高考数学大二轮刷题首选卷文数文档：第一部分 考点二十一 不等式选讲 Word版含解析

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1、 考点二十一　不等式选讲 解答题 1．已知函数f(x)＝|x－1|－|x＋2|. (1)求不等式－22|m－n|. 解　(1)依题意，f(x)＝|x－1|－|x＋2| ＝ 由－2<－2x－1<0，解得－0， 所以|1－4mn|2>4|m－n|2，故|1－4mn|>2|m－n|. 2．已知f(x)＝

2、|x－2|－|x－a|. (1)当a＝－4时，解不等式f(x)<1； (2)当a＝4时，求直线y＝x－2与函数f(x)的图象围成的平面图形的面积． 解　(1)当a＝－4时，f(x)＝|x－2|－|x＋4|<1， ∴ 解得x>2或－

3、2与函数f(x)的图象有公共点，求k的取值范围． 解　(1)由f(x)≤2，得或 或 解得0≤x≤5，故不等式f(x)≤2的解集为[0,5]． (2)f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3＝ 作出函数f(x)的图象，如图所示， 直线y＝kx－2过定点C(0，－2)， 当此直线经过点B(4,0)时，k＝； 当此直线与直线AD平行时，k＝－2. 故由图可知，k∈(－∞，－2)∪. 4．(2019·河北石家庄二模)设函数f(x)＝|x－2|＋|2x－a|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3的解集； (2)当f(x)＝|x－a＋2|时，求实数x的取值范围． 解　(1)

4、当a＝1时，f(x)＝|x－2|＋|2x－1| ＝ 不等式f(x)≥3可化为或 或 解得不等式的解集为(－∞，0]∪[2，＋∞)． (2)由绝对值的三角不等式，可得f(x)＝|x－2|＋|2x－a|≥|2x－a－(x－2)|＝|x－a＋2|， 当且仅当(2x－a)(x－2)≤0时，取“＝”， 所以当a≤4时，x的取值范围为≤x≤2； 当a>4时，x的取值范围为2≤x≤. 5．(2019·河南八市联考)已知函数f(x)＝m|x－1|. (1)若m＝1，求不等式f(x)≤x2＋1的解集； (2)当x∈(0,1)时，不等式f(x)

5、题意，不等式|x－1|≤x2＋1，可得－x2－1≤x－1≤x2＋1， 即解得x≤－1或x≥0， 所以不等式的解集为{x|x≤－1或x≥0}． (2)因为00，即m>－， 又因为g(x)＝－在(0,1)是增函数， 所以g(x)<－1，所以m≥－1. 6．(2019·广东潮州二模)已知f(x)＝2|x－2|＋|x＋1|. (1)求不等式f(x)<6的解集； (2)设m，n，p为正实数，且m＋n＋p＝f(3)，求证：mn＋np＋pm≤12. 解　(1)①当x≥2时，f(x)＝2x

6、－4＋x＋1＝3x－3， 由f(x)<6，∴3x－3<6，∴x<3，即2≤x<3. ②当－1－1，即－1－1，无解， 综上，不等式f(x)<6的解集为(－1,3)． (2)证明：∵f(x)＝2|x－2|＋|x＋1|，∴f(3)＝6， ∴m＋n＋p＝f(3)＝6，且m，n，p为正实数， ∴(m＋n＋p)2＝m2＋n2＋p2＋2mn＋2mp＋2np＝36， ∵m2＋n2≥2mn，m2＋p2

7、≥2mp，n2＋p2≥2np， ∴m2＋n2＋p2≥mn＋mp＋np， ∴(m＋n＋p)2＝m2＋n2＋p2＋2mn＋2mp＋2np≥3(mn＋mp＋np)， 又m，n，p为正实数，∴mn＋np＋pm≤12. 解答题 1．(2019·湖南长郡中学一模)已知函数f(x)＝|x－a|＋|2x－1|. (1)当a＝1时，求f(x)≤2的解集； (2)若f(x)≤|2x＋1|的解集包含集合，求实数a的取值范围． 解　(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋|2x－1|， f(x)≤2⇒|x－1|＋|2x－1|≤2， 可化为或 或解得或 或∴0≤x≤或

