＝2，故选C. 4．(2019·四川五校高三联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：4x－3y＝0与椭圆C相交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝6，点P到直线l的距离不小于，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AF′BF是平行四边形，可得6＝|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝2a，得a＝3，取P(0，b)，由点P

4、到直线l的距离不小于，可得≥，解得|b|≥2. 所以e＝＝≤ ＝，故选C. 5．已知圆O：x2＋y2＝4，从圆上任意一点P向y轴作垂线段PP1(P1在y轴上)，点M在直线PP1上，且向量＝2，则动点M的轨迹方程是(　　) A．4x2＋16y2＝1 B．16x2＋4y2＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 答案　D 解析　由题可知P是MP1的中点，设点M(x，y)，P(x0，y0)，P1(0，y0)，则又x＋y＝4，故2＋y2＝4，即＋＝1.故选D. 6．(2019·安徽皖南八校第三次联考)已知F是椭圆C：＋＝1的右焦点，P为椭圆C上一点，A(1,2)，则|PA|＋|PF|的最大值为(　　

5、) A．4＋ B．4 C．4＋ D．4 答案　D 解析　如图，设椭圆的左焦点为F′，则 |PF|＋|PF′|＝2，又F′(－1,0)， |AF′|＝ ＝2， ∴|PA|＋|PF|＝2＋|PA|－|PF′|，根据图形可以看出||PA|－|PF′||≤|AF′|，∴当P在线段AF′的延长线上时，|PA|－|PF′|最大，为|AF′|＝2， ∴|PA|＋|PF|的最大值为2＋2＝4，故选D. 7．已知抛物线y2＝4x上有10个不同的点，坐标分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，P10(x10，y10)，且横坐标x1，x2，x3，…，x10成等差数列，x2，x9为方程

6、x2－5x＋6＝0的两个根，抛物线的焦点为F，则|FP1|＋|FP2|＋…＋|FP10|的值为(　　) A．20 B．30 C．25 D．35 答案　D 解析　由x2，x9为方程x2－5x＋6＝0的两个根，可知x2＋x9＝5，x1＋x2＋…＋x10＝＝＝25，|FP1|＋|FP2|＋…＋|FP10|＝x1＋x2＋…＋x10＋10＝35. 8．已知抛物线y2＝x，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，且直线AB与x轴交于点(a,0)，若∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，则实数a的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，1] 答案　B

7、 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0>y2)，直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my＋a，由得y2－my－a＝0，则y1＋y2＝m，y1y2＝－a，又因为∠AOB为锐角，所以·＝x1x2＋y1y2＝(y1y2)2＋y1y2>0，因为y1y2<0，所以y1y2<－1，即a>1. 二、填空题 9．已知直角坐标系中A(－2,0)，B(2,0)，动点P满足|PA|＝|PB|，则点P的轨迹方程为________，轨迹为________． 答案　x2＋y2－12x＋4＝0　一个圆 解析　设动点P的坐标为(x，y)，因为|PA|＝|PB|， 所以＝， 整理得x2＋y

8、2－12x＋4＝0，轨迹为一个圆． 10．已知P为椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2是其左、右焦点，∠F1PF2取最大值时cos∠F1PF2＝，则椭圆的离心率为________． 答案　 解析　易知∠F1PF2取最大值时，点P为椭圆＋＝1与y轴的交点，由余弦定理及椭圆的定义得2a2－＝4c2，即a＝c，所以椭圆的离心率e＝＝. 11．已知抛物线Γ：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点P在Γ上且|PK|＝|PF|，则△PKF的面积为________． 答案　8 解析　由已知得，F(2,0)，K(－2,0)，过P作PM垂直于准线，M为垂足，则|PM|＝|PF|，又|P

9、K|＝|PF|，所以|PM|＝|MK|＝|PF|，所以PF⊥x轴，△PFK的高等于|PF|，不妨设P(m2,2m)(m>0)，则m2＋2＝4，解得m＝，故△PFK的面积S＝4×2××＝8. 12．(2019·山东潍坊三模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，左顶点为A，以F为圆心，|FA|为半径的圆交C的右支于M，N两点，且线段AM的垂直平分线经过点N，则C的离心率为________． 答案　 解析　由题意得A(－a,0)，F(c,0)，另一个焦点F′(－c,0)，由对称性知，|AM|＝|AN|，又因为线段AM的垂直平分线经过点N，则|AN|＝|MN|，可得△AMN是

10、正三角形，如图所示，连接MF，则|AF|＝|MF|＝a＋c，由图象的对称性可知，∠MAF＝∠NAF＝∠MAN＝30°，又因为△AMF是等腰三角形，则∠AFM＝120°，在△MFF′中，|FF′|2＋|FM|2－2|FF′||FM|cos120°＝|F′M|2＝(|FM|＋2a)2，即4c2＋(a＋c)2－2×2c(a＋c)×＝(3a＋c)2，整理得3c2－ac－4a2＝0，即(c＋a)·(3c－4a)＝0，则3c－4a＝0，故e＝＝. 三、解答题 13．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B. (1)证明：直线AB过定点；

