2018年中考数学试题分类汇编 知识点33 圆的基本性质

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1、 知识点33 圆的基本性质 一、选择题 1. （2018浙江衢州，第5题，3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数是（ ） 第5题图 A．75° B．70° C．65° D．35° 【答案】B 【解析】本题考查了圆周角定理等知识，解题的关键是明确圆周角定理．∵∠AOB与∠ACB所对的弧相等，∠AOB是圆心角，∠ACB是圆周角，故得到∠AOB=70°，故选B. 【知识点】圆周角定理 2. （2018浙江衢州，第10题，3分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2

2、cm，则OF的长度是（ ） A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm 【答案】D 【解析】本题考查了垂径定理、中位线定理、勾股定理等知识. 连接AB，因为AC为直径，AC⊥BD，故BE=ED，又因为OF⊥BC，根据垂径定理可知BF=CF，故可得知OF为△ABC的中位线，从而得到OF=0.5AB，易得BE=4,利用勾股定理得到AB的值，故解得。连接AB，因为AC为直径，故∠ABC为直角， 又∵AC⊥BD，∴BE=ED=8÷2=4，∵AE=2，根据勾股定理可得：AB= 又∵OF⊥BC，根据垂径定理可知BF=CF， 故可得知OF为△ABC的中位线

3、， ∴OF=AB=故选D。 第10题图 【知识点】垂径定理、中位线定理、勾股定理； 3. （2018甘肃白银，9，3） 如图，⊙A过点O(0,0),,D(0,1),点B是轴下方⊙A上的一点，连接BO,BD,则∠OBD的度数是（ ） A.15°，B.30° C.45° D.60° 【答案】B 【思路分析】由∠DOC=90°，于是想到连接DC由题意知DO=1,OC=,所以算出直径DC=2,由此得∠DCO=30°，所以∠OBD=∠OCD=30°。 【解题过程】连接DC. ∵在⊙A中，∠DOC=90°， ∴DC过圆心A,即DC是⊙A的直径。 ∵

4、,D(0,1） ∴DO=1,CO= ∴在RT△DOC中，CD= ∴∠DCO=30°。 ∴∠OBD=∠DCO=30°。 故选B 【知识点】90°的圆周角所对的弦是直径；一条直角边等于斜边的一半则这条直角边所对的角是30°；同弧所对的圆周角相等。 4. （2018山东聊城，7，3分）如图，中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB、OC.若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（ ） A.25° B.27.5° C.30° D.35° 【答案】C 【解析】∵∠A=60°，∠ADC=85°， ∴∠B=∠ADC

5、-∠A=85°-60°=25°， ∴∠O=2∠B=2×25°=50°， ∴∠C=∠ADC-∠O=85°-50°=30°， 【知识点】三角形内外角的关系、圆周角定理、 5. （2018年山东省枣庄市，8，3分）如图，是⊙的直径，弦交于点，，，则的长为（ ） A． B． C． D．8 【答案】C 【思路分析】过O作OE⊥CD于E，连接OD，在Rt△OEP中，由∠OPE=30°，OP=2计算OE的长；在Rt△OCE中，由OC和OE的长利用勾股定理计算CE的长；最后得出CD=2CE即可. 【解题过程】过O点作OE⊥CD于E，

6、 ∵，∴AB=8, ∴OA=OB=4, ∴OP=2, ∵∴OE=OP=1. 在Rt△OCE中，CE= ∵OE⊥CD，O是圆心， ∴CD=2CE=. 故选C. 【知识点】 垂径定理；勾股定理 6.（2018四川省南充市，第5题，3分）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是（ ） A．58° B．60° C．64° D．68° 【答案】A 【解析】解：∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB=90°，∵OA=OC，∠OAC=32°，∴∠C=∠OAC=32°，∴∠B=90°

7、 －32°=58°，故选A. 【知识点】直径所对圆周角是直角；等腰三角形的性质；直角三角形的两锐角互余 7. （2018江苏省盐城市，7，3分）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ADC＝35°，则∠CAB的度数为（ ）． A．35° B．45° C．55° D．65° 【答案】C 【解析】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝∠ADC＝35°，∴∠CAB＝65°．故选C. 【知识点】圆的基本性质 8. （2018山东省济宁市，4，3）如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是 (

8、 ) A.50° B.60° C.80° D.100° 【答案】D 【解析】先找出圆周角∠BCD所对的优弧度数为260°，再结合图形确定劣弧BD的度数为100°，从而根据圆心角∠BOD与劣弧BD的度数之间的相等关系，即∠BOD的度数是100°，因此，本题应该选D. 【知识点】圆周角 圆心角 9.(2018山东青岛中考，5，3分)如图，点在⊙O上，，点是的中点，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接OB，∵，点是的中点，∴∠AOB=∠AOC=70°．∵∠A

9、OB是所对的圆心角，∠D是所对的圆周角，∴∠D=∠AOB=35°．故选D． 【知识点】弧、弦、圆心角的关系；圆周角定理 10. （2018山东威海，10，3分）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC＝30°，则弦AB的长为( ) A． B．5 C． D． 【答案】D 【解析】如图，连接OA、OC，OC 交AB于点M．根据垂径定理可知OC垂直平分AB，因为∠ABC＝30°，故∠AOC＝60°，在Rt△AOM中，sin60°＝，故AM＝，即AB＝．故选D． 【知识点】垂径定理、锐角三角函数 1. (2018山东菏泽，6，3分)如

