2018中考数学复习 第18课时 等腰三角形与直角三角形测试

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1、第四单元 三角形 第十八课时 等腰三角形与直角三角形 基础达标训练 1. 若等腰三角形的两边长为3和7，则该等腰三角形的周长为(　　) A. 10　　　 B. 13　　　 C. 17　　　 D. 13或17 2. (2017滨州)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为(　　) A. 40° B. 36° C. 30° D. 25° 第2题图　　 　第3题图 3. (2017荆州)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直

2、平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为(　　) A. 30° B. 45° C. 50° D. 75° 4. 如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为(　　) A. (1，1) B. (，1) C. (，) D. (1，) 第4题图　　 第5题图 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE是角平分线，则图中的等腰三角形共有(　　) A. 8个 B. 7个 C. 6个 D. 5个 6. (2017大连)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，C

3、D＝DE＝a，则AB的长为(　　) A. 2a B. 2a C. 3a D. a 第6题图 第7题图 7. 如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E、F分别是AC、BD的中点，EF＝2，则AC的长是(　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 第8题图 8. (2017滨州)如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为(　　) A. 2＋ B. 2 C. 3＋ D. 3 9. (2017荆州)《九章算术》

4、中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，来折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为(　　) A. x2－6＝(10－x)2 B. x2－62＝(10－x)2 C. x2＋6＝(10－x)2 D. x2＋62＝(10－x)2 10. (2017丽水)等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是________． 11. (2017淮安)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是AD的中点，

5、若AB＝8，则EF＝________． 第11题图 第12题图 12. (2017益阳)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE＝a，AE＝b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为________． 13. (2017绥化)在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD＝BC，则△ABC的顶角的度数为________． 14. (2017淄博)在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E

6、，F，则DE＋DF＝________． 15. 在△ABC中，BC＝2，AB＝2，AC＝b，且关于x的方程x2－4x＋b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为________． 16. (2017常德)如图，已知Rt△ABE中，∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是________． 第16题图　　 　第17题图 17. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，点D为AC的中点，点E

7、，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF＝90°，若ED的长为m，则△BEF的周长是________(用含m的代数式表示)． 18. (6分)(2017北京)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D. 求证：AD＝BC. 第18题图 19. (8分)在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程． 　　　　　　　　　　　　第19题图 能力提升训练 1. (2017海南)已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内

8、画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可能(　　)条． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 第2题图 2. (2017台州)如图，已知等腰三角形ABC，AB＝AC. 若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是(　　) A. AE＝EC B. AE＝BE C. ∠EBC＝∠BAC D. ∠EBC＝∠ABE 3. 如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则BC＝________． 第3题图

9、 第4题图 4. (2017杭州)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于________． 5. 若点P是△ABC内一点，且它到三角形三个顶点的距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点(Fermat point)． 已经证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD＋PE＋PF＝________． 拓展培优训练 1. (2017杭州)如图，在

10、△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点， 第1题图 线段BE的垂直平分线交边BC于点D. 设BD＝x，tan∠ACB＝y，则(　　) A. x－y2＝3 B. 2x－y2＝9 C. 3x－y2＝15 D. 4x－y2＝21 2. 已知等腰三角形顶角为36°，则底与腰的比值等于________． 答案 1. C　【解析】当3为底边时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；当3为腰时，其他两边为3和7，∵3＋3＝6＜7，∴不能构成三角形，故舍去，∴该等腰三角形的周长为17. 2. B　【解析】设∠C＝x，∵AD＝DC，∴∠DA

11、C＝∠C＝x，∴∠ADB＝2x，∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝2x，∴∠B＝180°－4x，∵BA＝AC，∴∠B＝∠C，∴180°－4x＝x，解得x＝36°，∴∠B＝∠C＝36°. 3. B　【解析】∵∠A＝30°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，又∵l为AB的垂直平分线，∴DB＝DA，∴∠DBA＝∠A＝30°，∴∠CBD＝∠CBA－∠DBA＝75°－30°＝45°. 第4题解图 4. D　【解析】如解图，过点B作BC⊥AO于点C，∵△AOB是等边三角形，∴OC＝AO＝1，∴在Rt△BOC中，BC＝＝，∴B点的坐标为(1，)． 5. A　【解析】∵AB＝AC

12、，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝(180°－∠A)＝72°，∵BD，CE是角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°，∠ACE＝∠ECB＝36°，∴∠A＝∠ABD＝∠ACE，∠DBC＝∠ECB，∴∠BDC＝180°－∠ACB－∠DBC＝180°－72°－36°＝72°，同理∠BEC＝72°，∴∠BDC＝∠ACB，∠BEC＝∠EBC，∴∠EOB＝180°－∠BEC－∠EBD＝180°－72°－36°＝72°，同理∠DOC＝72°，∴∠BEO＝∠BOE，∠CDO＝∠COD，即等腰三角形有△OBC，△ADB，△AEC，△BEC，△BDC，△ABC，△EBO，△DCO，共8个． 6. B

13、　【解析】在Rt△CDE中，CD＝DE＝a，∴DE＝＝＝a，∵点E为Rt△ACB斜边AB的中点，∴CE＝AE＝BE＝AB，∴AB＝2CE＝2a. 第7题解图 7. B　【解析】如解图，连接AF，∵AB＝AD，F是BD的中点，∴AF⊥BD，∵在Rt△ACF中，∠AFC＝90°，E是AC的中点，EF＝2，∴AC＝2EF＝4. 8. A　【解析】设AC＝x，∵AC⊥BC，∠ABC＝30°，∴AB＝2x，BC＝x，∵AB＝BD，∴BD＝2x，∴CD＝BC＋BD＝(2＋)x，∵tan∠DAC＝，∴tan∠DAC＝＝2＋. 第9题解图 9. D　【解析】如解图，在直角三

