高考数学大二轮刷题首选卷理数文档：第一部分 考点七 函数的图象、性质及应用

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1、 考点七　函数的图象、性质及应用 一、选择题 1．若幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则f(8)的值为(　　) A．4 B． C．2 D．1 答案　C 解析　设f(x)＝xn，由条件知f(4)＝2，所以2＝4n，n＝，所以f(x)＝x，f(8)＝8＝2.故选C. 2．(2019·北京海淀一模)若x0是函数f(x)＝log2x－的零点，则(　　) A．－1

2、<2，故选C. 3．(2019·贵州贵阳适应性考试)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是(　　) A．y＝x3 B．y＝|x－1| C．y＝|x|－1 D．y＝2x 答案　C 解析　对于A，y＝x3是奇函数，不符合题意；对于B，y＝|x－1|，是非奇非偶函数，不符合题意；对于C，y＝|x|－1，既是偶函数又是在(0，＋∞)上单调递增的函数，符合题意；对于D，y＝2x不是偶函数，不符合题意，故选C. 4．(2019·山东师大附中二模)设x，y，z为正数，且log2x＝log3y＝log5z>1，则下列关系式成立的是(　　) A．<< B．<< C．<< D．＝

3、＝ 答案　A 解析　由log2x＝log3y＝log5z>1，得log2＝log3＝log5>0，结合图象可得<<，故选A. 5．(2019·山东栖霞模拟)已知函数f(x)和f(x＋2)都是定义在R上的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x，则f＝(　　) A．2 B．2 C． D． 答案　B 解析　因为f(x＋2)是定义在R上的偶函数，所以f(－x＋2)＝f(x＋2)，即f(x)＝f(4－x)，又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝f(4＋x)，所以函数周期T＝4，所以f＝f＝f(4×252＋1.5)＝f(1.5)＝2，故选B. 6．已知a>0，且a≠1，函数y＝

4、logax，y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是(　　) 答案　C 解析　y＝logax与y＝ax单调性相同，排除B；对于A，由y＝logax和y＝ax的图象可知a>1，由y＝x＋a的图象知01，矛盾．C符合题意，故选C. 7．已知函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．[－3,0) B．(－∞，－3] C．[－2,0] D．[－3,0] 答案　D 解析　当a＝0时，f(x)＝－3x＋1，满足题意；当a>0时，

5、函数f(x)的图象在其对称轴右侧单调递增，不满足题意；当a<0时，函数f(x)的图象的对称轴为x＝－，∵函数f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递减，∴－≤－1，解得－3≤a<0.综上可知，实数a的取值范围是[－3,0]． 8．(2019·天津十二重点中学高三联考)已知定义在R上的函数f(x－1)的图象关于x＝1对称，且当x>0时，f(x)单调递减，若a＝f(log0.53)，b＝f(0.5－1.3)，c＝f(0.76)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c>a>b B．b>a>c C．a>c>b D．c>b>a 答案　A 解析　因为函数f(x－1)的图象关于x＝1对称，所以函数f

6、(x)的图象关于x＝0对称，所以f(x)是定义在R上的偶函数，因为log0.53＝－log23∈(－2，－1)，0.5－1.3＝21.3>2,0.76∈(0,1)，所以0.760时，f(x)单调递减，所以f(0.76)>f(log23)>f(0.5－1.3)，即c>a>b. 二、填空题 9．(2019·玉溪模拟)函数f(x)＝的定义域为________． 答案　[3，＋∞) 解析　要使函数f(x)＝的解析式有意义，x需满足解得x∈[3，＋∞)．故函数f(x)＝的定义域为[3，＋∞)． 10．已知函数y＝4ax－9－1(a>0且a≠1)恒过定点A(m，n

7、)，则logmn＝________. 答案　 解析　依题意知，当x－9＝0，即x＝9时，y＝4－1＝3，故定点为(9,3)，所以m＝9，n＝3，故logmn＝log93＝. 11．(2019·江苏南通阶段测试)函数y＝log2(2x－x2)的单调递增区间为________． 答案　(0,1] 解析　由题意可知函数定义域为(0,2)， 将y＝log2(2x－x2)变形为y＝log2t和t＝2x－x2，可知x∈(0,1]时，t单调递增，又y＝log2t单调递增，可得y＝log2(2x－x2)的单调递增区间为(0,1]． 12．(2019·东北三省三校三模)若函数f(x)＝在(－∞，＋