10、图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（ ） A．64° B．58° C．32° D．26° 【答案】D 【解析】∵OC⊥AB，∴=．∠ADC是所对的圆周角，∠BOC是所对的圆心角，∴∠BOC=2∠ADC=64°，∴∠OBA=90°－∠BOC=90°－64°=26°．故选D． 【知识点】垂径定理；圆周角定理及推论； 2. （2018四川遂宁，8，4分） 如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是（ ） A．5

11、 B．6 C．7 D．8 【答案】B. 【解析】解：设⊙O的半径为r，则OA=OE=OC=r， ∵OC⊥AB， ∴AD=AB=. ∵CD=1， ∴OD=r-1， ∴OD2+AD2=OA2， ∴(r-1)2+()2=r2, ∴r=4， ∴OD=3. ∵AE是⊙O的直径， ∴AB⊥BE， ∴OD∥BE， ∴BE=2OD=6. 故选B. 【知识点】垂径定理，勾股定理 3. （2018广东广州，7，3分）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC＝20°，则∠AOB的度数是（

12、） A．40° B．50° C．70° D．80° 【答案】D 【解析】因为∠AOC＝2∠ABC＝2×20°=40°，而OC⊥AB，所以=，从而有∠AOB＝2∠AOC＝2×40°=80°；故答案为D． 【知识点】垂径定理；圆周角定理 4. （2018贵州遵义，12题，3分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E，若DE=3，则AD的长为 A.5 B.4 C. D. 第12题图 【答案】D 【解析】连接BE，因为∠DAE=∠DBE，∠DAE=∠A

13、CB，所以∠DBE=∠ACB，因为BD是直径，所以∠BED=90°，∠DAB=90°，因为AD∥BC，所以∠ABC=180°-∠DAB=90°，所以∠BED=∠ABC，△BED∽△CBA，所以，得到BE=6，Rt△BED中，可得BD=，在Rt△ADB中，可得AD=，故选D 【知识点】圆的对称性，圆周角定理，相似三角形 5. （2018江苏淮安，8，3） 如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC=140°,则∠B的度数是 A. 70° B. 80° C. 110° D. 140° 【答案】C 【解析】分析：本题考查圆周角定

14、理，由 ∠AOC=140°可得优角∠AOC的度数，再由圆周角定理可得结果. 解：由∠AOC=140°可得优角∠AOC=220° 由圆周角定理可得 故选：C． 【知识点】圆周角定理；圆周角性质 6.（2018福建A卷，9，4）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于 ( ) A．40° B. 50° C. 60° D. 80° 【答案】D 【解析】根据同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半，即可求出结果. 解：∵ AB是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵∠ACB=

15、50°，∴∠A=90°-∠ACB=40°，∠BOD=2∠A=80°. 【知识点】圆；圆的有关性质；圆心角、圆周角定理 7. （2018福建B卷，9，4）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于 ( ) A．40° B. 50° C. 60° D. 80° 【答案】D 【解析】根据同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半，即可求出结果. 解：∵ AB是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵∠ACB=50°，∴∠A=90°-∠ACB=40°，∠BOD=2∠A=80°. 【知识点

16、】圆；圆的有关性质；圆心角、圆周角定理 8. （2018贵州安顺，T9，F3）已知O的直径CD= 10cm，AB是O的弦，AB丄CD,垂足为M, 且AB = 8cm,则AC的长为（ ） A. cm B. cm C. cm或 cm D. cm或 cm 【答案】C 【解析】由题可知，直径CD=10cm，AB丄CD, AB = 8cm,当点M在线段OC上时，OA=OC=5cm，AM=4cm.∵OA²=AM²+OM²，∴OM=3cm，即CM=OC-OM=2cm.由勾股定理，得AC²=AM²+CM²= cm. 当点M在线段OD上时，CM=OC+CM=8cm.由勾股定理，得AC²=AM

17、²+CM²=cm.故AC的长为 cm或 cm. 【知识点】垂径定理，勾股定理. 9.（2018四川雅安，12题，3分）如图，AB、CE是圆O的直径，且AB=4，，点M是AB上一动点，下列结论：①∠CED=∠BOD；②DM⊥CE；③CM+DM的最小值为4；④设OM为x，则S△OMC=x，上述结论中，正确的个数是 第12题图 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】①∠CED=∠COD，因为，所以∠COD=∠BOD，所以∠CED=∠BOD，正确；②M是直径AB上一动点，而CE确定，因此DM⊥CE不一定成立，错误；③因为DE⊥AB，所以D和

18、E关于AB对称，因此CM+DM的最小值在M和O重合时取到，即CE的长，因为AB=4，所以CE=AB=4，③正确；④连接AC，因为，所以∠COA=60°，则△AOC为等边三角形，边长为2，过C作CN⊥AO于N，则CN=，△COM中，以OM为底，OM边上的高为CN，所以，故④错误。综上，共2个正确，选B。 第12题解图 【知识点】圆的对称性，圆周角定理，最小值问题，等边三角形，三角形面积 10. （2018武汉市，10，3分）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB＝4，则BC的长是（ ） A． B．

19、 C． D． 【答案】B 【思路分析】连接OD，过C作CE⊥AB于E，过O作OF⊥CE于F，四边形OFED为正方形；连接AC、DC，由折叠及圆内接四边形的性质可得CA=CD，可求得ED=1，再求出CE的长，可求得BC的长. 【解题过程】连接AC、DC、OD，过C作CE⊥AB于E，过O作OF⊥CE于F，∵沿BC折叠，∴∠CDB=∠H，∵∠H+∠A=180°，∴∠CDA+∠CDB=180°，∴∠A=∠CDA，∴CA=CD，∵CE⊥AD，∴AE=ED=1，∵，AD=2，∴OD=1，∵OD⊥AB，∴OFED为正方形，∴OF=1，，∴CF=2，CE=3，∴.

