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1、
第十五讲：等腰直角三角形
如图，在等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D.
基本性质：1．边：AB=AC，DA=DB=DC=BC；
2．角：∠BAC=∠ADB=∠ADC=90°；
∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°；
3．形：等腰Rt△ABC，等腰Rt△ABD，等腰Rt△ACD.
第一部分【能力提高】
一、如图，M为等腰Rt△ABC斜边BC的中点，D为AB上一点，ME⊥MD交直线AC于点E.
（1）求证：MD=ME；
其它结
2、论：①AD+AE=AB；②BD+CE=AB；③△MDE为等腰直角三角形；④.
（2）如图，若D为AB反向延长线上一点，其它条件不变， 请完成图形并探究（1）中的结论.
二、如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．
（1）求证：DE平分∠BDC；
（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．
三、如图，M为等腰Rt△ABC直角边AC的中点，AE⊥BD交BC于点E，连结DE.
（1）求证：①∠ADB=∠CDE；②AE+DE=BD
3、；
（2）如图2，若AM=CN，AE⊥BM交BC于点E，BM、EN交于点P.
求证：①∠AMB=∠CNE；②AE+PE=BP.
四、如图1，在等腰Rt△ABC中，D为直线BC上一点，过点D作AD的垂线DE，过点B作AB的垂线BE.
（1）求证：AD=DE；
（2）拓展变化一：图形的演变（纵深演变）
如图2和图3中，当D分别在BC的延长线或反向延长线上时，求证：AD=DE；
4、
（3）拓展变化二：条件的演变（横向演变）
如图4，图5，图6中，等腰Rt△ABC中，D为直线BC上一点，以AD为腰作等腰Rt△ADE，连接BE，求证AB⊥BE.
第二部分【综合运用】
五、（1）如图，等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，P为△ABC形外一点，∠APB=90°，求证：∠APC=∠BPC=45°；
（2）如图，等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，P为△ABC形外一点，∠APC=45°，求证：∠APB
5、=90°；
（3）如图，等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，P为△ABC形外一点，CP平分∠APB，求证：∠APB=90°（∠APC=∠BPC=45°）；
（4）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，P为△ABC形外的一点，∠APC=∠BPC=45°，求证：AC=BC；
（5）如图，在等腰△ABC中，AC=BC，P为△ABC形外的任一点，且∠APC=∠BPC=45°，求证：∠ACB=90°；
6、
（6）如图，在（1）～（5）的条件下，过C作CH⊥AP于点H.
求证：①PA+PB=2PH；②PA-PB=2AH；
（7）如图，当P点、C点在直线AB的同侧，类同（1）～（6）的条件、结论，进行探究.
六、如图，以任意△ABC的两边AB、AC为腰作两个等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，连接BE、CD交于点O.
（1）求证：BE=CD；
（2）求∠BOC的度数；
（3）连接AO，求证：AO平分∠DOE；
（4）M、N分别为CD、BE的中点，判断△AMN的形状，并证明你的结论.
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2018年七年级升八年级数学 暑期衔接班讲义 第十五讲 等腰直角三角形（无答案） 新人教版
