2、长．
第2题图
类型二 8字型(有一组对顶角)
3. (2016抚顺)如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数y＝(x＜0)的图象上，顶点B、C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是6，则k的值为( )
A. －6 B. －8 C. －9 D. －12
第3题图
4. (2017眉山)如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交DC于G.
(1)求证：BG＝DE;
(2)若点G为CD的中点，求的值．
第4
3、题图
类型三 母子型(有一个公共角，及一边共用)
∠A公共角，AC为公共边
∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB
5. (2015上海)已知：如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连接DE.
(1)求证：DE⊥BE；
(2)如果OE⊥CD，求证：BD·CE＝CD·DE.
第5题图
6. (2016成都)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以CB为半径作⊙C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接BD，BE.
(1)求证：△ABD∽△AEB；
(2)当＝时，求tanE;
(3)在(2)的条件下，作∠BAC的平分
4、线，与BE交于点F，若AF＝2，求⊙C的半径．
第6题图
类型四 双垂直型
7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E.
(1)求证：△ABD∽△CBE；
(2)若BD＝3，BE＝2，求AC的长．
第7题图
8. (2015陕西)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E.
(1)求证：∠BAD＝∠E；
(2)若⊙O的半径为5，AC＝8，求BE的长．
第8题图
类型五 一线三等角型
9. (2017宿迁)如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在
5、边BC上移动(点E不与点B、C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．
(1)求证：△BDE∽△CEF;
(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.
第9题图
10. 如图，等边△ABC的边长为6，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，且∠EDF＝60°.
(1)求证：△BDE∽△CFD;
(2)当BD＝1，CF＝3时，求BE的长．
第10题图
类型六 三垂直型
11. (2017江西)如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°.
求证：△EBF∽△FCG.
6、第11题图
12. 如图，∠AOB＝90°，反比例函数y＝的图象过点B，若点A的坐标为(2，1)，BO＝2，求B的坐标和反比例函数的解析式．
第12题图
13. (2016达州)如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC，BC，过点O作OD⊥AC于点D，过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E，连接BD并延长交AE于点F.
(1)求证：AE·BC＝AD·AB；
(2)若半圆O的直径为10，sin∠BAC＝，求AF的长．
第13题图
15
答案
1. － 【解析】∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，∴AC∥BD，∴△OCE∽△ODB，∴＝(
7、)2，∵OC＝CD＝OD，∴＝()2＝，设S△OCE＝a，则S△ODB＝4a，∴S四边形BDCE＝3a，∴3a＝2，解得a＝，∴S△OBD＝4a＝，∵|k|＝S△ODB，即|k|＝，解得k＝±，∵反比例函数图象的一支在第二象限，∴k＜0，∴k＝－.
2. (1)证明：如解图，连接AE、OD，
第2题解图
∵∠ACB＝90°，
∴AE为⊙O的直径，
∴O为AE的中点，
又∵D为AB的中点，
∴OD为△AEB的中位线，
∴OD∥BE，
∴∠ODF＝∠DFB，
∵DF⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∴∠ODF＝90°，即OD⊥DF，
又∵OD是⊙O的半径，
∴DF为⊙
8、O的切线；
(2)解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝9，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得
AB＝＝＝3，
∵D为AB的中点，
∴BD＝AB＝，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∴∠BDE＝∠BCA＝90°，
又∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BCA，
∴＝，即＝，
解得DE＝.
3. D 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，又∵OE⊥BC，∠ACB＝∠ECO，∴△ABC∽△EOC，＝，∴BC·OE＝AB·OC，即S△DCO＝S△BCE＝6，∴|k|＝2S△DCO＝12，∵反比例函数图象在第二象限，∴k＜0，∴k＝－12.
4. (1)证明
9、：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
∴∠DCE＝90°，即∠BCD＝∠DCE，
∴∠E＋∠CDE＝90°，
∵BF⊥DE，
∴∠E＋∠EBF＝90°，
∴∠EBF＝∠CDE，
在△BCG和△DCE中，
，
∴△BCG≌△DCE(ASA)，
∴BG＝DE；
(2)解：∵G是CD的中点，
∴CG＝GD，
则AB＝BC＝CD＝2CG，
在Rt△BCG中，BG＝＝CG，
∵∠DFG＝∠BCG＝90°，∠DGF＝∠BGC，
∴△DGF∽△BGC，
∴＝，即＝，
∴GF＝CG，
∵AB∥CD，
∴△GHC∽△BHA，
∴＝，即＝，
∴
10、HG＝BH，
∴HG＝BG＝CG，
∴＝＝.
5. 证明：(1)∵OE＝OB，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴OE＝OD，
∴∠ODE＝∠OED，
∵在△BED中，∠OBE＋∠OEB＋∠OED＋∠ODE＝180°，
∴2∠OEB＋2∠OED＝180°，
∴∠OEB＋∠OED＝90°，
即∠BED＝90°，
∴DE⊥BE；
(2)如解图，设OE交CD于点H.
第5题解图
∵OE⊥CD，
∴∠CHE＝90°，
∴∠CEH＋∠DCE＝90°，
∵∠CED＝90°，
∴∠CDE＋∠DCE＝90°，
∴∠CDE＝∠
11、CEH，
∵∠OEB＝∠OBE，
∴∠OBE＝∠CDE，
又∵∠CED＝∠BED，
∴△CED∽△DEB，
∴＝，即BD·CE＝CD·DE.