20、 第10题答图 【知识点】轴对称的性质 圆内接四边形的性质 正方形的性质与判定 等腰三角形的性质与判定 勾股定理 11. （2018四川自贡，9，4分）如图，若⊿内接于半径为的⊙ ,且,连接，则 边的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图所示，延长CO交⊙于点D，连接BD， ∵，∴.∵CD是直径，∴. 在Rt△BCD中，，∴，故选择D. 【知识点】圆周角定理，解直角三角形 12. （2018湖北省襄阳市，10

21、，3分）如图，点A、B、C、D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为(▲) A.4 B. C. D. 【答案】 【解析】解：AO与BC交于点E， ∵OA⊥BC，OA为半径， ∴弧AC=弧AB，CE=BE， ∴∠AOB=2∠ADC=60°， 在Rt△BOE中，∵∠BOE=60°， ∴BE=OB·sin60°=， ∴BC=2BE=. 故选D. 【知识点】垂径定理、圆周角定理、特殊角的三角函数 13. （2018 湖南张家界，6，3分）如图,是⊙的直径,弦 ⊥于点,,则( )

22、 （6题图） 【答案】A 【解析】解：∵弦⊥于点，， ∴ ∴AE=OA+OE=5+3=8cm. 【知识点】垂径定理，勾股定理 14. （2018山东省泰安市，12，3）如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【思路分析】是Rt的斜边，连接OP，则OP是Rt斜边的中线，求的最小值的问题就转化为求OP最小值的问题，连接OM交于点P，此时OP取得最小值.

23、 【解题过程】解;连接MO，交于点P，则点P就是所求的点，过点P作 过点M作， ∵的坐标为 ∴ ∴由勾股定理得; 又∵ 又∵OP是Rt的中线 ∴ 【知识点】直角三角形性质，相似三角形性质，两点之间线段最短 15. （2018陕西，9，3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，∠BCA=65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（ ） A．15° B．35° C．25° D．45° 【答案】A 【思路分析】先求出∠ABC和∠A的度数，然后根据圆周角和平行线的性质求出∠ABD的度数，

24、即可求出∠DBC的度数． 【解题过程】∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=65°． ∴∠A=180°－65°×2=50°． ∴∠D=∠A＝50°． ∵CD∥AB, ∴∠ABD=∠D=50°． ∴∠DBC=∠ABC－∠ABD=65°－50°=15°．故选择A． 【知识点】圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的性质 二、填空题 1. （2018江苏无锡，16，3分）如图，点A、B、C都在上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA=AB，则∠ABC= . 【答案】15° 【思路分析】利用圆的半径相等，OC⊥OB，OA=AB，可以证明△OBC是等腰直角三角形

25、、△ABO是等边三角形，进而利用特殊三角形的性质求得结论. 【解题过程】∵OC⊥OB，OB=OC， ∴∠CBO=45°. ∵OB=OA=AB， ∴∠ABO=60°. ∴∠ABC=∠ABO-∠CBO=60°-45°=15°. 【知识点】圆的基本性质、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质 2. （2018四川省达州市，16，3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝5，点D是BC边上一点且CD＝1，点P是线段DB上一动 ，连接AP，以AP为斜边在AP的下方作等腰Rt△AOP.当点P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长为___________．

26、 第16题图 【答案】2 【解析】如图，以AC为斜边在AC的右下方作等腰Rt△AEC,以AD为斜边在AD的右下方作等腰Rt△AMD，以AB为斜边在AB的下方作等腰Rt△ANB，连接NM并延长，则点E、点C在NM的延长线上. ∵∠C＝90°，∠ANB＝90°， ∴A、C、B、N四点共圆. ∴∠ANC＝∠ABC．∴△ANE∽△ABC． ∴＝． 在等腰Rt△AEC中，AC＝2，∴AE＝． ∵＝，∴NE＝． 当点P与点C重合时，点O的位于点E的位置．当点P从点D出发运动至点B停止时，点O的从点M出发运动至点N．∵＝，∴＝，∴MN＝2． 【知识点】圆的基本性质；四点共

27、圆；相似三角形的判定与性质，比例的性质 3. （2018浙江绍兴，14，3分） 等腰三角形中，顶角为，点在以为圆心，长为半径的圆上，且，则的度数为 ． 【答案】或 【解析】 （1） 如下图：BP=BA=AC，AP=BC， ∴四边形APBC为平行四边形， ∴∠BAC=∠ABP=40°∠ABC=∠ACB=70° ∴∠PBC=∠ABP＋ABC=70°+40°=110° 第14题(1)答图 (2) 由AP=BC，BP=AC，AB=AB; ∴△BAP∽△ABC，∠PBA=∠BAC=40°; ∴∠PBC=∠ABC－∠ABP=70°－40°=30°

