高考数学大二轮专题复习冲刺方案理数创新版文档：题型1 第4讲 不等式、线性规划 Word版含解析

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1、 第4讲　不等式、线性规划 [考情分析]　不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主．(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题．(2)不等式的相关知识可以渗透到高考的各个知识领域，往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档，在解答题中，特别是在解析几何中利用不等式求最值、范围或在解决导数问题时利用不等式进行求解，难度偏高. 热点题型分析 热点1　不等式的性质及解法 1.利用不等式的性质比较大小要注意特殊值法的应用. 2.一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax2＋bx

2、＋c＞0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集. 3.简单分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔ 1.已知a>b>0，给出下列四个不等式： ①a2>b2；②2a>2b－1；③>－；④a3＋b3>2a2b. 其中一定成立的不等式为(　　) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 答案　A 解析　解法一：由a>b>0可得a2>b2，所以①成立； 由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函

3、数， ∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，所以②成立； ∵a>b>0，∴>， ∴()2－(－)2＝2－2b＝2(－)>0， ∴>－，所以③成立； 若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36， 有a3＋b3<2a2b，所以④不成立．故选A． 解法二：令a＝3，b＝2，可以得到①a2>b2，②2a>2b－1，③>－均成立，而④a3＋b3>2a2b不成立，故选A． 2.函数f(x)＝的定义域为(　　) A．[0,3] B．(0,3) C．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．(－∞，0)∪(3，＋∞) 答案　A 解析　要使函数f(x)＝ 有意义，则3x－x

4、2≥0，即x2－3x≤0⇔x(x－3)≤0，解得0≤x≤3，故选A． 3.不等式≤1的解集为(　　) A．{x|x<1或x≥3} B．{x|1≤x≤3} C．{x|1

5、成集合或区间的形式．如第2题易忽略二次项系数为负，由3x－x2≥0得出选项C． (3)解不等式时同解变形出错，第3题易出现的问题有两个方面：一是错用不等式的性质直接把不等式化为2x－4≤x－1求解；二是同解变形过程中忽视分母不为零的限制条件，导致增解. 热点2　基本不等式及其应用 1.利用基本不等式求最大值、最小值的基本法则 (1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) (2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值s2.(简记：和定积最大) 2.利用基本不等式解决条件最值问题的关键是构造和为定值或乘

6、积为定值，主要有两种思路： (1)通过变形直接利用基本不等式解决. (2)对条件变形，根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，通过“1”的代换、添项、分离常数等手段使之能运用基本不等式．常见的转化方法有： ①若＋＝1，则mx＋ny＝(mx＋ny)·1＝(mx＋ny)·≥ma＋nb＋2(字母均为正数)； ②x＋＝x－a＋＋a≥a＋2(x>a，b>0). 1.下列结论正确的是(　　) A．当x>0且x≠1，lg x＋≥2 B．<1(x∈R) C．当x>0时，＋≥2 D．当0

7、成立；对于B，当x＝0时，有＝1，不等式不成立；对于C，当x>0时，＋≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立；对于D，当0－1，则函数y＝的最小值为________. 答案　9 解析　∵x>－1，∴x＋1>0，∴y＝ ＝＝＝x＋1＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＋1＝，

8、即x＝1时取“＝”(由于x>－1，故x＝－3舍去)， ∴y＝的最小值为9. 4.(2018·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________. 答案　9 解析　由题意可知，S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，由角平分线性质和三角形面积公式得acsin120°＝a×1×sin60°＋c×1×sin60°，化简得ac＝a＋c，＋＝1，因此4a＋c＝(4a＋c)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当c＝2a＝3时取等号，则4a＋c的最小值为9. (1)利用均值不等式求解最值时，要注意

