高考数学大二轮刷题首选卷理数文档：第一部分 考点三 复数

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1、 考点三　复数 一、选择题 1．(2019·湖南衡阳三模)已知i是虚数单位，复数i·z＝1－2i，则复数z在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　C 解析　∵复数i·z＝1－2i， ∴－i·i·z＝－i(1－2i)，z＝－2－i， 则复数z在复平面内对应的点(－2，－1)位于第三象限．故选C. 2．(2019·山东潍坊5月三模)设复数z满足＝i，则|z|＝(　　) A．1 B． C．3 D．5 答案　B 解析　∵＝i，∴z＝＝＋1＝＋1＝1－2i，∴|z|＝＝，故选B. 3．(2019·安徽芜湖5月

2、模拟)设复数z满足＝i，则下列说法正确的是(　　) A．z为纯虚数 B．z的虚部为－i C．＝－i D．|z|＝ 答案　D 解析　∵z＋1＝zi，∴z＝－－i，∴|z|＝，复数z的虚部为－，＝－＋i，故选D. 4．(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　) A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1 C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1 答案　C 解析　由已知条件，可得z＝x＋yi. ∵|z－i|＝1，∴|x＋yi－i|＝1， ∴x2＋(y－1)2＝1.故选C. 5．复数z＝(i为虚数单位

3、)的共轭复数是(　　) A． B． C．＋i D．－i 答案　C 解析　由题意，得z＝＝＝＝－i，∴＝＋i.故选C. 6．已知i为虚数单位，若复数z＝＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，则a＝(　　) A．－5 B．－1 C．－ D．－ 答案　D 解析　z＝＋i＝＋i＝＋i，∵复数z＝＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数， ∴－＝，解得a＝－.故选D. 7．若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1＝2＋i，i为虚数单位，则z1z2＝(　　) A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i 答案　A 解析　因为z1＝2＋i在复平面内的对应点(2,1)关

4、于虚轴(y轴)的对称点为(－2,1)，因此z2＝－2＋i，z1z2＝i2－4＝－5.故选A. 8．若复数z＝(a＋i)2(a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上，则|z|＝(　　) A．1 B．3 C．2 D．4 答案　C 解析　由z＝(a＋i)2＝a2－1＋2ai在复平面内对应的点在虚轴上，知a2－1＝0，即a＝±1，所以z＝±2i，故|z|＝2，故选C. 二、填空题 9．若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数的共轭复数是________． 答案　－i 解析　复数＝＝＝i，其共轭复数为－i. 10．(2019·湖北部分重点中学联考)

5、＝________. 答案　i 解析　＝＝＝＝＝i. 11．欧拉公式：eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)，由瑞士数学家欧拉发明，它建立了三角函数与指数函数的关系，根据欧拉公式，(e)2＝________. 答案　－1 解析　由eix＝cosx＋isinx得(e)2＝2＝i2＝－1. 12．已知＝－1＋bi，其中a，b是实数，则复数a－bi在复平面内对应的点位于第________象限． 答案　二 解析　由＝－1＋bi，得a＝(－1＋bi)(1－i)＝(b－1)＋(b＋1)i，∴即a＝－2，b＝－1，∴复数a－bi＝－2＋i在复平面内对应的点的坐标为(－2,1)，位于第二

6、象限． 三、解答题 13．如图，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求： (1)表示的复数，表示的复数； (2)对角线表示的复数． 解　(1)∵＝－， ∴表示的复数为－3－2i， ∵＝，∴表示的复数为－3－2i. (2)∵＝－， ∴表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. 14．已知z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ，且z1－z2＝＋i，求cos(α＋β)的值． 解　∵z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ， ∴z1－z2＝(cosα－cosβ)＋i(sinα＋sinβ)＝＋i. ∴

7、 由①2＋②2，得2－2cos(α＋β)＝1. ∴cos(α＋β)＝. 一、选择题 1．(2019·安徽合肥第三次教学质量检测)已知i是虚数单位，复数z满足z＋z·i＝3＋i，则复数z的共轭复数为(　　) A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i 答案　C 解析　z＋z·i＝3＋i可化为z＝，∵z＝＝＝＝2－i.∴z的共轭复数为＝2＋i，故选C. 2．(2019·四川双流中学一模)已知点Z1，Z2的坐标分别为(1,0)，(0,1)，若向量对应复数z，则复数z对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　因为

8、点Z1，Z2的坐标分别为(1,0)，(0,1)，所以＝(－1,1)，即复数z对应点位于第二象限，故选B. 3．(2019·山东栖霞高考模拟)已知复数z＝(a＋i)(1－i)(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线y＝2x上，则实数a的值为(　　) A．0 B．－1 C．1 D．－ 答案　D 解析　因为z＝(a＋i)(1－i)＝a＋1＋(1－a)i，对应的点为(a＋1,1－a)，因为点在直线y＝2x上，所以1－a＝2(a＋1)，解得a＝－.故选D. 4．(2019·河南十所名校测试七)设复数z＝a＋i，是其共轭复数，若＝＋i，则实数a＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．1