28、 第14题(2)答图 【知识点】圆的相关定义、平形四边形的判定和性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质。 4. （2018湖南长沙，18题，3分）如图，点A，B，D在圆O上，∠A=20°，BC是圆O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB=______度。 第18题图 【答案】50° 【解析】∠A=20°，由圆周角定理，∠O=2∠A=40°，因为BC与圆O相切，所以OB⊥BC，∠OBC=90°，所以Rt△OBC中，∠OCB=90°-∠O=50° 【知识点】圆周角定理，切线性质，直角三角形 5. （2018山东临沂，18，3分）如图，在△ABC中，∠A

29、＝60°，BC＝5cm.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形片的直径是 cm． 第18题图 【答案】 【解析】能够将△ABC完全覆盖的最小圆形片是如图所示的△ABC外接圆⊙O，连接OB，OC，则∠BOC=2∠BAC=120°，过点D作OD⊥BC于点D，∴∠BOD=∠BOC=60°，由垂径定理得BD=BC=cm，∴OB=，∴能够将△ABC完全覆盖的最小圆形片的直径是. 【知识点】垂径定理 三角函数 三角形外接圆 6.（2018山东烟台，16，3分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线

30、的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为 . 【答案】（－1，－2） 【解析】如图，连接AB，BC，分别作AB和BC的中垂线，交于G点．由图知，点G的坐标为（－1，－2）． 【知识点】垂径定理 7. （2018四川省宜宾市，15，3分）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE⊥AB于点E且DE交AC于点F,DB交AC于点G，若 =,则 = . 【答案】 【解析】如图： 连接OD、AD、BC，则∠ADB=∠ACB=90°，OD⊥AC，∵DE⊥AB，∴∠FAE=∠

31、FDG,∴△AFE∽△DOE,设OD=y,EF=3x,AE=4x,则AF=5x,∵△AFE∽△DOE,∴,即，∴y=10x,∴OE=6x，DE=8x,∵EF=3x，∴DF=AF=5x，∴∠DAF=∠ADF，∵=sin∠CBG，∠CBG=∠DAF，∴sin∠CBG=sin∠DAF=sin∠ADF=. 【知识点】相似三角形的性质和判定；勾股定理；解直角三角形 8. （2018浙江杭州，14，4分） 如图，AB是O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交O于点D，E两点，过点D作直径DF，连接AF，则∠DFA=___________. 【答案】30° 【解析】 【知识点

32、】垂径定理，圆的角度计算 1. （2018湖北鄂州，16，3分） 如图，正方形ABCD的边长为2，E为射线CD上一动点（不与C重合），以CE为边向正方形ABCD外作正方形CEFG，连接DG，直线BE、DG相交于点P，连接AP，当线段AP的长为整数时，则AP的长为 ． 【答案】2或1． 【思路分析】先利用SAS定理证明△BCE≌△DCG，从而证得BP⊥DG，再由圆周角定理的逆定理证得A、B、C、D、P五点共圆，得到AP＜BD＝即可． 【解析】解：∵四边形ABCD和CEFG是正方形，∴∠BCE＝∠DCG＝90°，BC＝CD，CE＝CG，则在△BCE和△DCG中，∵，∴

33、△BCE≌△DCG（SAS），∴∠PBG＝∠DCG，又∵∠DCG＋∠DGC＝90°，∴∠PBG＋∠BGP＝90°，即∠BPG＝90°，即BP⊥DG，∴、B、C、D、P五点共圆，则BD是圆的直径，故弦AP＜BD，又∵BD＝，∴AP＜，∴当线段AP的长为整数时，则AP的长为2或1． 【知识点】五点同圆；圆周角定理的逆定理；勾股定理；圆的性质；全等三角形的判定定理 2. （2018湖北黄冈，11题，3分）如图，△ABC内接于O，AB为O的直径，∠CAB=60°，弦AD平分∠CAB，若AD=6，则AC=________ 第11题图 【答案】 【解析】连接BD，∠CAB=60°，弦

34、AD平分∠CAB，所以∠DAB=30°，∠ABC=30°，因为AB是O的直径，所以∠C=∠D=90°，所以，因为∠C=90°，∠CAB=60°，所以∠ABC=30°，所以 第11题解图 【知识点】圆周角定理的推论，直角三角形性质，三角函数 3. （2018内蒙古呼和浩特，16，3分）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合）且AM

35、，其中正确结论的序号为________ 【答案】 ①②③ 【解析】连接BH,易证△CDH≌△CBH.∴∠CHB=∠DHC=.∵∠CBH=900,EH⊥AC,∴点C,B,E,H四点共圆，∴∠BEC=∠BHC=,∴∠BCE=,∴CE=2BE,由平移知DM=CE=2BE.①正确. 易证△BEH≌△MAH,∴HM=HB=HD,∴∠MHA=∠BHE=∠OBH=∠ODH,∴∠OHD+∠AHM=,∴∠DHM=,即△DH是等腰直角三角形，故DM=MH.②正确. ③由②得∠DHM=90°,∵∠CHD＞∠CAD=45°,∴∠CHM＞135°, ③正确; 【知识点】正方形的性质，平移的性质，圆的性质

