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1、变位螺旋齿轮传动设计
1、前言
螺旋齿轮传动是用来传递空间两交错轴之间的运动，就其单个齿轮来说，还是斜齿轮，所以，螺旋齿轮传动具有渐开线圆柱齿轮传动的普遍代表性。
本文介绍了有关变位螺旋齿轮传动设计的参数计算问题，包括公式的推导和方程组的求解，通过先确定中心距、轴交角等齿轮副啮合参数，然后再设计各齿轮参数来达到了实际设计应用的要求。
2、公式推导过程
一、无侧隙啮合方程式
对于螺旋传动的无侧隙啮合的共轭齿轮副，节圆法向齿距和节圆法向齿厚有关系式：
Pn'=Sn1'+Sn2' (以下齿轮几何要素代号均符号GB2821-81)
其中:
2、 πd'
Pn'= ── cosβ' (节圆法向齿距)
Z
d'
Sn'=(St─ - d'(invαt '-invαt ))cosβ' (节圆法向齿厚)
d
πd1' d1 '
∴ ──cosβ1 '=(St1 ── - d1 '(invαt1 '-invαt1 ))cosβ1 '
Z1
3、 d1
d2 '
+(St2 ── - d2 '(invαt2 '-invαt2 ))cosβ2 ' ------①
d2
d1 'cosβ1 ' d2 'cosβ2 '
又: Pn1'=Pn2' ∴ ───── = ───── ------②
4、 Z1 Z2
又: St=Sn／cosβ
d=Z*Mn／cosβ
St Sn
∴ ── = ── -------③
d Z*Mn
将②③式代入①中，化简得：
变位螺旋齿轮传动无侧隙啮合方程式：
Z1*invαt1 '+Z2*invαt2 '=(Sn1+Sn2)／Mn+Z1*invαt1 +Z2*invαt2
5、 -π
即：Z1*invαt1 '+Z2*invαt2 '=2*(xn1+xn2 )tgαn +Z1*invαt1 +Z2*invαt2 ----④
二、变位螺旋齿轮传动方程组
对于螺旋齿轮传动副，我们可概括地列出下列方程组：
┏ Z1*invαt1 '+Z2*invαt2 '=2*(xn1 +xn2 )tgαn +Z1*invαt1 +Z2*invαt2
┫ a'=(d1 '+d2 ')／2 (齿轮无侧隙啮合中心距)
┗ ∑=β1 '±β2 ' (齿轮无侧隙啮合轴交角,螺旋方向相同时取"+")
其中: d'=d*cosαt ／cosαt
6、 '
d'
tgβ'=─ tgβ
d
为了求解此方程组，首先来看一看分度圆上端面压力角αt1 、αt2 和节圆上端面压力角αt1 '、αt2 '的关系：
∵ tgαt = tgαn ／cosβ
tgαt1 cosβ2
∴ ─── = ─── -------⑤
tgαt2 cosβ1
sinαt1 ' cosαt1 '*cosβ2 '
7、
∴ ────= ──────── -------⑥
sinαt2 ' cosαt2 '*cosβ1 '
又由②式可得：
Z1 d1 'cosβ1 '
─ = ───── -------⑦
Z2 d2 'cosβ2 '
又∵ d=Z*Mt=Z*Mn／cosβ
Z1 d1 *cosβ1
∴ ─ = ───── -------⑧
Z2 d2 *cosβ2
由⑦⑧式可得：
8、 d1 'cosβ1 ' d1 *cosβ1
─────＝───── -------⑨
d2 'cosβ2 ' d2 *cosβ2
d
又：cosαt '=─ cosαt (节圆端面压力角) -----⑩
d'
由⑤⑥⑨⑩可得：
sinαt1 ／sinαt2 = sinαt1 '／sinαt2 ' ----⑾
对原方程组化简后得：
┏ Z1*invαt1 '+Z2*invαt2 '=2*(xn1 +xn2 )tgαn +
9、Z1*invαt1 +Z2*invαt2
┃
┃ Z1*Mn*cosαt1 Z2*Mn*cosαt2
┃ 2*a'= ─────── + ───────
┃ cosβ1 *cosαt1 ' cosβ2 *cosαt2 '
┫
┃ cosαt1 *tgβ1 cosαt2 *tgβ2
┃ ∑= arctg(───────)±arctg(───────)
┃ cosαt1 ' cosαt2 '
┃
┗ sinα
10、t1 ／sinαt2 = sinαt1 '／sinαt2 '
在齿轮强度设计、结构设计后，确定了齿数、模数、压力角、中心距和轴交角等参数后，即已知Z1、Z2、Mn、αn 、a'和Σ。在此方程组中，如果再给定一个齿轮的螺旋角β1，即可求出齿轮副总变位系数(xn1+xn2 )和另一个齿轮的螺旋角β2，如果给出总变位系数(xn1+xn2 )，则可求出齿轮的分度圆螺旋角β1 和β2 。
三、螺旋传动各齿轮的参数
在变位齿轮无侧隙啮合传动中，要保证标准顶隙，则齿轮高要减短σ*m，称σ为齿顶高变动系数，那么，变位螺旋齿轮传动中，齿顶高变动系数为多少?
首先来分析分度圆分离系数，设yn 为法面
11、上分度圆分离系数，则：
yn*Mn=a'-a=a'-(d1 +d2 )／2
a' Z1 Z2
∴ yn = ─ -(─── + ───)／2 (分度圆分离系数方程式) -------⑿
Mn cosβ1 cosβ2
当两轮作无侧隙啮合时，中心距为：
a'=( d1 +d2 )／2+ yn*Mn= r1 + r2 + yn*Mn -------⒀
又:当两轮保证标准顶隙c= cn * Mn安装时，中心距为：
a"= ra1
12、+c+ hf2
= r1 + ha1 +c+ r2 - hf2
= r1 + r2 +Mn(han* + xn1 )+ cn* Mn -Mn(han* + cn* - xn2 )
= r1 + r2 +( xn1 + xn2 )Mn -------⒁
由⒀⒁式可得：保证标准顶隙无侧隙啮合时，齿顶高变动系数为：
σn =(a"-a')/Mn=( xn1 + xn2 )- yn -------⒂
所以齿轮的齿顶高为：
ha = han*Mn+ xn*Mn- σn*Mn=( han + xn -σn )Mn
除齿顶高外，齿轮的其余参数均可按斜齿圆柱齿轮的公式计算。
3、小结
至此，已解决了有关变位螺旋齿轮传动设计的参数计算问题，包括公式的推导和方程组的求解，达到了实际设计应用的要求。值得一提的是：这些公式和计算过程，给定特定的约束，即成了各种圆柱齿轮传动形式的计算公式，如：轴交角为零，则为平行轴的斜齿圆柱齿轮传动；轴交角和螺旋角为零，则为直齿圆柱齿轮传动；轴交角和螺旋角为零，大轮齿数为负和中心距为负，则为内啮合齿轮传动。
变位螺旋齿轮传动设计
