2018届中考数学复习 专题三 圆的证明与计算试题

《2018届中考数学复习 专题三 圆的证明与计算试题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018届中考数学复习 专题三 圆的证明与计算试题（8页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 专题三 圆的证明与计算 类型一 切线的判定 判定某直线是圆的切线，首先看是否有圆的半径过直线与圆的交点，有半径则证垂直；没有半径，则连接圆心与切点，构造半径证垂直． (2016·黄石)如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B)，AD⊥CD， (1)若BC＝3，AB＝5，求AC的值； (2)若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线． 【分析】 (1)根据直径所对的圆周角为直角，利用勾股定理求AC的长；(2)连接OC，利用AC是∠DAB的平分线，证得∠OAC＝∠CAD，再结合半径相等，可得OC∥AD，进而结论得证． 1．(

2、2016·六盘水)如图，在⊙O中，AB为直径，D，E为圆上两点，C为圆外一点，且∠E＋∠C＝90°. (1)求证：BC为⊙O的切线； (2)若sin A＝，BC＝6，求⊙O的半径． 2．(2017·济宁)如图，已知⊙O的直径AB＝12，弦AC＝10，D是的中点，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)求AE的长． 类型二 切线的性质 已知某条直线是圆的切线，当圆心与切点有线段连接时，直接利用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；当圆心与切点没有线段相连时，则作辅助线连接圆心与切点，再利用切线的性质

3、解题． (2016·资阳)如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连接BD. (1)求证：∠A＝∠BDC； (2)若CM平分∠ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM＝1时，求MN的长． 【分析】 (1)连接OD，由切线的性质可得∠CDB＋∠ODB＝90°，由AB是直径，可得∠ADB＝90°，进而可得∠A＋∠ABD＝90°，进而求得∠A＝∠BDC；(2)由角平分线及三角形外角性质可得∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，再根据勾股定理求得MN的长． 3．(2016·南平)如图，PA，PB是

4、⊙O切线，A，B为切点，点C在PB上，OC∥AP，CD⊥AP于点D. (1)求证：OC＝AD； (2)若∠P＝50°，⊙O的半径为4，求四边形AOCD的周长(精确到0.1，参考数据sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19)． 4．(2017·长沙)如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，＝. (1)求证：OA＝OB； (2)已知AB＝4，OA＝4，求阴影部分的面积． 类型三 圆与相似的综合 圆与相似的综合主要体现在圆与相似三角形的综合，一般结合切线的判定及性质综合考查，求线段长或

5、半径．一般的解题思路是利用切线的性质构造角相等，进而构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求出所求线段或半径． (2016·荆门)如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为点E. (1)求证：CE是⊙O的切线； (2)若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径． 【分析】 (1)连接CO，证得∠OCA＝∠CAE，由平行线的判定得到OC∥FD，再证得OC⊥CE即可；(2)连接BC，由圆周角定理得到∠BCA＝90°，再证得△ABC∽△ACE，根据相似三角形的性质即可求得半径．

6、5．(2017·德州)如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC的中点．以AC为直径的⊙O交AB于点E. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE的长． 6．(2017·黄冈)如图，已知MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN. 求证：(1)DE是⊙O的切线； (2)ME2＝MD·MN. 7．(2016·丹东)如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E. (1)求证：∠BDC＝∠A；

7、 (2)若CE＝4，DE＝2，求AD的长． 参考答案 【例1】 (1)∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上， ∴∠ACB＝90°， ∴AC＝＝4. (2)如图，连接OC， ∵AC平分∠DAB， ∴∠OAC＝∠CAD. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠OCA＝∠CAD， ∴OC∥AD. ∵AD⊥CD，∴OC⊥CD. ∵OC是⊙O的半径，∴直线CD是⊙O的切线． 【变式训练】 1．(1)证明：∵∠A与∠E所对的弧都是， ∴∠A＝∠E. ∵∠E＋∠C＝90°，∴∠A＋∠C＝90°， ∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝90°.