9、三个条件，即“一正——各项都是正数；二定——和或积为定值；三等——能取到使等号成立的值”，这三个条件缺一不可. (2)第2题易出错的地方是：不会“凑”，不能根据函数解析式的特征适当变形凑出两式之和为定值；第3题是分子展开后不能变形凑出两式之积为定值．第4题利用“1”的代换或配凑使和为定值或积为定值时，代数式的变形要注意保持等价. 热点3　简单的线性规划问题 1.解决线性规划问题的一般步骤 (1)画出可行域； (2)根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点； (3)求出目标函数的最大值和最小值. 2.常见代数式的几何意义 (1)z＝Ax＋By表示与直线y＝－x＋在y

10、轴上的截距成比例的数； (2)z＝(x－a)2＋(y－b)2区域内动点(x，y)与定点(a，b)的距离的平方； (3)z＝表示区域内动点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率. 3.求解线性规划中含参问题的基本方法 (1)首先把不含参数的平面区域确定好； (2)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围. 4.解线性规划应用问题的一般步骤 (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答. 题型1　已知约束条件，求目标函数的

11、最值 1.(2019·全国卷Ⅱ)若变量x，y满足约束条件 则z＝3x－y的最大值是________. 答案　9 解析　作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y＝3x－z过点C时，－z最小，即z最大. 由解得 即C点坐标为(3,0)，故zmax＝3×3－0＝9. 2.(2019·晋城一模)若x，y满足约束条件 则z＝x2＋y2－4x－6y＋13的最小值为________. 答案　 解析　画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)，由于z＝x2＋y2－4x－6y＋13＝(x－2)2＋(y－3)2，故z表示可行域内的点A(x，y)与定点P(2,3)间

12、距离的平方，即z＝|PA|2.由图形可得|PA|的最小值即为点P(2，3)到直线x＋y－4＝0的距离d＝＝，所以zmin＝d2＝. 第1、2题易错在不能准确把握目标函数z的几何意义而不知如何变形. 题型2　已知目标函数的最值求参数 1.(2019·华南师大附中一模)已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝(　　) A． B． C．1 D．2 答案　A 解析　由约束条件画出可行域(如图所示三角形及其内部)．由得 B(1，－2a)．当直线2x＋y－z＝0过点B时，z＝2x＋y取得最小值，所以1＝2×1－2a，解得a＝，故选A． 2.

13、已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝(　　) A．3 B．2 C．－2 D．－3 答案　B 解析　不等式组 在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示，若z＝ax＋y的最大值为4， 则y＝－ax＋z截距的最大值为4. ①若a<0，则不满足条件； ②若a>0，当－a<－1，即a>1时，x＝2，y＝0是最优解，此时a＝2；当－a>－1，即01(舍)．故选B． 第1题易在分析动直线的位置时出错，忽略直线y＝a(x－3)恒过定点(3,0)而不好确定可行域；第2题需明确目标函数中z与直线y＝

14、－ax＋z截距最值相同，易忽视关于a的正负讨论而漏解或错解. 题型3　线性规划的实际应用 (2019·黄冈联考)一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖4千克，果汁18千克，用时3小时；生产一桶乙饮料需要白糖1千克，果汁15千克，用时1小时．现库存白糖10千克，果汁66千克，生产一桶甲饮料利润为200元，生产一桶乙饮料利润为100元，在使用该机器用时不超过9小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为________. 答案　600 解析　设生产甲、乙两种饮料分别为x桶、y桶，利润为z元， 则得 即 目标函数z＝200x＋100y. 作出

15、可行域(如图阴影部分所示)．当直线z＝200x＋100y经过可行域上点B时，z取得最大值. 解方程组得点B的坐标(2,2)，故zmax＝200×2＋100×2＝600. (1)线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想．需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得. (2)在解决线性规划的应用问题时要注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等. 真题自检感悟 1.(2019

16、·全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　) A．a1,0c>a.故选B． 2.(2017·全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件 则z＝2x＋y的最小值是(　　) A．－15 B．－9 C．1 D．9 答案　A 解析　不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示. 将目标函数z＝2x＋y化为y＝－2x＋z，作出直线y＝－2x，并平移该直线，知当直线y＝－2x＋z经过点A(－6，