36、，全等三角形的判定与性质 4. （2018四川雅安，17题，3分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积=(弦×矢+矢2).弧田（如图阴影部分），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为120°，半径等于4米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为______米2. 第17题图 【答案】 【解析】由题可知，∠AOB=120°，OB=4，OC⊥AB，“矢”为CD的长，则AD=DB，Rt△BOD中，∠OBD=30°，所以OD=2，“矢”为CD的长，CD=2，BD=，

37、AB=2BD=，即“弦”的长，由公式，弧田面积=(弦×矢+矢2)=(×2+22)= 第17题解图 【知识点】垂径定理，含30°的直角三角形 5. （2018湖北省孝感市，14，3分）已知O的半径为10cm，，是O的两条弦，，AB=16cm，CD=12cm，则弦和之间的距离是 ． 【答案】2或14 【解析】分两种情况：如图①，当弦AB和CD在圆心的同侧时，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AE=AB=8cm，CF=CD=6cm，∴根据勾股定理，OE==6（cm），OF==8（cm）.∴EF=OF-OE=8-6=2（cm）. 如图②, 当弦AB和CD在圆心的

38、同侧时，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AE=AB=8cm，CF=CD=6cm，∴根据勾股定理， OE==6（cm），OF==8（cm）.∴EF=OE+OF=8+6=14（cm）. 综上，弦和之间的距离是2cm或14cm. ① ② 【知识点】垂径定理；勾股定理. 6.（2018四川凉山州，15，4分）如图，△ABC外接圆的圆心坐标是 【答案】(4,6) 【解析】因为是外接圆的圆心,所以外心到三个顶点的距离都相等,等于外接圆的半径.那么就是各边中垂线的交点. 【知识点】外接圆的圆心，中垂线，点的坐

39、标. 7. （2018四川凉山州，16，4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若CD＝8，∠D＝60°，则⊙O的半径为 【答案】 【解析】先在Rt△ADE中，由勾股定理建立方程，解出AE. 再连接OD,设OD=OA=x，则OE=4-x，在Rt△ODE中，由勾股定理建立方程，解出x. (第16题答图) 【知识点】勾股定理，二元一次方程的解. 8. （2018·北京，12，2）如图，点A，B，C，D在⊙O上，弧CB＝弧CD，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝________°． 【答案】70°． 【解析

40、】∵弧CB＝弧CD，∠CAD＝30°，∴弧CB与弧CD的度数都为60°．∵∠ACD＝50°，∴弧AD的度数都为100°．∴劣弧AB的度数都为140°．∴∠ADB＝×140°＝70°． 【知识点】圆周角定理；圆的有关性质 9.（2018广西玉林，16题，3分）小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm），请你帮小华算出圆盘的半径是______cm 第16题图 【答案】10 【解析】由题可知，AB=12，CD=2，OC⊥AB于点D，所以AD=DB=6，设OB=r，则在Rt

41、△ODB中，(r-2)2+62=r2，解得，r=10 【知识点】垂径定理，勾股定理 10. （2018山东省泰安市，14，3）如图，是的外接圆，，，则的直径为 ． 【答案】 【解析】（1）构造以直径BD为斜边的Rt，根据圆周角∠A和圆周角∠D之间的关系推出是等腰直角三角形，从而可求出直径的长。（2）连接OB、OC，根据圆心角∠O和圆周角∠A之间的关系推出是等腰直角三角形，先求出半径OB或OC的长，从而再求出直径的长. 解法一：如图1，过点B作直径BD，连接DC，则∠BCD=90° ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∵， ∴ 根据勾股定理得

42、： 解法二：如图2，连接OB、OC ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∵， ∴ 根据勾股定理得： ∴ 【知识点】圆周角性质，等腰三角形性质，勾股定理. 三、解答题 1. （2018四川内江，23，6） 如图，以AB为直径的⊙O的圆心O到直线l的距离OE＝3，⊙O的半径r＝2，直线AB不垂直于直线l，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点D、C，则四边形ABCD的面积的最大值为 ． 【答案】12 【思路分析】由于四边形ABCD为梯形，所以面积为两底之和的一半再乘以高，由已知条件可以通过构造三角形的中位线，证得两底之和与线段O

43、E的长度有关，是一个定值，所以四边形面积的大小取决于高，当直径AB为梯形的高时，面积最大． 【解题过程】解：连接DO并延长交CB的延长线于F，∵AD⊥l，BC⊥l，∴AD∥BC，∴∠DAO＝∠FBO，∠ADO＝∠F，∵OA＝OB，∴△AOD≌△BOF，∴AD＝BF，OD＝OF，∵OE⊥l，∴AD∥BC∥OE，∴＝，∴DE＝CE，∴OE＝CF＝ (BF＋BC)＝(AD＋BC)，∴AD＋BC＝2OE＝6，∵四边形ABCD的面积＝(AD＋BC)×CD，∴当AB∥l时，即AB为梯形的高时四边形ABCD的面积最大，最大值为×6×4＝12． 【知识点】三角形中位线，梯形的面积公式；全等三角形；