9、答案　C 解析　∵z＝a＋i，∴＝a－i，又＝＋i，则a＋i＝＋＋i，∴a＝2. 5．(2019·北京昌平二模)已知复数z＝－1＋a(1＋i)(i为虚数单位，a为实数)在复平面内对应的点位于第二象限，则复数z的虚部可以是(　　) A．－i B．i C．－ D． 答案　D 解析　因为z＝－1＋a(1＋i)＝(a－1)＋ai，所以即0

10、 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4 答案　B 解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．对于p1，若∈R，即＝∈R，则b＝0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝biR，所以p2为假命题．对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b

11、2.因为a1b2＋a2b1＝0a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题，故选B. 7．下面四个命题中， ①复数z＝a＋bi(a，b∈R)的实部、虚部分别是a，b； ②复数z满足|z＋1|＝|z－2i|，则z对应的点构成一条直线； ③由向量a的性质|a|2＝a2，可类比得到复数z的性质|z|2＝z2； ④i为虚数单位，则1＋i＋i2＋…＋i2020＝1. 正确命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　D 解析　①复数z＝a＋bi(a，b∈R)的实部为a，虚部为b，故正确；

12、②设z＝a＋bi(a，b∈R)，由|z＋1|＝|z－2i|计算得2a＋4b－3＝0，故正确；③设z＝a＋bi(a，b∈R)，当b≠0时，|z|2＝z2不成立，故错误；④1＋i＋i2＋…＋i2020＝1，故正确． 8．已知复平面内，定点M与复数m＝1＋2i(i为虚数单位)对应，动点P与z＝x＋yi对应，那么满足|z－m|＝2的点P的轨迹方程为(　　) A．(x－1)2＋(y－2)2＝2 B．(x－1)2＋(y－2)2＝4 C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋2)2＝4 答案　B 解析　由题意，知在复平面内，z－m对应的点为(x－1，y－2)．则由|z－m|＝2，

13、得＝2，即(x－1)2＋(y－2)2＝4，故选B. 二、填空题 9．(2019·广东韶关4月模拟)已知是z的共轭复数，且满足(1＋i)＝4(其中i是虚数单位)，则|z|＝________. 答案　2 解析　由(1＋i)＝4，得，＝＝＝2－2i，∴|z|＝||＝＝2. 10．(2019·天津北辰模拟)用Re(z)表示复数z的实部，用Im(z)表示复数z的虚部，若已知复数z满足(1－i)＝7＋3i，其中是复数z的共轭复数，则Re(z)＋Im(z)＝________. 答案　－3 解析　由题意得，＝＝＝＝2＋5i，∴z＝2－5i，则Re(z)＋Im(z)＝2－5＝－3. 11．若2－

14、i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则bc＝________. 答案　－20 解析　把复数根2－i代入方程中，得(2－i)2＋b(2－i)＋c＝0，即3＋2b＋c－(4＋b)i＝0，所以解得故bc＝－20. 12．定义复数的一种新运算z1@z2＝(等式右边为普通运算)．若复数z＝x＋yi，i为虚数单位，且实数x，y满足x＋y＝2，则@z的最小值为________． 答案　2 解析　@z＝＝＝|z|＝. 由于x＋y＝2，所以@z＝ ， 故x＝时，@z取最小值2. 三、解答题 13．设虚数z满足|2z＋15|＝|＋10|. (1)计算|z|的值； (2)是否

15、存在实数a，使＋∈R？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 解　(1)设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则＝a－bi， ∵|2z＋15|＝|＋10|， ∴|(2a＋15)＋2bi|＝|(a＋10)－bi|， ∴＝ ， ∴a2＋b2＝75，∴|z|＝＝5. (2)假设存在实数a，使＋∈R. 设z＝c＋di(c，d∈R且d≠0)， 则有＋＝＋＝＋i＋ ＝＋＋i∈R， ∴－＝0， ∵d≠0，∴a＝±， 由(1)知 ＝5，∴a＝±5. 14．(2019·辽宁省鞍山一中一模)设z＋1为关于x的方程x2＋mx＋n＝0，m，n∈R的虚根，i为虚数单位． (1)当z＝－1＋i时，求m，n的值； (2)若n＝1，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数2＋4i所对应的点为Q，试求|PQ|的取值范围． 解　(1)因为z＝－1＋i，所以z＋1＝i， 则i2＋mi＋n＝0，易得 (2)设z＝a＋bi(a，b∈R)， 则(a＋1＋bi)2＋m(a＋1＋bi)＋1＝0， 于是 因为b不恒为零，所以由②得m＝－2(a＋1)，代入①得，(a＋1)2＋b2＝1，其几何意义是以(－1,0)为圆心，1为半径的圆，即P是圆上任意一点．又复数2＋4i对应的点为Q，所以|PQ|的最大值为＋1＝6，|PQ|的最小值为4. 所以|PQ|的取值范围是[4,6]．