2020年中考数学基础题型提分讲练 专题23 以圆为背景的证明与计算（含解析）

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1、专题23 以圆为背景的证明与计算 考点分析 【例1】（2019·广东中考模拟）已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E． （1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图1．求证：PC=PB； （2）过点B作BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在DE的左侧，如图2．若AB= ，DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE的大小． 【答案】（1）详见解析；（2）∠BDE=20°． 【解析】 （1）如图1，∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC=90°， ∵DE⊥AB， ∴∠DEA=90°， ∴∠DEA=∠ABC， ∴

2、BC∥DF， ∴∠F=∠PBC， ∵四边形BCDF是圆内接四边形， ∴∠F+∠DCB=180°， ∵∠PCB+∠DCB=180°， ∴∠F=∠PCB， ∴∠PBC=∠PCB， ∴PC=PB； （2）如图2，连接OD， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC=90°， ∵BG⊥AD， ∴∠AGB=90°， ∴∠ADC=∠AGB， ∴BG∥DC， ∵BC∥DE， ∴四边形DHBC是平行四边形， ∴BC=DH=1， 在Rt△ABC中，AB=，tan∠ACB=， ∴∠ACB=60°， ∴BC=AC=OD， ∴DH=OD， 在等腰△DOH中，∠DOH=∠OHD=

3、80°， ∴∠ODH=20°， 设DE交AC于N， ∵BC∥DE， ∴∠ONH=∠ACB=60°， ∴∠NOH=180°﹣（∠ONH+∠OHD）=40°， ∴∠DOC=∠DOH﹣∠NOH=40°， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠DOC=20°， ∴∠CBD=∠OAD=20°， ∵BC∥DE， ∴∠BDE=∠CBD=20°． 【点睛】 本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，解决第（2）问，作出辅助线，求得∠ODH=20°是解决本题的关键. 【例2】 （2019·湖南中考真题）如图，点在半径为8的上，过点作，交延

4、长线于点．连接，且． （1）求证：是的切线； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 （1）证明：连接，交于， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵，∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识点的综合运用，题目比较好，难度适中． 考点集训 1．（2019·辽宁中考真题）如图，在中，，，点在的内部，经过，两点，交于点，连接并延长交于点，以，为邻边作． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）若点

5、是的中点，的半径为2，求的长． 【答案】（1）是的切线；理由见解析；（2）的长． 【解析】 （1）是的切线； 理由：连接， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 是的切线； （2）连接， 点是的中点， ， ， ， 的长． 【点睛】 本题考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 2．（2019·云南初三）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）已知⊙O的半径为2.5，BE

6、=4，求BC，AD的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）BC=，AD=． 【解析】 （1）如图，连接OE， ∵OB=OE， ∴∠OBE=∠OEB， ∵BE平分∠ABC， ∴∠OBE=∠CBE， ∴∠OEB=∠CBE， ∴OE∥BC， 又∵∠C=90°， ∴∠AEO=90°，即OE⊥AC， ∴AC为⊙O的切线； （2）∵ED⊥BE， ∴∠BED=∠C=90°， 又∵∠DBE=∠EBC， ∴△BDE∽△BEC， ∴，即， ∴BC=； ∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A， ∴△AOE∽△ABC， ∴，即， 解得：AD=． 点睛：本题主要考查切

7、线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质． 3．（2019·连云港市新海实验中学初三月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF． （1）求∠CDE的度数； （2）求证：DF是⊙O的切线； （3）若AC=DE，求tan∠ABD的值． 【答案】（1）90°；（2）证明见解析；（3）2． 【解析】 解：（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径， ∴∠ADC=90°， ∴∠EDC=90°； （2）证明：连接DO， ∵∠EDC=90°，F是EC的中点，

8、∴DF=FC， ∴∠FDC=∠FCD， ∵OD=OC， ∴∠OCD=∠ODC， ∵∠OCF=90°， ∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°， ∴DF是⊙O的切线； （3）解：如图所示：可得∠ABD=∠ACD， ∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°， ∴∠DCA=∠E， 又∵∠ADC=∠CDE=90°， ∴△CDE∽△ADC， ∴， ∴DC2=AD•DE ∵AC=2DE， ∴设DE=x，则AC=2x， 则AC2﹣AD2=AD•DE， 期（2x）2﹣AD2=AD•x， 整理得：AD2+AD•x﹣20x2=0， 解得：AD=

9、4x或﹣4.5x（负数舍去）， 则DC=， 故tan∠ABD=tan∠ACD=． 4．（2019·江苏初三月考）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°． （1）求∠ABC的度数； （2）求证：AE是⊙O的切线； （3）当BC=4时，求劣弧AC的长． 【答案】（1）60°;(2)证明略;(3) 【解析】 （1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角， ∴∠ABC=∠D=60°； （2）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°． ∴∠BAC=30°， ∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°， 即BA⊥A