14、角形ABC中，利用勾股定理，列方程为x2＋62＝(10－x)2. 10. 100°　【解析】由三角形内角和定理可知，若等腰三角形的一个内角为100°，则这个内角为顶角，此时两底角均为40°，即该三角形顶角的度数是100°. 11. 2　【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，∴CD＝AB＝4，∵点E是AC的中点，点F是AD的中点，∴EF是△ADC的中位线，∴EF＝CD＝2. 12. 2a＋3b　【解析】∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∵DE垂直平分AC，∴CE＝AE，∠ECA＝∠A＝36°，∴∠BEC＝∠A＋∠ECA＝72

15、°，∴∠BEC＝∠B，∴CE＝BC＝b，∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝2AB＋BC＝2(a＋b)＋b＝2a＋3b. 13. 30°，90°或150°　【解析】如解图， 第13题解图 解图①中△ABC是等腰直角三角形，∴顶角是90°，解图②中AC＝BC，在直角三角形ADC中，AD＝AC，∴∠ACD＝30°，∴∠ACB＝180°－∠ACD＝150°，解图③中，AC＝BC，在直角三角形ADC中，AD＝AC，∴∠ACD＝30°，综上所述，△ABC顶角的度数分别是30°，90°或150°. 14. 2　【解析】假设点D与点B重合，可得DE＋DF为等边三角形A

16、C边上的高，再由等边三角形的边长为4，根据勾股定理得AC边上的高为2. 15. 2　【解析】∵方程x2－4x＋b＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝16－4b＝0，解得b＝4，又∵BC＝2，AB＝2，AC＝b＝4，∴AB2＋BC2＝(2)2＋22＝42＝AC2，∴∠B＝90°，∴AC边上的中线长为2. 第16题解图 16. 0

17、D不能为0，∴0

18、∠C＝72°， ∴∠BDC ＝180°－∠CBD－∠C＝72°＝∠C， ∴△BCD是以点B为顶点的等腰三角形， ∴BC＝BD， ∴AD＝ BC. 19. 解：设BD＝x，则CD＝14－x，根据勾股定理可得， AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2， 即152－x2＝132－(14－x)2， 解得x＝9， ∴AD2＝152－x2＝152－92＝144， ∵AD>0， ∴AD＝12， ∴S△ABC＝×BC×AD＝×14×12＝84. 能力提升训练 1. B　【解析】符合条件的直线共有4条：(1)如解图①，在边BC上截取CE＝CA，BF＝BA，连接AE、AF，得到等腰三

19、角形△CEA，△BAF；(2)如解图②，分别作AB、AC的中垂线交BC于点M、N，连接AM，AN，得到等腰三角形△MAB，△NCA，综上所述，直线AE、AF、AM、AN均满足题意． 2. C　【解析】由题图知，BC＝BE，∴∠BCE＝∠BEC，∵AB＝AC，∴∠BCA＝∠CBA，∴∠BCE＝∠BEC＝∠CBA，∵∠EBC＝180°－∠BCE－∠BEC，∠BAC＝180°－∠BCA－∠CBA，∴∠EBC＝∠BAC. 3. 2　【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BA＝BC，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠E＝30°，BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴BC＝2D

20、C，∵∠ACB＝∠E＋∠CDE，∴∠CDE＝∠E＝30°，∴CD＝CE＝1，∴BC＝2CD＝2. 第4题解图 4. 78　【解析】如解图，过A作AH⊥BC，∵AB＝15，AC＝20，∠BAC＝90°，∴由勾股定理得，BC＝＝25，∵AD＝5，∴DC＝20－5＝15，∵DE⊥BC，∠BAC＝90°，∴△CDE∽△CBA，∴＝，∴CE＝×20＝12，∴BE＝BC－CE＝13.∴BC·AH＝AB·AC，AH＝＝＝12，∴S△ABE＝×12×13＝78. 第5题解图 5. ＋1　【解析】如解图，等腰Rt△DEF中，DE＝DF＝，过点D作DM⊥EF于点M，过E、F分别作∠

21、MEP＝∠MFP＝30°，从而可找到点P，则DM＝EM＝EF＝×2＝1，在Rt△PEM中，PM＝tan30°·EM＝，∴PE＝，∴DP＝1－，PF＝，∴PD＋PE＋PF＝＋1. 拓展培优训练 1. B　【解析】如解图，连接DE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，过E作EG⊥BC，垂足为G，∵AB＝AC，AF⊥BC，BC＝12，∴BF＝FC＝6，又∵E是AC的中点，EG⊥BC，∴EG∥AF，∴CG＝FG＝CF＝3，∵在Rt△CEG中，tanC＝，∴EG＝CG×tanC＝3y，∴DG＝BF＋FG－BD＝6＋3－x＝9－x，∵HD是BE的垂直平分线，∴BD＝DE＝x，∵在Rt△EGD中，由勾股定理得，ED2＝DG2＋EG2，∴x2＝(9－x)2＋(3y)2，化简整理得2x－y2＝9. 第1题解图 2. 　【解析】如解图，设等腰△ABC底边为a，腰为b，作∠B的平分线交AC于D，则∠B＝(180°－36°)＝72°，∴△BCD、△DAB均为等腰三角形，则BD＝AD＝BC＝a，而CD＝b－a，由△BCD∽△ABC，∴＝，即＝， ∴()2＋()－1＝0，解得＝或(舍去)． 第2题解图 13