高考数学大二轮刷题首选卷理数文档：第一部分 考点十九 二项式定理

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1、 考点十九　二项式定理 一、选择题 1．(2019·湖北四校六月考前模拟)在6的展开式中，常数项为(　　) A．－240 B．－60 C．60 D．240 答案　D 解析　6的通项为Tr＋1＝C(x2)6－r·r＝C(－2)rx12－3r，令12－3r＝0得r＝4，即T5＝C(－2)4＝240，故选D. 2．(2019·湖北黄冈2月联考)(1＋x)7展开式中x3的系数为(　　) A．－7 B．28 C．35 D．42 答案　B 解析　∵二项式(1＋x)7的通项为Tr＋1＝Cxr，分别令r＝3，r＝6，则x3的系数为C－C＝28，故选B. 3．(2019

2、·河南百校联盟仿真试卷)(2x2－x－1)5的展开式中x2的系数为(　　) A．400 B．120 C．80 D．0 答案　D 解析　∵(2x2－x－1)5＝(x－1)5(2x＋1)5，二项展开式(x－1)5的通项为Cx5－r(－1)r，二项展开式(2x＋1)5的通项为C(2x)5－k，(x－1)5(2x＋1)5的通项为(－1)r25－kCCx10－(k＋r)，所以k＋r＝8，即展开式中x2的系数为(－1)522CC＋(－1)421CC＋(－1)3CC＝0. 4．(2019·山东聊城二模)已知n展开式中前三项的二项式系数的和等于22，则展开式中的常数项为(　　) A． B． C．

3、－ D．－ 答案　A 解析　因为C＋C＋C＝22，整理得n(n＋1)＝42，解得n＝6，所以二项式6展开式的通项为Tk＋1＝C6－k6－k(－1)kx2k＝C6－k·(－1)kx3k－6，令3k－6＝0得k＝2，所以展开式中的常数项为C6－2(－1)2＝.故选A. 5.16的展开式的项中，整式的个数是(　　) A．1 B．3 C．5 D．7 答案　B 解析　二项展开式的通项Tk＋1＝C16－k·k＝(－1)kCxy (k∈Z,0≤k≤16)，要使得它为整式，则－8与16－均为非负整数，即8≤≤16，k＝6,8,10，故有3项，选B. 6．已知n的展开式的各项系数和为243，则展

4、开式中x7的系数为(　　) A．5 B．40 C．20 D．10 答案　B 解析　令x＝1，可得3n＝243，n＝5，故展开式的通项公式为Tr＋1＝C(x3)5－rr＝2rCx15－4r.令15－4r＝7，得r＝2，所以T3＝22Cx7＝40x7，展开式中x7的系数为40. 7．二项式n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为(　　) A．3 B．5 C．6 D．7 答案　D 解析　因为展开式中只有第11项的二项式系数最大，所以n＝20.二项式展开式的通项为Tr＋1＝C(x)20－r·r＝C3x，由题得20－r为整数，所以r＝0,3,6,9

5、,12,15,18，所以展开式中x的指数为整数的项的个数为7. 8．(2019·湖北八市3月联考)若(x－2)5－3x4＝a0＋a1(x－3)＋a2(x－3)2＋a3(x－3)3＋a4(x－3)4＋a5(x－3)5，则a3＝(　　) A．－70 B．28 C．－26 D．40 答案　C 解析　令t＝x－3，则(x－2)5－3x4＝a0＋a1(x－3)＋a2(x－3)2＋a3(x－3)3＋a4(x－3)4＋a5(x－3)5可化为(t＋1)5－3(t＋3)4＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5，则a3＝C－3C×3＝10－36＝－26.故选C. 二、填空题 9.6的

6、展开式中x3的系数为________．(用数字作答) 答案　60 解析　6的展开式的通项公式为Tr＋1＝C(2x)6－rr＝r26－rCx，令6－r＝3，得r＝2， ∴x3的系数为2·26－2·C＝60. 10．(2019·山西晋城三模)(2－3x)2(1－x)7的展开式中，x3的系数为________． 答案　－455 解析　依题意，x3的系数为4×C×(－1)3－12×C×(－1)2＋9×C×(－1)＝－455. 11．(2019·陕西咸阳模拟检测三)若a>0，b>0，二项式(ax＋b)6的展开式中x3项的系数为20，则定积分2xdx＋2xdx的最小值为________．