10、E， ∴AE是⊙O的切线； （3）如图，连接OC， ∵OB=OC，∠ABC=60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB=BC=4，∠BOC=60°， ∴∠AOC=120°， ∴劣弧AC的长为==． 【点睛】 本题考查了切线长定理及弧长公式，熟练掌握定理及公式是解题的关键. 5．（2019·江苏中考真题）如图，为⊙的直径，为⊙上一点，为的中点．过点作直线的垂线，垂足为，连接． （1）求证：； （2）与⊙有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）与⊙相切，理由见解析. 【解析】 (1)连接， 为的中点， ∴， ， ， ； (2)

11、与⊙相切，理由如下： ， ， ∴∠ODE+∠E=180°， ， ∴∠E=90°， ∴∠ODE=90°， ， 又∵OD是半径， 与⊙相切． 【点睛】 本题考查了直线与圆的位置关系，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 6．（2019·湖北初三）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB， （1）求证：PB是的切线． （2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半径． 【答案】(1)证明见解析；（2）3． 【解析】 （1）证明：∵在△DEO和△PB

12、O中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB， ∴∠OBP=∠E=90°， ∵OB为圆的半径， ∴PB为圆O的切线； （2）解：在Rt△PBD中，PB=6，DB=8， 根据勾股定理得：PD=， ∵PD与PB都为圆的切线， ∴PC=PB=6， ∴DC=PD-PC=10-6=4， 在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=8-r， 根据勾股定理得：（8-r）2=r2+42， 解得：r=3， 则圆的半径为3． 考点：切线的判定与性质． 7．（2019·广西中考模拟）如图，以AB边为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连结PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．

13、（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE•CP的值． 【答案】（1）PD是⊙O的切线．证明见解析.（2）8. 【解析】 连结OP，∵∠ACP=60°，∴∠AOP=120°，∵OA=OP，∴∠OAP=∠OPA=30°，∵PA=PD，∴∠PAO=∠D=30°，∴∠OPD=90°，∴PD是⊙O的切线． （2）连结BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵C为弧AB的中点，∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，∵AB=4，AC=Absin45°=．∵∠C=∠C，∠CAB=∠APC，∴△CAE∽△CPA，∴，∴CP•CE=C

14、A2=（）2=8． 考点：相似三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；直线与圆的位置关系；探究型． 8．（2019·湖南中考真题）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分，，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E． (1)求证：直线CD是⊙O的切线． (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】 解：证明：(1)连接OD， ∵AD平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴直线CD是⊙O的切线； (2)连接BD， ∵BE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．

15、 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义．圆周角定理，切线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 9．（2019·山东中考真题）如图，在中，，以为直径的分别与交于点，过点作，垂足为点． （1）求证：直线是的切线； （2）求证：； （3）若的半径为4，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3） 解：（1）如图所示，连接， ∵， ∴， 而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线是的切线； （2）连接，则，则， 则， ∵，， ∴， 而， ∴， ∴，即； （3）连接， ∵， ∴， ∴，

16、， 【点睛】 本题主要考查圆的综合性知识，难度系数不大，应该熟练掌握，关键在于做辅助线，这是这类题的难点. 10．（2019·江苏中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分，，垂足为E． （1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径为2，，求线段EF的长． 【答案】（1）直线DE与⊙O相切；（2）. 【解析】 （1）直线DE与⊙O相切， 连结OD． ∵AD平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即， ∴DE是⊙O的切线； （2）过O作于G， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四

17、边形AODF是菱形， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 11．（2019·天津中考真题）已知，分别与相切于点，，，为上一点． （Ⅰ）如图①，求的大小； （Ⅱ）如图②，为的直径，与相交于点，若，求的大小． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 解：（Ⅰ）如图，连接． ∵是的切线， ∴，． 即． ∵， ∴在四边形中，． ∵在中，， ∴． （Ⅱ）如图，连接． ∵为的直径， ∴． 由（Ⅰ）知，， ∴． ∴． ∵在中，， ∴． 又是的一个外

18、角，有， ∴． 【点睛】 本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键 12．（2019·甘肃中考真题）如图，在中，，点在边上，经过点和点且与边相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析；(2) 【解析】 (1)证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； (2)解：连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径． 【点睛】 本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作

19、出辅助线是解题的关键． 13．（2019·湖北中考真题）如图，在中，为的中点，以为直径的分别交于点两点，过点作于点. 试判断与的位置关系，并说明理由． 若求的长． 【答案】（1）切，理由见解析；（2） 【解析】 （1）相切， 理由：如图，连接， 为的中点， 与相切； 连接， 为的直径， 即， 【点睛】 本题考查了直线与圆的位置关系，平行线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 14．（2019·山西初三期末）如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相

20、切于点C． （1）求证：直线PB与⊙O相切； （2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长． 【答案】(1)证明见解析；（2） 【解析】 （1）证明：连接OC，作OD⊥PB于D点． ∵⊙O与PA相切于点C， ∴OC⊥PA． （2）解：设PO交⊙O于F，连接CF． ∵OC=3，PC=4，∴PO=5，PE=8． ∵⊙O与PA相切于点C， ∴∠PCF=∠E． 又∵∠CPF=∠EPC， ∴△PCF∽△PEC， ∴CF：CE=PC：PE=4：8=1：2． ∵EF是直径， ∴∠ECF=90°． 设CF=x，则EC=2x． 则x2+（2x）2=62， 解得x=． 则EC=2x=．