11、(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积． 解　(1)证明：设D，A(x1，y1)，则x＝2y1. 因为y′＝x，所以切线DA的斜率为x1， 故＝x1. 整理得2tx1－2y1＋1＝0. 设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0. 故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0. 所以直线AB过定点. (2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋. 由 可得x2－2tx－1＝0. 于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1， y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1， |AB|＝|x1－x2| ＝×＝2(t2＋1)． 设

12、d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离， 则d1＝，d2＝. 因此，四边形ADBE的面积 S＝|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3) . 设M为线段AB的中点，则M. 因为⊥，而＝(t，t2－2)， 与向量(1，t)平行， 所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1. 当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4. 因此，四边形ADBE的面积为3或4. 14．(2019·湖北武汉5月模拟)如图，O为坐标原点，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距等于其长半轴长，M，N为椭圆C的上、下顶点，且|MN|＝2. (1)求椭圆C的方程； (2)过点P(0,1)作直线l交椭圆C

13、于异于M，N的A，B两点，直线AM，BN交于点T.求证：点T的纵坐标为定值3. 解　(1)由题意可知2c＝a,2b＝2， 又a2＝b2＋c2，则b＝，c＝1，a＝2， 故椭圆C的方程为＋＝1. (2)证明：由题意知直线l的斜率存在， 设其方程为y＝kx＋1， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2≠0)， 由得(4k2＋3)x2＋8kx－8＝0， 所以x1＋x2＝， x1x2＝，且x1＋x2＝kx1x2， 又lBN：y＝·x－，lAM：y＝·x＋， 由得＝·， 故＝· ＝， 整理得＝， 故y＝× ＝× ＝×＝3. 故点T的纵坐标为3. 一、选择

14、题 1．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点，过点F1作垂直于x轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，△ABF2是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　) A．(1,2) B．(1，) C．(1,5) D．(，＋∞) 答案　B 解析　利用双曲线的几何性质求解．由等腰△ABF2是锐角三角形可得∠AF2F1<45°，即|AF1|<|F1F2|，所以|AF1|＝<|F1F2|＝2c，所以b2＝c2－a2<4a2，离心率e＝<，又双曲线的离心率e>1，所以离心率e的取值范围是(1，)，故选B. 2．已知椭圆C：＋＝1，若直线l经过M(0,1)

15、，与椭圆交于A，B两点，且＝－，则直线l的方程为(　　) A．y＝±x＋1 B．y＝±x＋1 C．y＝±x＋1 D．y＝±x＋1 答案　B 解析　依题意，设直线l：y＝kx＋1，点A(x1，y1)，B(x2，y2)．则由消去y，整理得(9k2＋5)x2＋18kx－36＝0，Δ＝(18k)2＋4×36×(9k2＋5)>0，由此解得k＝±，即直线l的方程为y＝±x＋1，选B. 3．已知双曲线E：－＝1，直线l交双曲线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则l的方程为(　　) A．4x＋y－1＝0 B．2x＋y＝0 C．2x＋8y＋7＝0 D．x＋4y＋3＝0 答案　C 解析　依题

16、意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减得＝，即＝×.又线段AB的中点坐标是，因此x1＋x2＝2×＝1，y1＋y2＝(－1)×2＝－2，＝－，＝－，即直线AB的斜率为－，直线l的方程为y＋1＝－，即2x＋8y＋7＝0，选C. 4．双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线的离心率e的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　依题意，双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，且“右”区域由不等式组所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1<，即>，因此题中的双曲线的

17、离心率e＝∈，选B. 5．设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且∠PF1F2＝30°，则双曲线C的渐近线方程是(　　) A．x±y＝0 B．x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0 答案　A 解析　因为P为右支上一点，由双曲线的定义，可得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得，|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，且|F1F2|＝2c，又∠PF1F2＝30°，由余弦定理，可得cos30°＝＝＝.则有c2＋3a2＝2ac，即c＝a，则b＝＝a，则双曲线的渐近线方程为y＝±x

18、＝±x，故选A. 6．P是双曲线C：－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|＋|PQ|的最小值为(　　) A．1 B．2＋ C．4＋ D．2＋1 答案　D 解析　设F2是双曲线C的右焦点，因为|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＋|PQ|＝2＋|PF2|＋|PQ|，显然当F2，P，Q三点共线且P在F2，Q之间时，|PF2|＋|PQ|最小，且最小值为F2到直线l的距离．易知l的方程为y＝或y＝－，F2(，0)，可求得F2到l的距离为1，故|PF1|＋|PQ|的最小值为2＋1.选D. 7．(2019·五省名校联考

19、)在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　如图，连接BQ，则由椭圆的对称性易得∠PBF＝∠QBF，∠EAB＝∠EBA，所以∠EAB＝∠QBF，所以ME∥BQ，因为△PME∽△PQB，所以＝，因为△PBF∽△EBO，所以＝，从而有＝，又因为M是线段PF的中点，所以e＝＝＝＝，故选C. 8．已知抛物线x2＝8y，过点P(b,4)作该抛物线的切线PA，PB，切点为A，