6. (1)证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD＋∠DBC＝90°，
∵CB＝CE，
∴∠CBE＝∠E，
∵DE是⊙C的直径，
∴∠DBE＝90°，
∴∠DBC＋∠CBE＝∠DBC＋∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE＝∠E，
又∵∠BAD＝∠EAB，
∴△ABD∽△AEB；
(2)解：令AB＝4x，则BC＝3x，由勾股定理得AC＝5x，
∵CD＝BC＝3x，
∴AD＝2x，AE＝8x，
由(1)知，△ABD∽
12、△AEB，
∴＝＝，
∴＝＝，
∵∠DBE＝90°，
∴tanE＝＝；
(3)解：如解图，过点A作EB延长线的垂线，垂足为点G，
第6题解图
∵AF平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
又∵BC＝CE，
∴∠3＝∠E，
在△BAE中，有∠1＋∠2＋∠3＋∠E＝180°－90°＝90°，
∴∠4＝∠2＋∠E＝45°，
∴△GAF为等腰直角三角形，
∵AF＝2，
∴AG＝，
由(2)可知，AE＝8x，tanE＝，
∴AG＝AE＝x，
即x＝，
解得x＝，
∴半径r＝3x＝.
7. (1)证明：∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AB，
13、∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE；
(2)解：∵BD＝3，
∴BC＝2BD＝6，
∵△ABD∽△CBE，
∴＝，即＝，
解得AB＝9，
∴AC＝AB＝9.
8. (1)证明：∵⊙O与DE相切于点B，AB为⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠BAE＋∠E＝90°，
又∵∠DAE＝90°，
∴∠BAD＋∠BAE＝90°，
∴∠BAD＝∠E；
(2)解：如解图，连接BC，
第8题解图
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝8，AB＝2×5＝10，
∴BC＝＝6，
∵∠BCA＝∠ABE＝90°，∠BA
14、D＝∠E，
∴△ABC∽△EAB，
∴＝，即＝，
∴BE＝.
9. 证明：(1)∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＋∠BED＋∠EDB＝180°，∠BED＋∠DEF＋∠FEC＝180°，∠DEF＝∠B，
∴∠EDB＝∠FEC，
∵∠B＝∠C，
∴△BDE∽△CEF；
(2)由(1)知△BDE∽△CEF，
∴＝，
∵BE＝CE，
∴＝，
又∵∠B＝∠C＝∠DEF，
∴△EDF∽△CEF，
∴∠DFE＝∠EFC，
∴FE平分∠DFC.
10. (1)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠BED＋∠EDB＝180°－60°＝120°，
15、
∵∠EDF＝60°，
∴∠EDB＋∠FDC＝180°－60°＝120°，
∴∠BED＝∠FDC，
∴△BDE∽△CFD；
(2)解：由(1)知△BDE∽△CFD，
∴＝，
∵BC＝6，BD＝1，
∴CD＝BC－BD＝5，
∴＝，
解得BE＝.
11. 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BEF＋∠EFB＝90°，
∵∠EFG＝90°，
∴∠EFB＋∠CFG＝180°－90°＝90°，
∴∠BEF＝∠CFG，
∴△EBF∽△FCG.
12. 解：如解图，分别过点A、B作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，
第12题解图
则∠
16、ACO＝∠BDO＝90°，
∴∠1＋∠2＝90°，
又∵∠AOB＝90°，
∴∠2＋∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
∴△BOD∽△OAC，
∴＝＝，
∵A(2，1)，
∴OC＝2，AC＝1，OA＝，
又∵BO＝2，
∴＝＝，
∴OD＝2，BD＝4，
∴B(－2，4)．
把B(－2，4)代入y＝得k＝－8，
∴反比例函数的解析式为y＝－.
13. (1)证明：∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＋∠ABC＝90°，
∵AE为半圆O的切线，
∴∠BAE＝90°，
∴∠EAD＋∠BAC＝90°，
∴∠EAD＝∠ABC，
∵OD⊥AC，
17、
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，
∴△EAD∽△ABC，
∴＝，
∴AE·BC＝AD·AB；
(2)解：如解图，设BF与半圆O交于点G，连接AG，则∠AGB＝∠ACB＝90°，
第13题解图
∵∠ADG＝∠BDC，
∴△ADG∽△BDC，
∴＝，
∵在Rt△ABC中，BC＝AB·sin∠BAC＝10×＝6，
∴AC＝＝8，
∵OD⊥AC，
∴AD＝CD＝AC＝4，
∴＝＝＝，
设AG＝3x，则DG＝2x，由勾股定理得AG2＋DG2＝AD2，即9x2＋4x2＝42，
解得x＝，则AG＝，
∴BG＝＝，
∵∠AFG＋∠FAG＝90°，∠FAG＋∠GAB＝90°，
∴∠AFG＝∠BAG，
∴△AGF∽△BGA，
∴＝，即＝，
∴AF＝.
2018年中考数学专题复习 过关集训 第四单元 三角形 第7课时 相似三角形的综合应用练习 新人教版