17、－3)时，z有最小值，且zmin＝2×(－6)－3＝－15.故选A． 3.(2017·天津高考)已知函数f(x)＝ 设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立，则a的取值范围是(　　) A． B． C．[－2，2] D． 答案　A 解析　关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立等价于－f(x)≤a＋≤f(x)，即－f(x)－≤a≤f(x)－在R上恒成立，令g(x)＝－f(x)－. 当x≤1时，g(x)＝－(x2－x＋3)－＝－x2＋－3＝－2－， 当x＝时，g(x)max＝－； 当x＞1时，g(x)＝－－＝－≤－2， 当且仅当＝，且x＞1，即x＝时，“＝”成立，

18、 故g(x)max＝－2.综上，g(x)max＝－. 令h(x)＝f(x)－， 当x≤1时，h(x)＝x2－x＋3－＝x2－＋3＝2＋， 当x＝时，h(x)min＝； 当x＞1时，h(x)＝x＋－＝＋≥2， 当且仅当＝，且x＞1，即x＝2时，“＝”成立，故h(x)min＝2. 综上，h(x)min＝2.故a的取值范围为. 故选A． 4.(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________. 答案　 解析　由a－3b＋6＝0可知a－3b＝－6，且2a＋＝2a＋2－3b， 因为对于任意x,2x>0恒成立，结合均值不等式的结论可得， 2

19、a＋2－3b≥2 ＝2 ＝. 当且仅当即时等号成立. 综上可得2a＋的最小值为. 专题作业 一、选择题 1.(2019·北京高考)若x，y满足|x|≤1－y，且y≥－1，则3x＋y的最大值为(　　) A．－7 B．1 C．5 D．7 答案　C 解析　由|x|≤1－y，且y≥－1， 得 作出可行域如图阴影部分所示. 设z＝3x＋y，则y＝－3x＋z. 作直线l0：y＝－3x，并进行平移. 显然当l0过点A(2，－1)时，z取最大值，zmax＝3×2－1＝5.故选C． 2.不等式≤0的解集为(　　) A． B． C．∪[1，＋∞) D．∪[

20、1，＋∞) 答案　A 解析　≤0⇔ 解得即－b>0且ab＝1，∴a2>ab>b2，则a>1,02，∴0<<，则<. ∵a＋＝a＋a＝2a>a＋b>log2(a＋b)， ∴

21、b＝1，∴取a＝2，b＝， 此时a＋＝4，＝，log2(a＋b)＝log25－1≈1.3， ∴＜log2(a＋b)＜a＋.故选B． 4.(2019·北京师范大学附中模拟)已知a>0，b>0，并且，，成等差数列，则a＋9b的最小值为(　　) A．16 B．9 C．5 D．4 答案　A 解析　∵，，成等差数列，∴＋＝1. ∴a＋9b＝(a＋9b)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝且＋＝1，即a＝4，b＝时等号成立．∴a＋9b的最小值为16，故选A． 5.已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0)∪(4，＋∞)，则a的值是(　　) A． B． C．1

22、 D．2 答案　C 解析　由题意可得a>0，①当x>0时，f(x)＝x＋＋2≥2＋2，当且仅当x＝时取等号；②当x<0时，f(x)＝x＋＋2≤－2＋2，当且仅当x＝－时取等号，所以 解得a＝1，故选C． 6.(2018·天津高考)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b 答案　D 解析　由题意结合对数函数的性质可知，a＝log2e>1，b＝ln 2＝∈(0,1)，c＝log＝log23>log2e，据此可得，c>a>b.故选D． 7.已知x，y>0且x＋4y＝1，