44、 2. （2018安徽省，20，10分）如图,⊙O为锐角△ABC的外接圆,半径为5. （1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹,不写作法)； （2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长. 【思路分析】(1)按照角的平分线的尺规作图步骤，可做成AE符合要求；（2）根据相等圆周角，确定弧BE=弧EC，根据垂径定理知OE⊥BC，在Rt△ODC中以及Rt△DEC中，可求出CE的长 【解题过程】（1）如图所示： （2） 连接OE、OC、EC,由（1）知AE为∠BAC的角平分线，∴∠BAE=∠CAE, ∴弧BE=弧EC，根据

45、垂径定理知OE⊥BC，则DE=3. ∵OE=OC=5，∴OD=OE-DE=2. 在Rt△ODC中， 在Rt△DEC中， ∴弦CE的长为 【知识点】角平分线的尺规作图，垂径定理，勾股定理 3. （2018江苏无锡，24，8分）如图，四边形ABCD内接于，AB=17，CD=10，∠A=90°，cosB=，求AD的长. 【思路分析】如图所示，延长AD、BC交于点E，利用圆内接四边形的性质证明△ECD∽△EAB，进而利用相似三角形的性质可以求得AD的长. 【解题过程】如图所示，延长AD、BC交于点E， ∵四边形ABCD内接于，∠A=90°， ∴∠EDC=∠B，∠

46、ECD=∠A=90°， ∴△ECD∽△EAB， ∴. ∵cos∠EDC=cosB=， ∴， ∵CD=10， ∴， ∴ED=, ∴. ∴， ∴AD=6. 【知识点】圆内接四边形的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义、勾股定理、分式方程的解法 4. （2018山东省济宁市，18，7）（7分）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（如图所示）面积的方法.现有以下工具： ①卷尺；②直棒EF；③T型尺（CD所在的直线垂直平分线段AB）. （1） 在图1中，请你画出用T型尺找大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写画法）； （2） 如图2，小华说：“我只

47、用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M，N之间的距离，就可求出环形花坛的面积.”如果测得MN=10cm，请你求出这个环形花坛的面积. 【思路分析】（1）根据垂径定理，可知：圆心O必在直线CD上，则直线CD与C′D′的交点即为所求的点O；（2）设切点为C，连接OM，OC．从而化归直角三角形中，应用勾股定理即可解决问题. 【解题过程】（1）如图点O即为所求； （2）设切点为C，连接OM，OC． ∵ MN是切线，∴OC⊥MN，∴CM=CN=5， ∴ OM2-OC2=CM2=25，∴S圆环=π•OM2-π•OC

48、2=25π． 【知识点】尺规作图的应用 线段的垂直平分线的性质 垂径定理 勾股定理 1. （2018贵州遵义，26题，12分）如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的点，AC的垂直平分线交半圆于点D，交AC于点E，连接DA、DC，已知半圆O的半径为3，BC=2 （1）求AD的长； （2）点P是线段AC上一动点，连接DP，做∠DPF=∠DAC，PF交线段CD于点F，当△DPF为等腰三角形时，求AP的长。 第26题图 【思路分析】（1）连接OD，通过已知线段长度和DE是AC的垂直平分线求得OE长，在Rt△DOE中求得DE长，进而在Rt△ADE中求得AD长；（2）因为等腰三

49、角形不确定，应分类讨论当DP=DF时，P与A重合，当PD=PF时，可通过相似得到△CDP是等腰三角形，从而求出CP和AP，当FP=FD时，可通过角的等量代换得到△CDP是等腰三角形，在Rt△DEP中利用勾股定理求得DP，从而求出CP和AP。 【解析】（1）如图1，连接OD，因为半径为3，所以OA=OB=OD=3，因为BC=2，所以AC=8，因为DE垂直平分AC，所以DA=DC，AE=4，∠DEO=90°，OE=1，在Rt△DOE中，，在Rt△ADE中， 第26题解图1 （2）因为△PDF为等腰三角形，因此分类讨论： ①当DP=DF时，如图2，A与P重合，则AP=0 第26题解

50、图2 ②当PD=PF时，如图3，因为∠DPF=∠A=∠C，∠PDF=∠CDP ，所以△PDF∽△CDP，因为PD=PF，所以CP=CD，所以CP=，AP=AC-PC= 第26题解图3 ③当FP=FD时，如图4，因为△FDP和△DAC都是等腰三角形，∠DPF=∠A，所以∠FDP=∠DPF=∠A=∠C，所以,设DP=PC=x，则EP=4-x，在Rt△DEP中，DE2+EP2=DP2，得，得x=3，则AP=5 第26题解图4 综上所述，当△DPF为等腰三角形时，AP的长可能为0，，5 【知识点】勾股定理，等腰三角形，相似三角形 2. （2018河北省，23，9）如图

51、，∠A＝∠B＝50°，P为AB的中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意一点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN＝a． （1）求证：△APM≌△BPN； （2）当MN＝2BN时，求α的度数； （3）若△BPN的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围． 第23题图 【思路分析】（1）根据已知条件可知，△APM与△BPN存在两组对应角及其中一条边对应相等，可证全等；（2）当MN＝2BN时，利用第（1）的结论，可得到△BPN为等腰三角形，从而求出α的度数；（3）根据三角形外心的特点：锐角三角形外心的三角形内部，直角三角形外心在