8、即AB⊥BC. ∵AB是直径，∴BC为⊙O的切线． (2)解：∵sin A＝＝，BC＝6，∴AC＝10. 在Rt△ABC中，AB＝＝8， ∴AO＝AB＝4，即⊙O的半径是4. 2．(1)证明：如图，连接OD.∵D是的中点，∴＝， ∴∠BOD＝∠BAE，∴OD∥AE. ∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°. ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O 的切线． (2)解：如图，过点O作OF⊥AC于点F. ∵AC＝10， ∴AF＝CF＝AC＝×10＝5. ∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°， ∴四边形OFED是矩形， ∴FE＝OD＝AB＝6， ∴AE＝AF

9、＋FE＝5＋6＝11. 【例2】 (1)如图，连接OD， ∵CD是⊙O的切线， ∴∠ODC＝90°， ∴∠BDC＋∠ODB＝90°. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠A＋∠ABD＝90°. ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠A＋∠ODB＝90°，∴∠A＝∠BDC. (2)∵CM平分∠ACD，∴∠DCM＝∠ACM. ∵∠A＝∠BDC， ∴∠A＋∠ACM＝∠BDC＋∠DCM. 即∠DMN＝∠DNM. ∵∠ADB＝90°，DM＝1，∴DN＝DM＝1， ∴MN＝＝. 【变式训练】 3．(1)证明：∵PA是⊙O的切线，A为切点， ∴O

10、A⊥PA，即∠OAD＝90°. ∵OC∥AP， ∴∠COA＝180°－∠OAD＝180°－90°＝90°. ∵CD⊥PA，∴∠CDA＝∠OAD＝∠COA＝90°， ∴四边形AOCD是矩形，∴OC＝AD. (2)解：∵PB切⊙O于点B，∴∠OBP＝90°. ∵OC∥AP，∴∠BCO＝∠P＝50°. 在Rt△OBC中，sin∠BCO＝，OB＝4， ∴OC＝≈5.22， ∴矩形OADC的周长为2(OA＋OC)＝2×(4＋5.22)≈18.4. 4．(1)证明：如图，连接OC. ∵AB与⊙O相切于点C， ∴∠ACO＝90°. ∵＝， ∴∠AOC＝∠BOC， ∴∠A＝∠

11、B， ∴OA＝OB. (2)解：由(1)可知△OAB是等腰三角形， ∴BC＝AB＝2，∴sin∠COB＝＝， ∴∠COB＝60°，∴∠B＝30°， ∴OC＝OB＝2，∴S扇形OCE＝＝， S△OCB＝×2×2＝2， ∴S阴影＝S△OCB－S扇形OCE＝2－. 【例3】 (1)如图，连接CO， ∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC. ∵AC平分∠FAB，∴∠OAC＝∠FAC， ∴∠OCA＝∠FAC，∴OC∥FD. ∵CE⊥FD，∴CE⊥OC. ∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线． (2)如图，连接BC， 在Rt△ACE中，AC＝＝. ∵AB是⊙O的直径，∴∠

12、BCA＝90°， ∴∠BCA＝∠CEA. ∵∠CAE＝∠BAC，∴△ACE∽△ABC， ∴＝，即＝，∴AB＝5， ∴AO＝AB＝2.5即⊙O的半径是2.5. 【变式训练】 5．(1)证明：如图，连接OE，CE. ∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC＝∠BEC＝90°. ∵D是BC的中点， ∴ED＝BC＝DC，∴∠1＝∠2. ∵OE＝OC，∴∠3＝∠4， ∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠OED＝∠ACD. ∵∠ACD＝90°，∴∠OED＝90°，即OE⊥DE. 又∵E是⊙O上一点， ∴DE是⊙O的切线． (2)解：由(1)知∠BEC＝90°. 在Rt△BEC与Rt△

13、BCA中，∠B为公共角， ∴△BEC∽△BCA， ∴＝， 即BC2＝BE·BA. ∵AE∶EB＝1∶2，设AE＝x，则BE＝2x，BA＝3x. 又∵BC＝6，∴62＝2x·3x.∴x＝，即AE＝. 6．证明：(1)∵ME平分∠DMN，∴∠OME＝∠DME. ∵OM＝OE，∴∠OME＝∠OEM， ∴∠DME＝∠OEM，∴OE∥DM. ∵DM⊥DE，∴OE⊥DE. ∵OE是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线． (2)如图，连接EN， ∵DM⊥DE，MN为⊙O的直径， ∴∠MDE＝∠MEN＝90°， ∵∠NME＝∠DME， ∴△MDE∽△MEN， ∴＝， ∴ME2＝MD·MN. 7．(1)证明：如图，连接OD， ∵CD是⊙O的切线， ∴∠ODC＝90°. 即∠ODB＋∠BDC＝90°. ∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°. 即∠ODB＋∠ADO＝90°. ∴∠BDC＝∠ADO. ∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A. (2)解：∵CE⊥AE，∴∠E＝90°， ∴DB∥EC，∴∠DCE＝∠BDC. ∵∠BDC＝∠A，∴∠A＝∠DCE. 又∵∠E＝∠E，∴△AEC∽△CED， ∴＝，∴CE2＝DE·AE，即16＝2(2＋AD)．∴AD＝6. 8