8、∴原不等式的解集为. (2)∵f(x)≤|2x＋1|的解集包含集合， ∴当x∈时，不等式f(x)≤|2x＋1|恒成立， 即|x－a|＋|2x－1|≤|2x＋1|在x∈上恒成立， ∴|x－a|＋2x－1≤2x＋1，即|x－a|≤2， ∴－2≤x－a≤2， ∴x－2≤a≤x＋2在x∈上恒成立， ∴(x－2)max≤a≤(x＋2)min， ∴－1≤a≤，∴a的取值范围是. 2．(2019·河南许昌、洛阳第三次质检)已知f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋a. (1)当a＝－1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集； (2)若存在x0∈R使得f(x0)≥g(x0)成立，求a的

9、取值范围． 解　(1)当a＝－1时原不等式可化为|x＋1|－2|x|≥－1，设φ(x)＝|x＋1|－2|x|＝ 则或或 即－≤x≤2. ∴原不等式的解集为. (2)若存在x0∈R使得f(x0)≥g(x0)成立， 等价于|x＋1|≥2|x|＋a有解， 由(1)即φ(x)≥a有解，即a≤φ(x)max， 由(1)可知，φ(x)在(－∞，0)单调递增，在[0，＋∞)单调递减．∴φ(x)max＝φ(0)＝1，∴a≤1. 3．已知f(x)＝|2x－a|＋|2x＋1|，g(x)＝|x＋1|－|3x－2|. (1)若f(x)≥2恒成立，求实数a的取值范围； (2)若存在实数x1，x2，

10、使得等式f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围． 解　(1)f(x)＝|2x－a|＋|2x＋1|≥|(2x－a)－(2x＋1)|＝|a＋1|， ∵f(x)≥2恒成立，∴|a＋1|≥2，解得a≥1或a≤－3， ∴实数a的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞)． (2)∵g(x)＝ ∴g(x)max＝g＝，g(x)无最小值， ∴g(x)∈，f(x)∈[|a＋1|，＋∞)， ∵存在实数x1，x2，使得f(x1)＝g(x2)成立， ∴|a＋1|≤，解得－≤a≤， ∴实数a的取值范围为. 4．设函数f(x)＝|2x＋a|－(x∈R，实数a>0)． (1)当a＝1时，求不等式

11、f(x)<0的解集； (2)函数f(x)的最小值为m，求证：m5－1≤m3－m2. 解　(1)当a＝1时，f(x)＝|2x＋1|－<0， 即|2x＋1|<， 两边平方可得(2x＋1)2<2， 解得x∈. 故原不等式的解集为. (2)证明：f(x)＝ 所以f(x)在上为减函数，在上为增函数，f(x)的最小值m＝f＝－≤－2＝－1，当且仅当＝即a＝1时取等号． 所以m3＋1≤0，m2－1≥0， 所以m5－1－(m3－m2)＝m3(m2－1)－1＋m2＝(m3＋1)(m2－1)≤0.所以m5－1≤m3－m2. 5．(2019·安徽皖南八校第三次联考)已知函数f(x)＝|3x－2

12、|－|2x－3|. (1)求不等式f(x)>x的解集； (2)若关于x的不等式f(x)<2a2＋a恰有3个整数解，求实数a的取值范围． 解　(1)由题意，函数f(x)＝|3x－2|－|2x－3|， 得f(x)＝ 因为f(x)>x，所以当x≤时，－x－1>x， 即x<－；当x，即x，即x≥. 所以不等式f(x)>x的解集为∪. (2)由(1)知f(x)的单调减区间为，单调增区间为，又f(－2)＝1，f(－1)＝0，f(0)＝－1，f(1)＝0，f(2)＝3， 所以0<2a2＋a≤1，所以－1≤a<－或0

13、为∪. 6．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m的值； (2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9. 解　(1)因为f(x＋2)＝m－|x|， 所以f(x＋2)≥0等价于|x|≤m. 由|x|≤m有解，得m≥0， 且其解集为{x|－m≤x≤m}． 又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1. (2)证明：由(1)知＋＋＝1， 又a，b，c∈R＋， 所以a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c) ＝1＋＋＋＋1＋＋＋＋1 ＝3＋＋＋＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当a＝3，b＝，c＝1时等号成立．