23、则＋的最小值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 答案　B 解析　∵x，y>0且x＋4y＝1，∴＋＝(x＋4y)＝5＋4·＋≥5＋2＝5＋4＝9，当且仅当4·＝即或(舍去)时等号成立．故选B． 8.(2019·华大新高考联盟模拟)若实数x，y满足不等式组则x2＋y2的取值范围是(　　) A． B．[0,2] C． D．[0，] 答案　B 解析　画出可行域如图阴影部分所示(含边界)，x2＋y2的几何意义是阴影内的点到原点的距离的平方，显然O点为最小值点，而A(1,1)为最大值点，故x2＋y2的取值范围是[0,2]．故选B． 9．若x，y满

24、足约束条件则的最大值为(　　) A．1 B．－1 C．3 D．0 答案　C 解析　作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A(1,3)与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.故选C． 10.若直线l：kx－y＋1＝0上不存在满足不等式组的点(x，y)，则实数k的取值范围为(　　) A．(－∞，0]∪ B． C．(－∞，0)∪ D． 答案　D 解析　实数x，y满足对应的可行域如图中阴影部分： 直线l：kx－y＋1＝0可化为y＝kx＋1，故直线l过定点C(0,1)，由图可知，当直线l过的交点A(1,1)时，

25、k＝0；当直线l过的交点B时，k＝. 由此可知当01且b>1.＋＝1可变形为＝1，∴ab＝a＋b，∴ab－a－b＝0，∴(a－1)(b－1)＝1，∴a－1＝，∵a－1>0， ∴＋＝＋9(a－1)≥2＝6，当且仅当＝9(a－1)，即a＝时取“＝”，∴＋的最小值为6.故选C． 12.(2019·太原模拟)已知正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋

26、18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．[3，＋∞) B．(－∞，3] C．(－∞，6] D．[6，＋∞) 答案　D 解析　∵a>0，b>0，且＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)·＝10＋＋≥10＋2＝16， 当且仅当＝，即a＝4，b＝12时等号成立， 所以(a＋b)min＝16. 若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则－x2＋4x＋18－m≤16，即m≥－x2＋4x＋2对任意实数x恒成立， ∵－x2＋4x＋2＝－(x－2)2＋6≤6，∴m≥6. ∴实数m的取值范围是[6，＋∞)．故选D． 二、填空题 13.已知实数x，y满足

27、如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于________. 答案　5 解析　绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)， 联立直线方程可得交点坐标为 A，由目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，所以－＝－1， 解得m＝5. 14.(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________. 答案　30 解析　一年的总运费为6×＝(万元). 一年的总存储费用为4x万元. 总运费与总存储费用的和为万元. 因为＋4x≥2 ＝

28、240， 当且仅当＝4x，即x＝30时取得等号， 所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小. 15.(2019·衡水中学检测)设满足的实数x，y所在的平面区域为Ω，则Ω的外接圆方程是______________. 答案　(x－1)2＋(y－3)2＝10 解析　作出不等式组表示的平面区域Ω，如图阴影部分所示．则区域Ω是四边形ABCO(含内部及边界)．易知BC⊥AB，则外接圆的圆心为AC的中点，又A(0,6)，C(2,0)，则该四边形外接圆的圆心为(1,3)，半径r＝|AC|＝.故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10. 16.若实数x，y满足x2＋y2≤1，则|

29、2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值是________. 答案　3 解析　x2＋y2≤1表示圆x2＋y2＝1及其内部，易得直线6－x－3y＝0与圆相离，故|6－x－3y|＝6－x－3y，当2x＋y－2≥0时，|2x＋y－2|＋|6－x－3y|＝x－2y＋4，如下图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数z＝x－2y＋4，则可知当x＝，y＝时，zmin＝3，当2x＋y－2≤0时，|2x＋y－2|＋|6－x－3y|＝8－3x－4y，可行域为大的弓形内部，目标函数z＝8－3x－4y，同理可知当x＝，y＝时，zmin＝3，综上所述，(|2x＋y－2|＋|6－x－3y|)min＝3.