7、答案　2 解析　二项式(ax＋b)6的展开式的通项为Tr＋1＝Ca6－rbrx6－r，当6－r＝3，即r＝3时，二次项系数为Ca3b3＝20，∴ab＝1，∴2xdx＋2xdx＝a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b时取等号． 12．已知m是常数，(mx－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝33，则m＝________. 答案　3 解析　令x＝0得a0＝－1， 令x＝1得(m－1)5＝a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝33＋(－1)＝32，所以m－1＝2，故m＝3. 三、解答题 13．已知(＋3x2)n的展开式中，各项系数

8、的和与其各项二项式系数的和之比为32. (1)求n； (2)求展开式中二项式系数最大的项． 解　(1)令x＝1，则(＋3x2)n展开式的各项系数和为4n，又(＋3x2)n展开式的各项二项式系数和为2n，所以＝32，即2n＝32，解得n＝5. (2)由(1)可知：n＝5，所以(＋3x2)5展开式的中间两项二项式系数最大，即T3＝C()3(3x2)2＝90x6，T4＝C()2(3x2)3＝270x. 14．(2019·江苏高考)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，n≥4，n∈N*.已知a＝2a2a4. (1)求n的值； (2)设(1＋)n＝a＋b，其中a，b∈N*，

9、求a2－3b2的值． 解　(1)因为(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn，n≥4，n∈N*， 所以a2＝C＝，a3＝C＝， a4＝C＝. 因为a＝2a2a4，所以2 ＝2××. 解得n＝5. (2)由(1)知，n＝5. (1＋)n＝(1＋)5＝C＋C＋C()2＋C()3＋C()4＋C()5＝a＋b. 解法一：因为a，b∈N*，所以a＝C＋3C＋9C＝76， b＝C＋3C＋9C＝44，从而a2－3b2＝762－3×442＝－32. 解法二：(1－)5＝C＋C(－)＋C(－)2＋C(－)3＋C(－)4＋C(－)5 ＝C－C＋C()2－C()3＋C()4－C()5.

10、因为a，b∈N*，所以(1－)5＝a－b. 因此a2－3b2＝(a＋b)(a－b)＝(1＋)5×(1－)5＝(－2)5＝－32. 一、选择题 1．(2019·安徽黄山第三次质检)已知(1＋x)(1－ax)5的展开式中x2的系数为－，则a＝(　　) A．1 B． C． D． 答案　D 解析　根据题意知，(1－ax)5的展开式的通项公式为C(－a)rxr，∴展开式中含x2项的系数为Ca2－Ca＝－，即10a2－5a＝－，解得a＝，故选D. 2．在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为(　　) A．－960 B．960 C．1

11、120 D．1680 答案　C 解析　因为偶数项的二项式系数之和为2n－1＝128，所以n－1＝7，n＝8，则展开式共有9项，中间项为第5项，因为(1－2x)8的展开式的通项Tr＋1＝C(－2x)r＝C(－2)rxr，所以T5＝C(－2)4x4，其系数为C(－2)4＝1120. 3．(2019·江西新八校第二次联考)若二项式n的展开式中第m项为常数项，则m，n应满足(　　) A．3n＝4(m＋1) B．4n＝3(m＋1) C．3n＝4(m－1) D．4n＝3(m－1) 答案　C 解析　n展开式的通项公式为Tr＋1＝Cxn－r·r＝C(－2)rxn－，第m项为C(－2)m－1·x，

12、由n－＝0得3n＝4(m－1)，故选C. 4．(2019·广东佛山质检一)(2x－y)(x＋2y)5展开式中x3y3的系数为(　　) A．－40 B．120 C．160 D．200 答案　B 解析　展开式中含x3y3的项为2x·Cx2·(2y)3＋(－y)C·x3·(2y)2＝160x3y3－40x3y3＝120x3y3，则展开式中x3y3的系数为120，故选B. 5．(2019·湖南长沙一中模拟三)若n的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数是(　　) A．14 B．－14 C．7 D．－7 答案　A 解析　∵2n＝128，∴n＝7，∴展开式的通项Tr＋1＝C(