8、∞)上单调递增，则m的取值范围是________． 答案　(0,3] 解析　∵函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上单调递增，∴ 解得00，且a≠1)． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若－10， 由题意知f(－x)＝loga(－x＋1)， 又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)． ∴当x<0时，f(x)＝loga(－x＋1)， ∴函数f(x)的解

9、析式为f(x)＝ (2)∵－11时，原不等式等价于解得a>2； ②当0

10、式为f(x)＝aex＋be－x(其中a，b是非零常数，无理数e＝2.71828…)． (1)当a＝1，f(x)为偶函数时，求b； (2)如果f(x)为R上的单调函数，请写出一组符合条件的a，b值； (3)如果f(x)的最小值为2，求a＋b的最小值． 解　(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋be－x， ∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)， 即e－x＋bex＝ex＋be－x，则b＝1. (2)当a＝1，b＝－1时，f(x)＝ex－e－x为R上的单调递增函数． (3)当ab≤0时，f(x)为单调函数，此时函数没有最小值，若f(x)有最小值为2，则必有a>0，b>0， 此时f(

11、x)＝aex＋be－x≥2＝2＝2， 即＝1，∴ab＝1， ∴a＋b≥2＝2(当且仅当a＝b＝1时“＝”成立)， 即a＋b的最小值为2. 一、选择题 1．(2019·安徽A10联盟最后一卷)设a＝log23，b＝log45，c＝2 ，则(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>c>b D．a>b>c 答案　A 解析　∵a＝log23＝log49>log45＝b，且c>2>a， ∴c>a>b，故选A. 2．(2019·河南郑州第三次质检)我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的

12、图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f(x)＝的图象大致是(　　) 答案　D 解析　因为函数f(x)＝，4x－1≠0，∴x≠0.f(－x)＝＝≠f(x)，所以函数f(x)不是偶函数，故排除A，B；又因为f(3)＝，f(4)＝，∴f(3)>f(4)，而C中图象在x>0时是递增的，故排除C.故选D. 3．(2019·广东七校联考)给出四个函数，分别满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，②g(x＋y)＝g(x)·g(y)，③h(x·y)＝h(x)＋h(y)，④m(x·y)＝m(x)·m(y)．又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是(　　)

13、 A．①—甲，②—乙，③—丙，④—丁 B．①—乙，②—丙，③—甲，④—丁 C．①—丙，②—甲，③—乙，④—丁 D．①—丁，②—甲，③—乙，④—丙 答案　D 解析　①f(x)＝x，这个函数可使f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立，∵f(x＋y)＝x＋y，x＋y＝f(x)＋f(y)，∴f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，故①—丁．②寻找一类函数g(x)，使得g(x＋y)＝g(x)·g(y)，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)具有这种性质，令g(x)＝ax，g(y)＝ay，则g(x＋y)＝ax＋y＝ax·ay＝g(x)·g(y)，故②—甲．③寻找一类函数h(x)，使得h(x·y)＝h(x

14、)＋h(y)，对数函数具有这种性质，令h(x)＝logax，h(y)＝logay，则h(x·y)＝loga(xy)＝logax＋logay＝h(x)＋h(y)，故③—乙．④令m(x)＝x2，这个函数可使m(xy)＝m(x)·m(y)成立，∵m(x)＝x2，∴m(x·y)＝(xy)2＝x2y2＝m(x)·m(y)，故④—丙．故选D. 4．(2019·山东威海二模)已知函数f(x)＝ln x＋ln (a－x)的图象关于直线x＝1对称，则函数f(x)的值域为(　　) A．(0,2) B．[0，＋∞) C．(－∞，2] D．(－∞，0] 答案　D 解析　∵函数f(x)＝ln x＋ln (a－

15、x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(1＋x)＝f(1－x)，即ln (1－x)＋ln (a－1＋x)＝ln (1＋x)＋ln (a－1－x)，∴(1－x)(a－1＋x)＝(1＋x)(a－1－x)，整理得(a－2)x＝0恒成立，∴a＝2，∴f(x)＝ln x＋ln (2－x)，定义域为(0,2)．又f(x)＝ln x＋ln (2－x)＝ln (2x－x2)，∵0

16、 B．(－5，＋∞) C．(－∞，0) D．(0，＋∞) 答案　A 解析　作出函数f(x)的大致图象如图所示： 由图象可知函数f(x)在R上单调递减， ∵f(3m－2x)x＋m，即xf(cx) D．不能确定 答案　A 解析　由f(x＋1)＝f(1－x)知f(x)＝x2－bx＋c