52、斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部可求得α的度数． 【解析】（1）∵P为AB的中点， ∴AP＝BP． 1分 又∵∠A＝∠B，∠PAM＝∠BPN， ∴△APM≌△BPN． 2分 （2）∵△APM≌△BPN， ∴PM＝PN． 1分 ∵MN＝2BN， ∴BN＝PN． ∴α＝∠B＝50

53、°． 2分 （3）∵△BPN的外心在该三角形的内部， ∴△BPN是锐角三角形． 1分 ∴0°＜α＜90°，0°＜180°－α－50°＜90°． ∴40°＜α＜90°． 2分 【知识点】三角形全等，等腰三角形性质，三角形内角和，三角形的外心 3. （2018湖南省湘潭市，25，10分）如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是上的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM． （1

54、）若半圆的半径为10． ①当∠AOM=60°时，求DM的长； ②当AM=12时，求DM的长． （2）探究：在点M运动的过程中，∠DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【思路分析】（1）①当∠AOM=60°时，D=30°，△AMO为等边三角形，然后根据含有30°角的直角三角形的性质得到AD=2AO，再结合△AMO为等边三角形求出DM的长；②连接BM，则可得∠AMB=90°，根据两个角相等的三角形是相似三角形得到△AOD∽△ABM，从而得到求出AD的长，进而求出DM的长；（2）在图a中，由于AB是直径，所以∠AMB=90°，所以∠DMC+∠CMB=90°，

55、然后根据所对的圆心角与圆周角的关系得到∠CMB=∠COB，从而得到∠DMC的度数为45°，是一个定值；在图b中,连接AC、MB，由于ACMB是圆内接四边形，根据性质可得∠CMB与∠CAO互补，再结合△ACO为等腰直角三角形，从而得到∠DMC的度数仍然是一个定值. 【解析】解：（1）①当∠AOM=60°时， ∵OM=OA， ∴△AMO是等边三角形， ∴∠A=∠MOA=60°， ∴∠MOD=30°，∠D=30°，∵CO⊥AO，∴AD=2AO=20， ∴DM=OM=10. ②连接MB，∵AB是直径，∴∠AMB=90°，∵CO⊥AO，∴∠AOD=90°，∵∠A=∠A，∴△ADO∽△ABM

56、，∴，∵AO=10，AM=12，∴AD=,∴DM=AD-AM= （2）当点M位于之间时，连接BM，如图： ∵AB是直径，∴∠AMB=90°，∴∠DMC+∠CMB=90°，∵∠CMB=∠COB=45°，∴∠CMD=45°； 当点M位于之间时，连接BM、AC，如图： ∵四边形ACMB为圆内接四边形，∴∠CMB+∠CAO=180°，∵CO⊥AO，∴∠AOD=90°，∴△ACO为等腰之间三角形，∴∠CAO=45°，∵∠AMB=90°，∴∠DMC=180°-90°-45°=45°. 综上所述，∠CMD=45°. 【知识点】圆内接四边形；圆周角定理；等边三角形的性质；含30°直角三角形的性质

57、 4. （2018福建A卷，24，12）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，DE⊥AB交AB于点E，交⊙O于点F． (1)延长DC、FB交于点P，求证：PB=PC； (2) 如图2，过点B作BG⊥AD于点G，交DE于H．若AB=，DH=1，∠OHD=80°，求∠EDB的度数． E E (图2) 【思路分析】（1）利用直径所对的圆周角为直角，推出∠DEA=∠ABC，判定出BE、DF的位置关系，进而得出∠F=∠PBC，再根据“同角的补角相等”证得∠PCB=∠F，代换出∠PCB、∠PBC的关系，就可得出结论PB=PC；（2）先判定四边

58、形DHBC是平行四边形，利用正弦函数求得∠ACB度数，然后根据等腰三角形性质和平行线性质计算出∠EDB的度数. 【解题过程】解：（1）∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°， ∵DE⊥AB，∴∠DEA=90°，∴∠DEA=∠ABC， ∴BE∥DF，∴∠F=∠PBC， ∵四边形BCDF是圆内接四边形，∴∠F+∠DCB=180°， 又∵∠PCB+∠DCB=180°，∴∠PCB=∠F， ∴∠PCB=∠PBC，∴PC=PB； （2）如图2，连结OD， ∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°， ∵BG⊥AD，∴∠AGB=90°，∴∠ADC=∠AGB，∴BG∥DC， 又∵BC∥DE，∴

59、四边形DHBC为平行四边形，∴BC=DH=1, 在△ABC中，AB=， ∴∠ACB=60°， 从而BC=AC=OD，∴DH=OD，在等腰三角形DOH中，∠DOH=∠OHD=80°，∴∠ODH=20°， 设DE交AC于N，∵BC∥DE，∴∠ONH=∠ACB=60°，∴∠NOH=180°-（∠ONH+∠OHD）=40°，∴∠DOC=∠DOH-∠NOH=40°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠DOC=20°，则∠CBD=∠OAD=20°，∵BC∥DE，∴∠BDE-∠CBD=20°. 【知识点】等腰三角形的性质；圆；平行线判定及性质，直角三角形性质 5. （2018福建B卷，2

