2018年秋九年级数学上册 第28章 圆 专题训练(六)圆中作辅助线的四种技巧练习 （新版）冀教版

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1、 专题训练(六)　圆中作辅助线的四种技巧 技巧一　利用直径构造直角三角形 1． 如图6－ZT－1，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD＝60°， ∠ADC＝50°，求∠CEB的度数． 图6－ZT－1 2．如图6－ZT－2，已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是优弧的中点． (1)求证：OP∥BC. (2)连接PC交直径AB于点D，当OC＝DC时，求∠PAO的度数． 图6－ZT－2 技巧二　利用圆周角与圆心角的关系构造直角三角形 2． 如图6－ZT－3，A，B

2、，C是半径为6的⊙O上的三个点．若∠BAC＝45°，则弦 BC＝________． 图6－ZT－3 图6－ZT－4 技巧三　综合利用圆的性质构造直角三角形 4．如图6－ZT－4，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD.已知DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦BC的弦心距等于(　　) A. B. C．4 D．3 5．如图6－ZT－5，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为的中点，P是直径MN上一动点，求PA＋PB的最小值． 图6

3、－ZT－5 技巧四　利用性质巧作圆 6． 如图6－ZT－6，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为(　　) A．68° B．88°C．90° D．112° 图6－ZT－6 教师详解详析 1．解：连接BC，则∠ABC＝∠ADC＝50°. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝40°. ∵∠CEB＝∠ACD＋∠BAC，∠ACD＝60°， ∴∠CEB＝60°＋40°＝100°. 2．解：(1)证明：连接AC，延长PO交AC于点H，如图． ∵P是优弧的中点， ∴PH⊥

4、AC. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC⊥AC， ∴OP∥BC. (2)如图，∵P是优弧的中点， ∴PA＝PC， ∴∠PAC＝∠PCA. ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠PAO＝∠PCO. 当CO＝CD时，设∠DCO＝x， 则∠OPC＝x，∠PAO＝x. ∵OA＝OP，∴∠PAO＝∠APO， ∴∠POD＝2x， ∴∠ODC＝∠POD＋∠OPC＝3x. ∵CD＝CO， ∴∠DOC＝∠ODC＝3x. 在△POC中，x＋x＋2x＋3x＝180°， 解得x＝， 即∠PAO的度数为. 3．6 　[解析] 连接OB，OC. ∵∠BA

5、C＝45°，∴∠BOC＝2∠BAC＝90°. ∵OB＝OC＝6，∴BC＝＝6 . 故答案为6 . 4．D　[解析] 过点A作AH⊥BC于点H，作直径CF，连接BF. ∵∠BAC＋∠EAD＝180°， 而∠BAC＋∠FAB＝180°， ∴∠EAD＝∠FAB. 在△ADE和△ABF中，∵ ∴△ADE≌△ABF， ∴DE＝BF＝6. ∵AH⊥BC，∴CH＝BH， 而CA＝AF，∴AH为△CBF的中位线， ∴AH＝BF＝3.故选D. 5．解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA，OB，OB′，AB′， 则AB′与MN的交点即为PA＋PB值最小时的点P，PA＋PB的最小值为AB′. ∵∠AMN＝30°， ∴∠AON＝2∠AMN＝2×30°＝60°. ∵B为的中点， ∴∠BON＝∠AON＝×60°＝30°， 由对称性，知∠B′ON＝∠BON＝30°， ∴∠AOB′＝∠AON＋∠B′ON＝60°＋30°＝90°， ∴AB′＝OA＝×1＝， 即PA＋PB的最小值为 . 6．B　[解析] 如图，∵AB＝AC＝AD， ∴点B，C，D在以点A为圆心，以AB的长为半径的圆上． ∵∠CBD＝2∠BDC， ∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC， ∴∠CAD＝2∠BAC.∵∠BAC＝44°， ∴∠CAD＝88°. 故选B. 7