13、2x)7－rr＝C27－r(－1)rx，令7－r＝－3，解得r＝6，∴的系数为C27－6·(－1)6＝14，故选A. 6．已知(ax2＋x－1)n(n∈N*)展开式中x最高次项系数是x最低次项系数的－32倍，且不含x2项，则x3的系数为(　　) A．10 B．30 C．－10 D．－30 答案　D 解析　依题意，x最高次项的系数为Can，x最低次项即为常数项，常数项为C(－1)n，所以Can＝－32C×(－1)n，又不含x2项，所以Ca×(－1)n－1＋C×(－1)n－2＝0，所以a＝2，n＝5，所以x3的系数为C×2×C×(－1)3＋C×(－1)2＝－30，故选D. 7．已知S为

14、执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式6的展开式中常数项是(　　) A．－20 B．20 C．－ D．60 答案　A 解析　输入i＝0，S＝1，i＝1<4是， S＝＝－1，i＝2<4是， S＝＝3，i＝3<4是， S＝＝，i＝4<4否． 输出S＝. 所以二项式6＝6. 6展开式的通项为Tr＋1＝C6－rr＝(－1)r32r－6·Cx3－r，当r＝3时，得T4＝－C＝－20. 8．在12的展开式中，x5的系数为(　　) A．252 B．264 C．512 D．528 答案　B 解析　12的通项为Tr＋1＝C(2＋)12－rr，必须满足r＝0，T1＝(2＋)1

15、2，x5的系数为22C＝264. 二、填空题 9．若n的展开式中所有项的系数的绝对值之和为64，则n＝________；该展开式中的常数项是________． 答案　3　－27 解析　由题意得n的展开式中所有项的系数之和为64，令x＝1得(3＋1)n＝64，解得n＝3， 所以3的展开式的通项为 Tr＋1＝C(3)3－r·r＝(－1)r·33－rCx. 令＝0得r＝1， 所以展开式中的常数项为T2＝(－1)×32×C＝－27. 10．(2019·河北衡水第三次质检)(1＋x2)5展开式中x2的系数为________． 答案　15 解析　因为二项式(1＋x2)5展开式的通项为

16、Tk＋1＝Cx10－2k，分别令10－2k＝2,3,4，可得k＝4，，3，因为k是正整数，所以k＝4,3，所以k＝4时，T5＝Cx2；k＝3时，T4＝Cx4，因此(1＋x2)5展开式中x2的系数为C＋C＝15. 11．(2019·江西南昌外国语学校适应性测试)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若15a＝8b，则m＝________. 答案　7 解析　(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为a＝C，(x＋y)2m＋1展开式中二项式系数的最大值为b＝C，因为15a＝8b，所以15C＝8C，即15＝8，解得m＝7.

17、 12．(2019·广东梅州质检)若(1＋ex)2019＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2019x2019，则－＋－＋－…－＝________. 答案　－1 解析　在(1＋ex)2019＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2019x2019中，令x＝0可得a0＝1，再令x＝－可得0＝a0－＋－＋－…－，所以－＋－＋－…－＝－1. 三、解答题 13．在二项式(axm＋bxn)12(a>0，b>0，m，n≠0)中有2m＋n＝0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项． (1)求它是第几项； (2)求的取值范围． 解　(1)设Tr＋1＝C(axm)12－r·(bxn)r＝Ca12－r·brx

18、m(12－r)＋nr为常数项， 则有m(12－r)＋nr＝0，即m(12－r)－2mr＝0， ∴r＝4，它是第5项． (2)∵第5项是系数最大的项， ∴有 由①得a8b4≥a9b3， ∵a>0，b>0，∴b≥a，即≤. 同理由②得≥，∴≤≤. 14．(2019·扬州中学月考)设函数f(x，n)＝(1＋x)n(n∈N*)． (1)求f(x,6)的展开式中系数最大的项； (2)若f(i，n)＝32i(i为虚数单位)，求C－C＋C－C＋C. 解　(1)展开式中系数最大的项是第4项T4＝Cx3＝20x3. (2)由已知(1＋i)n＝32i，两边取模，得()n＝32，所以n＝10. 所以C－C＋C－C＋C＝C－C＋C－C＋C.而(1＋i)10＝C＋Ci＋Ci2＋…＋Ci9＋Ci10＝(C－C＋C－C＋C－C)＋(C－C＋C－C＋C)i＝32i，所以C－C＋C－C＋C＝32.