20、B，若直线AB恒过定点，则该定点为(　　) A．(4,0) B．(3,2) C．(0，－4) D．(4,1) 答案　C 解析　设A，B的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，y＝，y′＝，PA，PB的方程分别为y－y1＝(x－x1)，y－y2＝(x－x2)，由y1＝，y2＝得y＝x－y1，y＝x－y2，因为切线PA，PB都过点P(b,4)， 所以4＝b－y1,4＝b－y2，故可知过A，B两点的直线方程为4＝x－y，当x＝0时，y＝－4，所以直线AB恒过点(0，－4)． 二、填空题 9．(2019·河北唐山一模)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，经过点M(－2,0)的直线交C于A

21、，B两点，若OA∥BF(O为坐标原点)，则|AB|＝________. 答案　 解析　如图，抛物线C：y2＝8x的焦点为F，经过点M(－2,0)的直线交C于A，B两点，由OA∥BF，得A是BM的中点，不妨设B(m，2)， 可得A，可得2m＝4(m－2)，解得m＝4，所以B(4,4)，A(1,2)，所以|AB|＝＝. 10．(2019·安徽合肥第二次教学质量检测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，且∠F1PF2＝，若F1关于∠F1PF2平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为________． 答案　 解析　∵F1关于∠F1P

22、F2平分线的对称点Q在椭圆C上，则|PF1|＝|PQ|，∵∠F1PQ＝60°， ∴△F1PQ为正三角形， ∴|F1Q|＝|F1P|， 又∵|F1Q|＋|F2Q|＝|F1P|＋|F2P|＝2a， ∴|F2Q|＝|F2P|， ∴PQ⊥x轴，设|PF2|＝t， 则|PF1|＝2t，|F1F2|＝t，即 即e＝＝＝. 11．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M与双曲线C的焦点不重合，点M关于F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在双曲线的右支上，若|AN|－|BN|＝12，则a＝________. 答案　3 解析　如图，设MN的中点为P.

23、 ∵F1为MA的中点，F2为MB的中点， ∴|AN|＝2|PF1|，|BN|＝2|PF2|， 又|AN|－|BN|＝12， ∴|PF1|－|PF2|＝6＝2a，∴a＝3. 12．已知M(－5,0)，N(5,0)是平面上的两点，若曲线C上至少存在一点P，使|PM|＝|PN|＋6，则称曲线C为“黄金曲线”．下列五条曲线： ①－＝1；②y2＝4x；③－＝1；④＋＝1；⑤x2＋y2－2x－3＝0. 其中为“黄金曲线”的是________(写出所有“黄金曲线”的序号)． 答案　②⑤ 解析　由已知得，点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长2a＝6的双曲线的右支， 可得b2＝c2－a2＝

24、52－32＝16.则双曲线的方程为－＝1(x>0)． 对于①，两方程联立，无解，则①错误； 对于②，解得x＝成立，②成立； 对于③，两方程联立，无解，则③错误； 对于④，两方程联立，无解，则④错误； 对于⑤，消去y整理得 25x2－18x－171＝0，必有一个正根，⑤成立． 故所有“黄金曲线”的序号为②⑤ 三、解答题 13．(2019·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点． (1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率； (2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．

25、 解　(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率为e＝＝－1. (2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当 |y|·2c＝16，·＝－1，＋＝1， 即c|y|＝16，① x2＋y2＝c2，② ＋＝1.③ 由②③及a2＝b2＋c2得y2＝. 又由①知y2＝，故b＝4. 由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)， 所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32， 故a≥4. 当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P. 所以

26、b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)． 14．(2019·湖北四地七校期末)已知点F(0,1)，点A(x，y)(y≥0)为曲线C上的动点，过A作x轴的垂线，垂足为B，满足|AF|＝|AB|＋1. (1)求曲线C的方程； (2)直线l与曲线C交于两不同点P，Q(非原点)，过P，Q两点分别作曲线C的切线，两切线的交点为M.设线段PQ的中点为N，若|FM|＝|FN|，求直线l的斜率． 解　(1)由|AF|＝|AB|＋1得＝|y|＋1， 化简得曲线C的方程为x2＝4y. (2)由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b， 联立x2＝4y得x2－4kx－4b＝0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b， 设N(xN，yN)，则xN＝＝2k，yN＝2k2＋b， 又曲线C的方程为x2＝4y，即y＝，y′＝， 所以过P点的切线斜率为， 切线方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝x－x， 同理，过Q点的切线方程为y＝x－x， 联立两切线方程可得 xM＝＝2k，yM＝x1x2＝－b，所以xM＝xN， 又因为|FM|＝|FN|，所以MN中点纵坐标为1， 即2k2＋b－b＝2，即k2＝1，所以k＝±1， 故直线l的斜率为k＝±1.