17、的对称轴为直线x＝1，故＝1，解得b＝2.由f(0)＝3，得c＝3.当x≥0时，3x≥2x≥1，f(3x)≥f(2x)；当x<0时，3x<2x<1，f(3x)>f(2x)．综上，f(cx)≥f(bx)．故选A. 7．若函数f(x)＝的值域为R，则f(2)的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　当x≤2时，f(x)∈[－1，＋∞)，依题意可得当x>2时，函数f(x)的取值必须包含(－∞，－1)，如图所示，可知函数在区间(2，＋∞)上单调递减，得0

18、－，即f(2)∈.故选D. 8．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件该产品需另投入的成本为G(x)(单位：万元)，当年产量不足80千件时，G(x)＝x2＋10x；当年产量不小于80千件时，G(x)＝51x＋－1450.已知每件产品的售价为0.05万元．通过市场分析，该工厂生产的产品能全部售完，则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是(　　) A．1150万元 B．1000万元 C．950万元 D．900万元 答案　B 解析　∵每件产品的售价为0.05万元， ∴x千件产品的销售额为0.05×1000x＝50x万元． ①当0

19、x－x2－10x－250＝－x2＋40x－250＝－(x－60)2＋950， ∴当x＝60时，L(x)取得最大值，且最大值为L(60)＝950万元； ②当x≥80时，L(x)＝50x－51x－＋1450－250＝1200－≤1200－2＝1200－200＝1000，当且仅当x＝，即x＝100时，L(x)取得最大值1000万元． 由于950<1000，∴当年产量为100千件时，该工厂在这一产品的生产中所获年利润最大，最大年利润为1000万元．故选B. 二、填空题 9．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域为________． 答案　(0,2)

20、 解析　由题意得∴ ∴0

21、y＝f(x)和函数y＝a有三个交点，即a的取值范围是(1,2)． 12．(2019·河南鹤壁高中模拟二)已知函数f(x)＝(x2－4x)(ex－2－e2－x)＋x＋1在区间[－1,5]的值域为[m，M]，则m＋M＝________. 答案　6 解析　y＝(x2－4)(ex－e－x)＋x在[－3,3]上为奇函数，图象关于原点对称，又f(x)＝(x2－4x)(ex－2－e2－x)＋x＋1＝[(x－2)2－4](ex－2－e2－x)＋x－2＋3是将上述函数图象向右平移2个单位，并向上平移3个单位得到，所以f(x)图象关于(2,3)对称，则m＋M＝6. 三、解答题 13．已知函数f(x)＝x

22、2－2ax＋5(a>1)． (1)若f(x)的定义域和值域是[1，a]，求实数a的值； (2)若f(x)在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围． 解　(1)因为f(x)＝(x－a)2＋5－a2(a>1)， 所以f(x)在[1，a]上是减函数， 又f(x)的定义域和值域均为[1，a]， 所以即解得a＝2. (2)因为f(x)在(－∞，2]上是减函数，所以a≥2， 又x＝a∈[1，a＋1]， 且(a＋1)－a≤(a＋1)－2＝a－1， 所以f(x)max＝f(1)＝6－2a， f(x)min＝f(

23、a)＝5－a2， 因为对任意的x1，x2∈[1，a＋1]， 总有|f(x1)－f(x2)|≤4，所以f(x)max－f(x)min≤4， 即(6－2a)－(5－a2)≤4，解得－1≤a≤3， 又a≥2，所以2≤a≤3. 综上，实数a的取值范围是[2,3]． 14．(2019·山东淄博摸底考试)设函数f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数，且f(1)＝. (1)若f(m2＋2m)＋f(m－4)>0，求m的取值范围； (2)若g(x)＝a2x＋a－2x－2mf(x)在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m的值． 解　(1)由题意，得f(0)＝0，即k－1＝0，

24、解得k＝1， 经检验满足函数f(x)是奇函数， 由f(1)＝，得a－a－1＝， 解得a＝2或a＝－(舍去)， 所以f(x)＝2x－2－x为奇函数且是R上的单调递增函数， 由f(m2＋2m)＋f(m－4)>0，得 f(m2＋2m)>f(4－m)，所以 m2＋2m>4－m，解得m<－4或m>1. (2)g(x)＝22x＋2－2x－2m(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－2m(2x－2－x)＋2， 令t＝2x－2－x，由x≥1，得t≥21－2－1＝， 又y＝t2－2mt＋2，对称轴t＝m， ①m≥时，ymin＝m2－2m2＋2＝－2， 解得m＝2(m＝－2舍去)； ②m<时，ymin＝－3m＋2＝－2⇒m＝>(舍去)． 所以m＝2.