60、4，12）如图,D是△ABC外接圆上的动点,且B,D位于AC的两侧,DE⊥AB,垂足为E,DE的延长线交此圆于点F,BG⊥AD,垂足为G,BG交DE于点H,DC,FB的延长线交于点P,且PC=PB. (1)求证:BG∥CD; (2)设△ABC的外接圆的圆心为O,若AB=DH, ∠OHD=80°,求∠BDE的大小. 【思路分析】（1）先利用等腰三角形性质、圆内接四边形性质推出角相等，从而证得BC、DF的位置关系，再利用平行线性质证得∠ABC=90°，得出AC是圆的直径，由此可计算出∠ADC度数，再由BG⊥AD，即可证得结论； （2）先判定四边形DHBC是平行四边形，利用正弦函数求

61、得∠ACB度数，分别判断出BC、AC和DH、AC的数量关系，再分两种情况讨论，利用根据等腰三角形性质计算出∠EDB的度数. 【解题过程】解：（1）∵PC=PB，∴∠PCB=∠PBC， ∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°， 又∵∠PCB+∠BCD=180°，∴∠PCB=∠BAD， ∵∠BAD=∠BFD，∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，∴BC∥DF， ∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ABC=90°，∴AC是圆的直径，∴∠ADC=90°，∵BG⊥AD，∠AGB=90°，∴∠ADC=∠AGB，∴BG∥CD。 （2）由（1）知BC∥DF，BG∥CD， ∴四

62、边形BCDH为平行四边形，∴BC=DH， 在△ABC中，AB=DH，， ∴∠ACB=60°，∠BAC=30°，∴∠ADB=60°，BC=AC，∴DH=AC。 （ⅰ）当点O在DE的左侧时，如图1，作直径DM，连结AM，则∠DAM=90°，∴∠AMD+∠ADM=90°，∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠ABD+∠BDE=90°，∵∠AMD=∠ABD，∴∠ADM=∠BDE。 ∵DH=AC，∴DH=OD，∴∠DOH=∠OHD=80°，∴∠ODH=20°，∵∠ADB=60°，∴∠ADM+∠BDE=40°，∴∠ADM=∠BDE=20°； （ⅱ）当点O在DE的右侧时，如图2，作直径DN，连结B

63、N，同（ⅰ）可得∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°，综上，∠BDE =20°或∠BDE=40°。 【知识点】等腰三角形的性质；平行线的判定及性质；圆周角的性质 6.（2018广东省深圳市，22，？分）如图在⊙O中，BC＝2，AB＝AC，点D为AC上的动点，且cos∠ABC＝. (1)求AB的长度； (2)求AD·AE的值； (3)过A点作AH⊥BD，求证：BH＝CD＋DH. 【思路分析】（1）过点A作AM⊥BC于点M，由垂径定理可得BM＝MC＝BC＝1，再由cos∠ABC＝即可求出AB的长度；（2）由AB＝AC，

64、可得∠ABC＝∠ACB，然后由圆内接四边形对角互补可证得∠ADC＝∠ACE，从而证出△EAC∽△CAD，从而求出AD·AE的值；（3）在BD上取一点N，使得BN＝CD，可证得△ABN≌△ACD，可得AN＝AD，再由等腰三角形三线合一的性质可得DH＝NH，即可证得BH＝CD＋DH. 【解题过程】解：（1）过点A作AM⊥BC于点M，∵AB＝AC，AM⊥BC ，BC＝2，∴BM＝MC＝BC＝1，又∵cos∠ABC＝，则在Rt△AMB中，，即，解得AB＝； (2)连接CD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＋∠ABC＝180°， 又∵∠ACE＋∠ACB＝1

65、80°，∴∠ADC＝∠ACE，又∵∠EAC＝∠DAC，∴△EAC∽△CAD，∴，即，∴AD·AE＝＝10； （3）在BD上取一点N，使得BN＝CD，则在△ABN和△ACD中，∵，∴△ABN≌△ACD（SAS），∴AN＝AD，又∵AH⊥BD，∴DH＝NH，又∵BN＝CD，∴BH＝BN＋NH＝CD＋DH. 【知识点】锐角的三角函数；圆周角定理的推论；垂径定理；等腰三角形的性质；相似三角形的性质和判定；全等三角形的性质和判定 7. （2018河南，22，10分） （1）问题发现 如图1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点

66、M．填空： ①的值为 ；②∠AMB的度数为 ． （2）类比探究 如图2,在△OAB和△OCD中, ∠AOB = ∠COD = 90°,∠OAB=∠OCD=30°, 连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数,并说明理由； （3）拓展延伸 在（2）的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M．若OD=1, OB=,请直接写出当点C与点M重合时AC的长． 【思路分析】(1)依据条件，构造三角形全等，得到对应边相等，比值为1;对应角相等,再根据三角形内角和为180°，求出∠AMB的度数.或者由题意可知△OAC可由△OBD旋转而得到，所以根据对应边所在直线夹角等于旋转角这一性质得到∠AMB的度数. (2)首先由含30°角的直角三角形的三边关系得到.由（1）中三角形全等过渡到第二问三角形相似（根据两边对应成比例且夹角相等两三角形相似），得到=.且对应角相等，即∠CAO=∠BOD,再根据三角形内角和得到∠AMD=∠AOB=90°. （3）画出符合要求的图形